Anna Malarska Katedra Statystyki Ekonomicznej i Społecznej UA Anna Malarska Katedra Statystyki Ekonomicznej i Społecznej UA N k do WYKAADU Notatki d WYKAADU ze STATYSTYKI OPISOWEJ i EKONOMIC ZNEJ STATYSTYKI OPISOWEJ i EKONOMIC ZNEJ część IV część IV część IV część IV IV. METODY I NARZDZIA ANALIZY DYNAMIKI ZJAWISK 41 Wd i 4.1 Wprowadzenie 4.2 Analiza indeksowa 4.2.1 Identyfikacja zjawisk jednorodnych i złożonych 4.2.2 Opis dynamiki zjawisk jednorodnych p y y y p p y j jy przyrosty i indeksy proste 4.2.2.1 Przyrosty absolutne i względne 4.2.2.2 Indeksy indywidualne (proste) 4.2.2.3 Przeliczanie indeksów 423Opis dynamiki zjawisk złożonych indeksy agregatowe 4.2.3 Opis dynamiki zjawisk złożonych indeksy agregatowe 4.2.3.1 Indeksy dla wielkości absolutnych 4.2.3.2 Indeksy dla wielkości stosunkowych 4.3 Dekompozycja zmian zjawisk w czasie ekonometria Modele wahań w czasie; Wyrównywanie szeregu za pomocą średnich ruchomych; d l h ń ó ś d h hh Szacowanie parametrów funkcji trendu, sezonowości i wahań przypadkowych Wszelkie prawa zastrzeżone. Opracowanie przeznaczone jest dla studentów Informatyki Wszelkie prawa zastrzeżone. Opracowanie przeznaczone jest dla studentów Informatyki i Ek t ii ł h t ki kł d A M l ki j Rh i i i Ek t ii ł h t ki kł d A M l ki j Rh i i i Ekonometrii, słuchaczy autorskiego programu wykładu A Malarskiej Rozpowszechnianie i Ekonometrii, słuchaczy autorskiego programu wykładu A.. Malarskiej.. Rozpowszechnianie w jakiejkolwiek formie części lub całości opracowania wymaga zgody Autorki. w jakiejkolwiek formie części lub całości opracowania wymaga zgody Autorki. IV. METODY I NARZDZIA ANALIZY DYNAMIKI ZJAWISK IV. METODY I NARZDZIA ANALIZY DYNAMIKI ZJAWISK 4.1 Wp 4.1 Wprowadzenie prowadzenie p Wśród badań statystycznych odrębne miejsce zajmuje analiza zmienności zjawisk w czasie, zwana analizą dynamiki. Rozszerza ona dotychczasowy wymiar badań o czas, przez co możliwe staje się badanie rozkładu cechy statystycznej w zbiorowości jednostek i można również badać zmienność tej cechy w czasie. Tabelaryczną formą prezentacji danych, w tym także czasowych, są szeregi statystyczne. Ich miejsce w klasyfikacji rodzajowej szeregów statystycznych ilustruje schemat: Szereg dynamiczny, podobnie jak strukturalny, składa się z dwóch (choć cza- sami trzech) kolumn (wierszy), zawierających informacje o parze obserwacjiczyli jednostkach czasu (t) i poziomie zjawiska Y w czasie t (yt). Ilustruje go makieta: N liczba obserwacji zjawiska Y, t k l j j d tki t kolejne jednostki czasu, yt wartość zjawiska Y w czasie ( (momen- cie/okresie) t 2 Czas, jaki odpowiada pomiarowi wartości zjawiska yt, symbolizowany jest literą t i rozumiany jest dwojako: 1. jako zmienna skokowa odpowiadająca momentom krytycznym pomiaru zjawiska 1. jako zmienna skokowa odpowiadająca momentom krytycznym pomiaru zjawiska takim, jak konkretny dzień (miesiąca, roku), godzina itp., 2. jako zmienna ciągła odpowiadająca okresom pomiaru zjawiska takim, jak dzień, tydzień, dekada, miesiąc, rok itp. Konsekwencją (nie)ciągłości zmiennej czasu t są dwojakiego rodzaju szeregi czasowe, tj.: Istotą i wyróżnikiem dynamicznego szeregu momentów jest niesumowalność zjawiska yt w czasie ponieważ rejestruje on nieustannie zmieniający czasie, ponieważ rejestruje on nieustannie zmieniający się stan (zasób) zjawiska pod wpływem strumieni napływu i odpływu w danym momencie krytycznym. Przykład: liczba ludności, bezrobotnych, wypadków odnotowanych na dany moment Natomiast, dynamiczny szereg okresów zawiera informacje o stanie (nagromadzonym zasobie) zjawiska w określonym okresie kalendarzowym. Przykład: wielkość produkcji, zapasów, majątku, kolekcji notowane w określonym okresie3 Na podstawie szeregów dynamicznych, rejestrujących zmiany zjawiska w czasie, poszukiwane są odpowiedzi na następujące pytania: analiza indeksowa 1. jak zmienia się obserwowane zjawisko w czasie?
2. dlaczego zmienia się ono w czasie w taki, a nie inny sposób? analiza przyczyn składających się na dynamikę zjawiska zwana dekompozycją szeregów czasowych ją y ę y ę j p y ją gy W szeregach dynamicznych można stosować mierniki, które mają zastosowanie w badaniu struktury zjawisk, traktując rozmiary zjawiska jako informacje o indywidualnych wartościach cechy (zmiennej) I jak wiadomo syntetycznymi miernikami rozkładu cechy są wartościach cechy (zmiennej). I jak wiadomo syntetycznymi miernikami rozkładu cechy są zwyczajowo średnia i wielkość zróżnicowania. Ponieważ w szeregach momentów poziom zjawiska jest niesumowalny, to średni poziom chwilowych stanów w badanym przedziale czasu liczony jest za pomocą średni poziom chwilowych stanów w badanym przedziale czasu liczony jest za pomocą średniej chronologicznej postaci: (4.1) W szeregach okresów, w których sumowalny jest poziom zjawiska średni poziom stanów w badanym przedziale czasu szacowany jest z wykorzystaniem klasycznej formuły średniej arytmetycznej postaci: . Bez względu na typ szeregu chronologicznego wielkość zróżnicowania poziomu zjawiska wyznaczana jest tak samo z wykorzystaniem klasycznych formuł statystyki opisowej wyznaczana jest tak samo z wykorzystaniem klasycznych formuł statystyki opisowej. 4 4.2 Analiza indeksowa 4.2 Analiza indeksowa 4.2.1 Identyfikacja zjawisk jednorodnych i złożonych 4.2.1 Identyfikacja zjawisk jednorodnych i złożonych Zadaniem analizy dynamiki zjawisk jest syntetyczny opis ich zmienności w czasie Zadaniem analizy dynamiki zjawisk jest syntetyczny opis ich zmienności w czasie. Zjawiska te dzielone są na jednorodne i złożone. Zjawisko jest jednorodne jeśli wyrażone jest w tych samych jednostkach, poprzez co jest sumowalne. Zjawisko uważa się za złożone (niejednorodne) jeśli jest niejednorod- jest sumowalne. Zjawisko uważa się za złożone (niejednorodne) jeśli jest niejednorod nej natury i, nawet jeśli wyrażone jest w tych samych jednostkach, nie może być całościowo opisane we właściwych sobie jednostkach. Kompleksowa analiza zjawiska złożonego staje się możliwa dopiero po sprowadzeniu go do porównywalności Najczęstszym tego przykładem jest ujęcie wartościowe zjawiska do porównywalności. Najczęstszym tego przykładem jest ujęcie wartościowe zjawiska wykorzystujące iloczyn absolutnych jego czynników, co oznacza agregację wielkości absolutnych połączonych iloczynowo. Przykład: Przedmiotem analizy jest działalność małej firmy usługowej napraw sprzętu AGD. Jeśli obserwowanym w czasie zjawiskiem jest liczba napraw to jest ona jednorodna wtedy, gdy dotyczy sprzętu wyłącznie jednego typu (np. wyłącznie pralek). Wówczas sumowalna jest liczba napraw wykonanych każdego dnia tygodnia, czy miesiąca. Jeśli natomiast obserwowane będą naprawy sprzętu różnego typu wówczas J śli i b b d óż ó niesumowalna jest ich liczba (choć jest to liczba sztuk), a całościowy opis zmian zjawiska złożonego z napraw różnego sprzętu w czasie jest niemożliwy. Zabiegiem omijającym tę trudność jest wartościowe wyrażenie wykonanych usług naprawczych. omijającym tę trudność jest wartościowe wyrażenie wykonanych usług naprawczych. Doprowadzające do porównywalności ujęcie wartościowe usług różnego typu umożliwia ich bezproblemową sumowalność. Potrzeba doprowadzania zjawiska złożonego do porównywalności może dotyczyć także zjawisk, których agregat oparty jest na wielkościach stosunkowych, a nie iloczynowych. Oznacza to agregację wielkości stosunkowych połączonych ilorazowo. 5 Przykład: W naukach ekonomicznych będą to: przeciętna płaca (iloraz funduszu płac i liczby zatrudnionych), wydajność pracy (stosunek wielkości produkcji do czasu pracy bądz do liczby zatrudnionych) koszt jednostkowy (stosunek kosztów do ilości produkcji) średnia emerytura zatrudnionych), koszt jednostkowy (stosunek kosztów do ilości produkcji), średnia emerytura (iloraz funduszu emerytalnego i liczby emerytów; w statystyce ludnościowej: gęstość zaludnienia (liczba mieszkańców przypadająca na miarę powierzchni. Konsekwencją p jawisk na j jest ęp ją ją podziału zj jednorodne i złożone j następująca klasyfikacja ilorazowych miar dynamiki (tj. indeksów): Opis każdego z tych typów wskazników stanowi odrębny blok ę y zagadnień, a poprzedza go krótka charakterystyka elementarnych miar dynamiki znanych z innych dyscyplin wiedzy dyscyplin wiedzy. 4.2.2 Opis dynamiki zjawisk jednorodnych przyrosty i indeksy proste 4.2.2 Opis dynamiki zjawisk jednorodnych przyrosty i indeksy proste 4.2.2.1 Przy y absolutne i wzg ę 4.2.2.1 Przyrosty absolutne i względne yrosty ględne y y g ę Najprostszymi miernikami dynamiki zjawisk jednorodnych są przyrosty absolutne lub/i przyrosty względne. Przyrost absolutny zjawiska Y wokresie [t*, t] wyraża formuła: (4.2) (4.2) w której: t* numer początkowej jednostki (momentu/okresu) czasu analizy zjawiska Y, t numer końcowej jednostki (momentu/okresu) czasu analizy zjawiska Y. Przyrost absolut y wyraża ty o i wy ąc e be g ęd ą wielkość zmian w c as e y ost absolutny y a a tylko yłącznie bezwzględną wielkość ia czasie. Numer t* początkowej jednostki czasu z okresu [t*, t] analizy wyznacza podstawę odniesienia badanego zjawiska. Podstawę tę definiuje się różnie, jakkolwiek na ogół t*=1. 6 I tak, przy założeniu, że N e"3 i jeśli: t* = to (gdzie to " [t*, t]) to przyrosty bezwzględne ("y) nazywa się jednopodstawowymi, t* = t 1 to wówczas przyrosty bezwzględne nazywa się łańcuchowymi. t = t 1 to wówczas przyrosty bezwzględne nazywa się łańcuchowymi Przyrosty bezwzględne ("yt/t*) są mianowane i wyrażone w jednostkach badanego zjawiska. Wartości przyrostów absolutnych zjawiska mogą być dodatnie, równe zeru, bądz ujemne. Oznaczają one odpowiednio: (4.3) Znak przyrostu bezwzględnego opisuje kierunek zmian a wartość bezwzględną siłę Znak przyrostu bezwzględnego opisuje kierunek zmian, a wartość bezwzględną siłę, która jest wielkością nieunormowaną o wysoce ograniczonym zasięgu zastosowań. Przyrosty bezwzględne nie są miarami uniwersalnymi ponieważ nie nadają się do porównań dynamiki zjawisk różnej natury, tzn. zjawisk o odmiennych jednostkach (mianach). Wady tej pozbawione są przyrosty względne wyrażone formułą: (4.4) Jako mierniki relatywne przyrosty względne (Tyt/t*) są wielkościami niemianowanymi, mogą być wyrażane w procentach i noszą miano temp zmian. Podobnie, jak przyrosty absolutne, przyjmują wartości dodatnie, równe zeru, bądz ujemne. Interpretowane są tak, jak opisuje to wzór (4.3). są tak, jak opisuje to wzór (4.3). Znak przyrostu względnego jest świadectwem kierunku zmian, a wartość względnej siły, która pomimo, że jest wielkością nieunormowaną, nadaje się do interpretacji porównawczych. Wiadomo, że przyrosty bezwzględne (absolutne) wyrażone są w naturalnych jednostkach badanej właściwości zaś względne na częściej w procentach Pewien kłopot interpretacyjny badanej właściwości, zaś względne na częściej w procentach. Pewien kłopot interpretacyjny pojawia się wówczas, gdy analizowaną jest cecha wyrażona w procentach. Pojawia się wtedy 7 problem odróżnienia przyrostów absolutnych od względnych. 4.2.2.2 Indeksy indywidualne (proste) 4.2.2.2 Indeksy indywidualne (proste) Obserwacja jednorodnego zjawiska w dłuższym okresie, składającym się z większej liczby okresów/momentów czasu najczęściej prowadzona jest za pomocą miar zwanych indeksami okresów/momentów czasu, najczęściej prowadzona jest za pomocą miar zwanych indeksami indywidualnymi. Te podstawowe, względne wskazniki dynamiki obliczane są jako stosunek poziomu zjawiska w momencie (/okresie) badanym do poziomu tego samego zjawiska w momencie (/okresie) przyjętym za podstawę porównań (bazowym). Uniwersalna ich formuła ma postać: (4.5) gdzie: gdzie: * t* numer początkowej jednostki (momentu/okresu) czasu analizy zjawiska Y, Y t numer końcowej jednostki (momentu/okresu) czasu analizy zjawiska Y. Podobnie, jak przyrost względny, indeks indywidualny wyraża tempo zmian zjawiska w czasie i odpowiada na pytanie: jaki jest udział wielkości zjawiska w momencie (okresie) i i d i d i j ki j t d i ł i lk ś i j i k i ( k i ) badanym t w poziomie z momentu (okresu) t*, albo ile procent wielkości zjawiska z okresu t* stanowi jego poziom w okresie t. Zgodnie z dotychczasową symboliką zasadami założeniem że N e"3 oraz jeśli: Zgodnie z dotychczasową symboliką, zasadami, założeniem, że N e"3 oraz jeśli: t* = to (gdzie to " [t*, t]) to indeksy indywidualne nazywa się jednopodstawowymi, t* = t 1 to indeksy indywidualne nazywa się łańcuchowymi, W indeksach jednopodstawowych poziom zjawiska ze wszystkich kolejnych momentów (okresów) porównywany jest zawsze z tym samym okresem (momentem) przyjętym za podstawę, w indeksach łańcuchowych zaś poziom zjawiska każdego kolejnego momentu (okresu) porównywany jest z jego wielkością w momencie (okresie) bezpośrednio poprzedzającym badany. 8 Indeksy indywidualne (it/t*) są niemianowane, mogą być wyrażane w procentach i oznaczają odpowiednio: (4.6) W publikacjach GUS omawiane wskazniki dynamiki prezentowane są pod dwoma, W publikacjach GUS omawiane wskazniki dynamiki prezentowane są pod dwoma, opisowymi postaciami. Zasadę ich zgodności z indeksami ilustruje schemat: GUS-owskie wskazniki dynamiki są albo indywidualnymi indeksami łańcuchowymi albo indeksami jednopodstawowymi wyrażonymi w procentach, choć pominięty jest w nich symbol %. nich symbol %. Zarówno przyrosty względne, jak i indeksy indywidualne, jakkolwiek w inny sposób, rejestrują tempo zmian badanego zjawiska. Zależność między nimi ilustruje formuła: (4.7) powstała w wyniku prostego (4.8) przekształcenia algebraicznego: (4.9) (4.9) a w %: a w %: Oznacza to też, że: (4.10) (4.11) a w %: 9 Kłopotliwą jest na ogół interpretacja długiego ciągu indeksów indywidualnych. Jeśli są to indeksy łańcuchowe to dynamikę (zmiany) zjawiska wy- godnie jest wyrazić za pomocą jednej liczby obrazującej przeciętną jego zmianę w całym d ć d l b b ł badanym okresie. Kryterium to spełnia formuła średniej geometrycznej z iloczynu wartości indeksów łańcuchowych postaci: (4 12) (4.12) Uwaga: stopień pierwiastka wynika z liczby czynników objętych pierwiastkowaniem. A jest ich o 1 mniej niż wynosi długość szeregu dynamicznego. Zastosowanie wzoru (4.12) jest zasadne wtedy, kiedy analityk dysponuje wyłącznie ciągiem indeksów łańcuchowych badanego zjawiska, a nie jego wartościami. Jeśli jednak znane są poziomy zjawiska z okresu/momentu (4 13) (4.13) na okres/moment wyznaczanie średniej z indeksów łańcuchowych można znacznie uprościć stosując wzór postaci: ponieważ: (4.14) Średni indeks łańcuchowy , zwany średniookresowym tempem zmian, w okresie Średni indeks łańcuchowy , zwany średniookresowym tempem zmian, w okresie to " [1, N] definiuje formuła (4.13), natomiast średnie tempo zmian: (4.15) Średni indeks łańcuchowy oraz średnie tempo zmian spełniają warunek: Średni indeks łańcuchowy oraz średnie tempo zmian spełniają warunek: (4.16) 10 4.2.2.3 Przeliczanie indeksów 4.2.2.3 Przeliczanie indeksów Kryterium podziału indeksów indywidualnych na jednopodstawowe i łańcuchowe jest podstawa odniesienia. Okazuje się, że możliwe jest wzajemne przeliczanie jednych na drugie. podstawa odniesienia. Okazuje się, że możliwe jest wzajemne przeliczanie jednych na drugie. Przejścia z indeksów jednopodstawowych na łańcuchowe dokonuje się na podstawie następującego przekształcenia: ponieważ: (4.17) (4.18) Przykład: Przejście z indeksów łańcuchowych na jednopodstawowe jest bardziej złożone. Dla dowolnego momentu/okresu t " [2, N] prowadzonej analizy przeliczenia indeksu łańcucho- wego na j p y j podstawie z numerem py (t ) g jednopodstawowy o standardowej p pierwszym ( = 1) momentu/okresu analizy dokonuje się na podstawie następującego przekształcenia: (4.19) ponieważ: (4.20) Indeks j p y g [2, ] jest y jednopodstawowy dla dowolnego momentu/okresu t " [ , N] j iloczynem indeksów łańcuchowych dla momentu/okresu t oraz wszystkich wcześniejszych. Przykład: W kt b d j j i i j j d d i ń li i i d k ó W praktyce badawczej pojawia się jeszcze jedno z zagadnień przeliczania indeksów. 11 Zagadnienie to dotyczy zamiany podstawy porównań na inny (t = k) moment/okres niż pierwszy (t = 1), czyli przejście z podstawy 1 na k (1 k). Operacji tej dokonuje się na podstawie następującego przekształcenia: podstawie następującego przekształcenia: (4.21) ponieważ: (4.22) 4.2.3 Opis dynamiki zjawisk złożonych indeksy agregatowe 4.2.3 Opis dynamiki zjawisk złożonych indeksy agregatowe 4.2.3.1 Indeksy dla wielkości absolutnych 4.2.3.1 Indeksy dla wielkości absolutnych Zjawisko uważa się za złożone (niejednorodne), jeśli wyrażone jest w różnych jednostkach, nie można go agregować i nie może być całościowo opisane we właściwych sobie jednostkach. Jego analiza jest możliwa dopiero po sprowadzeniu go do porównywalności, na przykład p j g uję wartościowym z wy y przykład p p y po jego jęciu y ykorzystaniem na p y przekształcenia iloczynowego czynników analizowanego zjawiska. Jeżeli przedmiotem zainteresowania jest pojedynczy element agregatu, czyli jeden produkt (dobro) występujący w większych ilościach, to na jego wartość w składają się dwie wielkości: ilość oznaczana dalej jako q oraz jednostkowa cena oznaczana dalej jako wielkości: ilość oznaczana dalej jako q oraz jednostkowa cena oznaczana dalej jako p. Pomiędzy w, q i p zachodzi zależność: (4.23) Z p p y y czasu ( 0 1) zmiennymi są wszystkie kategorie zależności ( ) perspektywy (t: ) y ą y g (4.23). Zmiany w czasie każdej z nich z osobna opisują indywidualne indeksy: wartości (iw), cen (ip) i ilości (iq). Skonstruowane według znanej już zasady te proste miary dynamiki mają postaci: (4 24) (4.24) 12 Pomiędzy indywidualnymi indeksami wartości, cen i ilości zachodzi zależność: (4.25) ponieważ: (4.26) Zależność (4 25) nazywana jest równością indeksową Zależność (4.25) nazywana jest równością indeksową. Jeżeli jedyną formą wyrażenia zjawiska złożonego z większej liczby składowych jest ujęcie wartościowe, to dynamikę tego zjawiska wyraża agregatowy indeks wartości, zwany też indeksem pieniężnej wartości, opisany formułą: (4.27) gdzie: wartość itej składowej agregatu w badanym okresie 1 na którą składa się wartość itej składowej agregatu w badanym okresie 1 , na którą składa się jego ilość (qi1) oraz jednostkowa cena (pi1) wtymokresie, wartość itej składowej agregatu w bazowym okresie 0 , na którą składa się jego (qi0) jednostkowa cena (pi0) wty , j g ilość (qi0) oraz j (pi0) ymokresie, Agregatowy indeks wartości należy do grupy indeksów nominalnych o dość ograniczonej zdolności diagnostycznej. Jego liczbowe rozmiary zależą od łącznej siły oddziaływania 4 czynników, a w tym 2 czynników bezpośrednich i 2 czynników pośrednich, jakimi są: ś d i h j ki i dynamika ilości oraz dynamika cen, jako czynniki bezpośredniego oddziaływania na dynamikę pieniężnej wartości, zmiany strukturalne koszyka ilościowego oraz zmiany w relacjach cen, jako czynniki i t kt l k k il ś i i l j h j k iki pośredniego oddziaływania na dynamikę pieniężnej wartości, 13 Agregatowy indeks wartości (4.27) jest liczbowym kompromisem efektów bezpośrednich i pośrednich i dlatego musi być transformowany do postaci indeksów realnych. A są nimi agregatowe indeksy cen ( ) i ag g y (masy y j) (Iq) podstaw g g y (Ip) gregatowe indeksy ilości ( y fizycznej) ( ). U p p q ich konstrukcji leży metoda standaryzacji agregatowego indeksu wartości, polegająca na kolejnym unieruchamianiu wpływu dwóch (z czterech) czynników bezpośredniego i pośredniego oddziaływania. Standaryzacja, polega na eliminacji działania określonych składników, agregatowego Standaryzacja, polega na eliminacji działania określonych składników, agregatowego indeksu wartości Iw . Umożliwia liczbowe rozpoznanie siły i kierunku pozostałych składników. Jest to zawsze eliminacja dwóch z czterech przyczyn wywołujących dynamiczne zmiany wartości pieniężnej. Rozróżnia się zatem: eliminację działania zmian poziomów i struktur ilościowych koszyków (qi t=const, dla t =1 i t =0) w celu konstrukcji agregatowych indeksów cen (Ip) zjawisk postaci złożonej, eliminację działania zmian poziomów i relacji cen (pi t=const, dla t = 1 i t = 0) w celu konstrukcji ag g y indeksów masy fizycznej ( ) zjawisk p j j gregatowych y y j (Iq) j postaci złożonej. q Standaryzacja umożliwia przejście od nominalnego i bezwarunkowego indeksu wartości na realne i warunkowe indeksy cen oraz masy fizycznej. yródło: Luszniewicz A., Słaby T. (2001): Statystyka z pakietem 14 komputerowym STATISTICATM PL, Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa, s.440 Kolejnym problemem statystycznym jest wybór okresu, z którego przyjmuje się stały koszyk ilości [qi t=const] bądz stałe relacje cen [pi t=const]. Rozwiązań jest wiele. Każde jest subiektywne ale wszystkie prowadzą do uzyskania indeksów standaryzowanych Najczęściej subiektywne, ale wszystkie prowadzą do uzyskania indeksów standaryzowanych. Najczęściej jednak przyjmowane są wagi (stałe koszyki ilościowe bądz stałe relacje cen) albo z okresu podstawowego albo z okresu badanego analizy. Są więc dwie podstawowe reguły standaryzacyjne jednego ze stałych czynników agregatu: 1 j śli j t t t bili j i i k d t ( t 0) t ł i 1. jeśli jest to stabilizacja na poziomie okresu podstawowego (const = 0) to reguła nosi miano Laspeyresa, 2. jeśli zaś jest to stabilizacja na poziomie okresu badanego (const =1) to reguła nosi miano Paaschego. Stąd otrzymuje się cztery indeksy standaryzowane, odmienne w swej treści, liczbowo różne i interpretowane zawsze w trybie warunkowym (przy założeniu, że & ). Wmyśl reguły Laspeyresa: agregatowy indeks cen ma postać: i d k t ć (4.28) gdzie: indywidualny indeks jednostkowej ceny itej składowej agregatu, wskaznik struktury wartości itej składowej agregatu w jego łącznej wartości w okresie podstawowym wyrażony formułą: (4.29) ponieważ: (4 30) (4.30) 15 Agregatowy indeks cen Laspeyresa wyraża hipotetyczne zmiany wartości pod wpływem zmian cen i ich relacji przy założeniu niezmienności ilości (qi0) poszczególnych składowych agregatu i utrzymywaniu się ich na poziomie z okresu podstawowego Jest składowych agregatu i utrzymywaniu się ich na poziomie z okresu podstawowego. Jest wielkością średnią z indywidualnych indeksów cen poszczególnych składowych agregatu liczoną regułą średniej arytmetycznej ważonej strukturą wartości (vi0) z okresu podstawowego. Określa przeciętną dynamikę cen przy przyjętych założeniach. agregatowy indeks ilości ma postać: (4.31) gdzie: gdzie: indywidualny indeks ilości itej składowej agregatu, wskaznik struktury wartości itej składowej agregatu w jego łącznej wartości w okresie podstawowym wyrażony formułą (4.29) okresie podstawowym wyrażony formułą (4.29) ponieważ: (4 32) (4.32) Agregatowy indeks ilości Laspeyresa wyraża hipotetyczne zmiany wartości pod wpływem zmian poziomu i struktury ilościowej koszyka przy założeniu niezmienności wpływem zmian poziomu i struktury ilościowej koszyka przy założeniu niezmienności jednostkowych cen (pi0) poszczególnych składowych agregatu i utrzymywaniu się ich na poziomie z okresu podstawowego. Jest wielkością średnią z indywidualnych indeksów ilości poszczególnych składowych agregatu liczoną regułą średniej arytmetycznej ważonej strukturą wartości (vi0) z okresu podstawowego. Określa przeciętną dynamikę ilości przy przyjętych założeniach. 16 Wmyśl reguły Paaschego: agregatowy indeks cen ma postać: (4.33) ( ) gdzie: indywidualny indeks jednostkowej ceny itej składowej agregatu, wskaznik struktury wartości itej składowej agregatu w jego łącznej wartości w okresie badanym wyrażony formułą: okresie badanym wyrażony formułą: (4.34) ponieważ: (4 35) (4.35) Agregatowy indeks cen Paaschego wyraża hipotetyczne zmiany wartości pod Agregatowy indeks cen Paaschego wyraża hipotetyczne zmiany wartości pod wpływem zmian cen i ich relacji przy założeniu niezmienności ilości (qi1) poszczególnych składowych agregatu i utrzymywaniu się ich na poziomie z okresu badanego. Jest wielkością średnią z indywidualnych indeksów cen poszczególnych składowych agregatu liczoną regułą średniej harmonicznej ważonej strukturą wartości (v ) z okresu badanego liczoną regułą średniej harmonicznej ważonej strukturą wartości (vi1) z okresu badanego. Określa przeciętną dynamikę cen przy przyjętych założeniach.
agregatowy indeks ilości ma postać: (4 36) (4.36) gdzie: indywidualny indeks ilości itej składowej agregatu, wskaznik struktury wartości i tej składowej agregatu w jego łącznej wartości wskaznik struktury wartości itej składowej agregatu w jego łącznej wartości badanym wyrażony formułą (4.34), 17 ponieważ: (4.37) Agregatowy indeks ilości Paaschego wyraża hipotetyczne zmiany wartości pod wpływem zmian poziomu i struktury ilościowej koszyka przy założeniu niezmienności jednostkowych cen (pi1) poszczególnych składowych agregatu i utrzymywaniu się ich na poziomie z okresu badanego. Jest wielkością średnią z indywidualnych indeksów ilości i i k b d J t i lk ś i ś d i i d id l h i d k ó il ś i poszczególnych składowych agregatu liczoną regułą średniej harmonicznej ważonej strukturą wartości (vi1) z okresu badanego. Określa przeciętną dynamikę ilości przy przyjętych założeniach. Analogiczna do postaci (4.25) równość indeksowa zachodzi także pomiędzy indeksami agregatowymi, jeśli tylko są one przeciwnych formuł, tzn.: (4.38) ponieważ: ponieważ: (4.39) Jeżeli indeksy cen oraz ilości wyznaczane regułami Laspeyresa i Paaschego nie wykazują wyraznych rozbieżności w dynamice cen i ilości, to reguła I. Fishera pozwala ustalić przeciętną z h bi ż ś i di i il ś i t ł I Fi h l t lić i t dynamikę tych kategorii bez odwoływania się do jakichkolwiek założeń. Najbardziej prawdopodobną, przeciętną dynamikę odpowiednio cen i ilości według propozycji Fishera prezentują wzory: (4 40) (4.40) Reguły Fishera uśredniają dynamikę cen bądz ilości ustalonych formułami Laspeyresa i Paaschego według zasad właściwych wyznaczaniu średniej geometrycznej. Uwaga: z praktyki analiz ekonomicznych wynika że w większości krajów oficjalne (urzędowe) indeksy cen Uwaga: z praktyki analiz ekonomicznych wynika, że w większości krajów oficjalne (urzędowe) indeksy cen kalkulowane są według formuły Laspeyresa, to znaczy w oparciu o koszyki ilościowe z okresów podstawowych, a nie badanych. Decydują o tym względy praktyczne, związane ze znacznym opóznieniem dostępu do aktualnych danych statystycznych (budżety domowe) o koszykach ilościowych dla okresu badanego. 18 4.2.3.2 Indeksy dla wielkości stosunkowych 4.2.3.2 Indeksy dla wielkości stosunkowych W odróżnieniu od dotychczasowych indeksy zespołowe dla wielkości stosunkowych nie dotyczą iloczynowego połączenia wielkości absolutnych. Obserwowane wielkości mają postać dotyczą iloczynowego połączenia wielkości absolutnych. Obserwowane wielkości mają postać stosunkową i są ilorazem dwóch innych, różnoimiennych właściwości, jakimi są przykłady przeciętnej płacy, wydajności pracy, kosztu jednostkowego, średniej emerytury czy gęstości zaludnienia. Jeżeli przedmiotem zainteresowania jest pojedynczy element y badanego agregatu Y zdefiniowany jako iloraz dwóch wielkości x i z, to pomiędzy nimi zachodzą zależności: (4.41) a stąd: (4.42) (4.43) A zatemagregat Y można zapisać jako: gdzie: , jakkolwiek Y może być wyznaczone, jako średnia arytmetyczna ważona z ąstkowych wielkości y, czyli: czą y y, y (4.44) albo (4.45) Z powyższego wynika, że na poziom wielkości stosunkowej y wpływa wielkość czynnika z oraz wielkość czynnika x. Natomiast poziom agregatowej wielkości stosunkowej Y kształtowany jest nie tylko przez wielkości obu tych czynników, ale także przez ich struktury, czyli udziały cząstkowych wielkości i w ogólnej ich sumie: czyli udziały cząstkowych wielkości i w ogólnej ich sumie: . 19 Dla zjawisk cząstkowych (składników xi i zi (i = 1,2,& ,n) agregatu Y = {yi}i=1,& n połączonych ilorazowo wg (4.41)) wyznaczenie ich dynamiki w czasie (t: 0 1) sprowadza się do obliczenia indywidualnych indeksów postaci: obliczenia indywidualnych indeksów postaci: (dla i = 1,2 ,& , n) (4.46) Konstrukcja agregatowa zmiennej Yt wymaga natomiast zastosowania formuły zmiennej struktury prowadzącej do otrzymania indeksu wszechstronnego postaci: (4.47) (4.47) W formule (4.47) widać oddziaływanie zmian strukturalnych Xt lub Zt na przeciętną dynamikę stosunkowej zmiennej Yt. dynamikę stosunkowej zmiennej Yt. Jednoczesna eliminacja zmian strukturalnych obu zmiennych Xt i Zt na przeciętną dynamikę stosunkowej zmiennej Yt nie jest statystycznie możliwa. Dlatego też rozwiązanie tego zagadnienia musi być rozłączne, co prowadzi do otrzymania dwóch różnych indeksów stałej struktury i oraz dwóch różnych rodzajów indeksów zmian strukturalnych i . Tym samym znane jest przejście od indeksu wszechstronnego do dwóch indeksów o stałej strukturze oraz dwóch indeksów wpływu zmian strukturalnych. k l h 20 Zasady standaryzacji agregatowego indeksu wszechstronnego dla wielkości stosunkowych Jeśli rozważa się jednoczesne zastosowanie różnych formuł standaryzacyjnych (Laspeyresa, Paaschego i Fishera), to pełny zestaw agregatowych indeksów wielkości stosunkowych przedstawia zestawienie: 21 Z systematyki formuł agregatowych indeksów dla wielkości stosunkowych wynika, że dla wyodrębnienia wpływu poszczególnych czynników i ich struktury na dynamikę ogólnej wartości zmiennej Y definiuje się 4 typy indeksów agregatowych w których za niezmienne wartości zmiennej Yt definiuje się 4 typy indeksów agregatowych, w których za niezmienne (stałe) w dwóch porównywanych okresach przyjmuje się różne czynniki (Xt i Zt). W szczególności są to: a dla czynnika Z: a dla czynnika Z: 1o agregatowy indeks wpływu zmian strukturalnych czynnika Z postaci: dla (4.48) Interpretacja: indeks informuje, jakie byłyby zmiany globalnej średniej wartości zmiennej Y w okresie badanym w stosunku do podstawowego, gdyby cząstkowe poziomy yi zmiennej Y były w obu porównywanych okresach identyczne a zmiany ogólnej średniej zmiennej Y były w obu porównywanych okresach identyczne, a zmiany ogólnej średniej byłyby spowodowane wyłącznie zmianami cząstkowych wartości zi (czyli struktury) czynnika Z (a w konsekwencji również czynnika X). 2 agregatowy indeks o stałej strukturze czynnika Z postaci: 2o agregatowy indeks o stałej strukturze czynnika Z postaci: (4.49) dla Interpretacja: indeks określa, jakie byłyby zmiany globalnej średniej wartości zmiennej Y w okresie badanym w stosunku do podstawowego, gdyby cząstkowe wartości zi (czyli struktura) czynnika Z były stałe, natomiast zmiany ogólnej średniej były spowodowane j d i ii tk h t ś i y ( li t kt ) i j Y ( k k ji jedynie zmianami cząstkowych wartości yi (czyli struktury) zmiennej Y (a wkonsekwencji również czynnika X). 22 a dla czynnika X: 3o agregatowy indeks wpływu zmian w strukturze czynnika X postaci: dla (4.50) Interpretacja: indeks informuje, jakie byłyby zmiany globalnej średniej wartości zmiennej Y w okresie badanym w stosunku do podstawowego, gdyby cząstkowe poziomy yi zmiennej Y były w obu porównywanych okresach identyczne, a zmiany ogólnej średniej byłyby spowodowane wyłącznie zmianami cząstkowych wartości xi (czyli struktury) czynnika X (a w konsekwencji również czynnika Z). 4o agregatowy indeks o stałej strukturze czynnika X postaci: dla (4.51) Interpretacja: indeks opisuje, jakie byłyby zmiany globalnej średniej wartości zmiennej Y w okresie badanym w stosunku do podstawowego, gdyby cząstkowe wartości xi (czyli struktura) czynnika X były stałe, natomiast zmiany ogólnej średniej były spowodowane (czyli struktura) czynnika X były stałe, natomiast zmiany ogólnej średniej były spowodowane jedynie zmianami cząstkowych wartości yi (czyli struktury) zmiennej Y (a w konsekwencji również czynnika Z). Każdy z ww. typów cząstkowych indeksów agregatowych występuje w dwóch formułach standaryzacyjnych. I tak, t = 0 dedykowane jest formule Laspeyresa, a t = 1 formule Paaschego. 23 Nietrudno wykazać, że dla agregatowych indeksów wielkości stosunkowych prawdziwa jest równość indeksowa: (4 52 ) (4.52a) (4.52b) N jb d i j d d b i t dik ól h ikó Z l b Najbardziej prawdopodobną, przeciętną dynamikę poszczególnych czynników Zt lub Xt wielkości ilorazowej Yt wmyśl propozycji Fishera prezentują wzory: (4.53a) (4.53a) (4.53b) W praktyce, indeksy (4.48) (4.52) wymagają rozpisania wg formuł standaryzacyjnych. I niektóre ich typy warto przekształcić z wersji zródłowych do prostszych postaci. A są to: dla formuł typu 2o: dla formuł typu 2o: dla formuł typu 3o: 24 dla formuł typu 4o: Zestawienie zbiorcze agregatowych indeksów wielkości stosunkowych wg Zestawienie zbiorcze agregatowych indeksów wielkości stosunkowych wg wszystkich formuł standaryzacyjnych 25 4.3 Dekompozycja zmian zjawisk w czasie 4.3 Dekompozycja zmian zjawisk wczasie 4.3.1 Modele wahań w czasie 4.3.1 Modele wahań wczasie Szereg czasowy lub chronologiczny to uporządkowany ze względu na czas t zbiór Szereg czasowy lub chronologiczny to uporządkowany ze względu na czas t zbiór wartości zjawiska (cechy) Yt. Obserwowane w szeregu zmiany podlegają pewnym typowym prawidłowościom, których wykrycie i opis są celem analiz szeregów czasowych. W teorii ekonomicznych szeregów czasowych wyróżnia się następujące jego składniki: W teorii ekonomicznych szeregów czasowych wyróżnia się następujące jego składniki: (4.54) gdzie: Yt poziom badanego zjawiska w momencie (okresie) t =1, 2, & , n, t G(t) funkcja głównej tendencji rozwojowej zjawiska w momencie (okresie) t, Si(t) funkcja wahań sezonowych (okresowych) dla i =1, 2, & , d jednoimiennych pod- okresów (faz w cyklu okresowości) zjawiska w momencie (okresie) t, t składnik losowy modelu zjawiska w momencie (okresie) t. G(t) główna tendencja rozwojowa jest własnością ujawniającą się poprzez systematyczne, jednokierunkowe, zmiany poziomu zjawiska, zachodzące w długim okresie. Charakter tych zmian pozwala przypuszczać, że przyczyną występowania określonego trendu (rosnącego lub malejącego) jest stałe oddziaływanie na zjawisko pewnego splotu czynników określanych mianem przyczyn głównych. S (t) h i t t i i j i k k śl kl ( k i Si(t) wahania sezonowe są to rytmiczne zmiany zjawiska o określonym cyklu (okresie przebiegu). Najczęściej obserwowane są wahania o cyklu rocznym, a podokresami takiego cyklu mogą być półrocza, kwartały, miesiące, a nawet dni. Przyczyną wahań o cyklu rocznym są a ogół czynniki p y od c e i datego nazywa s ę je wahaniami se o o y są na ogó c y przyrodnicze dlatego a y a się je a a a sezonowymi. t wahania losowe to tzw. wahania przypadkowe, których wpływ odzwierciedla się 26 odchyleniami zjawiska z różną siłą i wróżnych kierunkach. Analiza statystyczna dotyczy wszystkich trzech składników szeregu czasowego. Zwykle dąży się do wyodrębnienia i pomiaru każdego z nich, a zabiegi te nazywa się dekompozycją. Do dekompozycji niezbędna jest znajomość postaci analitycznej modelu badanego zjawiska Do dekompozycji niezbędna jest znajomość postaci analitycznej modelu badanego zjawiska. Podstawową postacią analityczną modelu wahań w czasie jest funkcja liniowa wiążąca komponenty zjawiska na dwa sposoby: addytywnie (model jest sumą składowych) i multiplikatywnie (model j iloczynem składowych). Między innymi z tego powodu p y jest ę g wprowadza się rozróżnienie wahań sezonowych na addytywne i multiplikatywne, czyli: funkcja wahań sezonowych (okresowych) dla i =1, 2, & , d jedno- imiennych podokresów (faz) w cyklu okresowości) zjawiska w momencie ( k i ) t d i d i dl j i dd t (SA (t)) i lti lik (okresie) t odpowiednio dla ujęcia addytywnego (SAi(t)) i multiplika- tywnego (SMi(t)), W zapisie formalnym modele wahań w czasie i ich oszacowania są postaci: 30 30 Obrazy graficzne 25 25 OSZACOWAC modelu OSZACOWAC modelu 20 20 addytywnego i 15 15 multiplikatywnego 10 10 prezentują się, 5 5 jak obok: jak obok: 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 27 4.3.2 Wyrównywanie szeregu za pomocą średnich ruchomych 4.3.2 Wyrównywanie szeregu za pomocą średnich ruchomych Do wyodrębniania składowych szeregów czasowych stosuje się wiele różnych metod statystycznych. Jest to modelowanie rozwoju zjawiska za pomocą klasycznych analiz statystycznych począwszy od najprostszych, tj. wyrównywanie szeregów czasowych za pomocą średnich ruchomych, poprzez wskaznikowy pomiar wahań okresowych aż po analizę regresji i inne doskonalsze techniki badawcze. Najprostsza, mechaniczna metoda wyrównywania szeregu czasowego sprowadza się do Najprostsza, mechaniczna metoda wyrównywania szeregu czasowego sprowadza się do obliczenia różnych wariantów średnich ruchomych i zastąpieniu nimi pierwotnych elementów szeregu czasowego. W trzyokresowej średniej ruchomej poszczególne wyrazy yi wyjściowo n-elementowego szeregu czasowego liczone są według następującej zasady: szeregu czasowego liczone są według następującej zasady: (4.55) Dla pięciookresowej średniej ruchomej oznacza to że: Dla pięciookresowej średniej ruchomej oznacza to, że: (4.56) Analogiczną jest zasada obliczania średnich ruchomych dalszych rzędów. Każda średnia ruchoma zmniejsza efektywną liczbę obserwacji. 28 Ideę omawianych średnich ruchomych prezentują następujące ilustracje graficzne: 30 30 25 25 20 20 20 15 15 trend trend 10 10 dane rzeczyw. dane rzeczyw. śr. 3-okresowa 5 śr. 3-okresowa 5 5 śr. 5-okresowa śr. 5-okresowa 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Ruchoma średnia trzyokresowa zmniejsza efektywną liczbę obserwacji o 2, średnia pięciookresowa o 4, itd. pięciookresowa o 4, itd. 4.3.3 Szacowanie parametrów funkcji trendu 4.3.3 Szacowanie parametrów funkcji trendu Wyrównywanie szeregu czasowego za pomocą trendu sprowadza się do formalnej, analitycznej eliminacji zmian zjawiska w czasie poprzez dopasowanie teoretycznej linii trendu do danych empirycznych. Parametry funkcji otrzymuje się zwykle Klasyczną Metodą Najmniejszych Kwadratów według zasad poznanych w analizie regresji. Z pewnymi modyfikacjami (dotyczącymi głównie oznaczeń i symboli zmiennych: xi a" t) oceny parametrów teoretycznej linii trendu postaci Yt ą + t + t wyznaczyć można wprost ze wzorów: teoretycznej linii trendu postaci Yt = ą + t + t wyznaczyć można wprost ze wzorów: (4.57) (4.58) A jeśli założyć, że to (4.57) i (4.58) przybierają postać: (4 57a) (4.57a) (4.58a)
29 Zależność linii trendu z okresami t sumującymi się do zera i oznaczonymi tradycyjnie, t =1, 2, & , n, przedstawia się następująco: (dla Łt =0); oraz (dla Łt `" 0) (4.59) Dla alternatywnego zapisu liniowego modelu trendu postaci: (4 60) (4.60) gdzie: ą0 a" ą wyraz wolny, a ą1 a" współczynnik regresji, do oszacowania parametrów ą0 i ą1 wygodne jest wykorzystanie formuły macierzowej do oszacowania parametrów ą0 i ą1 wygodne jest wykorzystanie formuły macierzowej postaci: (4.61) gdzie: Wówczas zależność linii trendu z okresami t sumującymi się do zera i oznaczonymi tradycyjnie, t =1, 2, & , n, przedstawia się następująco: (4.59a) (dla Łt =0); oraz (dla Łt `" 0) W praktyce, model nieliniowy należy sprowadzić do liniowego przez podstawienie albo zlogarytmowanie a następnie oszacować jego parametry wg wzoru (4 61) zlogarytmowanie, a następnie oszacować jego parametry wg wzoru (4.61). 30 4.3.4 Szacowanie sezonowości 4.3.4 Szacowanie sezonowości Mierniki sezonowości wyznacza się dopiero po oszacowaniu współczynników funkcji trendu lub przeciętnego poziomu zjawiska. A są nimi absolutne poziomy wahań w czasie dla ujęcia lub przeciętnego poziomu zjawiska. A są nimi absolutne poziomy wahań w czasie dla ujęcia addytywnego bądz wskazniki sezonowości dla ujęcia multiplikatywnego. I tak, dla alternatywnie powiązanych oszacowań poszczególnych składowych modeli addytywnego i multiplikatywnego zmian zjawiska w czasie postaci: (4.60a) (4.60m) oszacowania tzw. surowych, wolnych od trendu, wahań sezonowych przedstawiają się, jak oszacowania tzw. surowych, wolnych od trendu, wahań sezonowych przedstawiają się, jak następuje:
(4.61a) (4.61m) (4.61a) (4.61m) gdzie: ni liczba jednoimiennych okresów we wszystkich cyklach (fazach) sezonowości, dla i =1, 2, & , d Suma wskazników sezonowości powinna być równa 0 w modelu addytywnym, a w Suma wskazników sezonowości powinna być równa 0 w modelu addytywnym, a w modelu multiplikatywnym liczbie d jednoimiennych podokresów, czyli 12 dla ujęcia miesię- cznego, 4 dla kwartalnego i 2 dla półrocznego, tzn.:
(4.62a) (4.62m) Jeżeli obliczone, tzw. surowe wskazniki sezonowości nie spełniają ww. równości wówczas, bez względu na powiązanie składowych modelu, korygowane są następującym współczynnikiem wk: ół iki k (4.63) 31 Skorygowane wskazniki sezonowości nazywane oczyszczonymi (c) wyznaczane są wg wzorów:
(4.64a) (4.64m) W addytywne wskazniki sezonowości informują o ile jednostek odchyla się zjawisko Y od linii trendu wdanym podokresie, a wskazniki multiplikatywne o ile procent zjawisko Y d li ii d d d k i k z iki lti lik t il j i k Y odchyla się od linii trendu w danym podokresie. Jeżeli zjawisko Y nie podlega tendencji rozwojowej (czyli stałe są poziomy zjawiska) to między absolutnymi poziomami wahań sezonowych a wskaznikami sezonowości zachodzą między absolutnymi poziomami wahań sezonowych a wskaznikami sezonowości zachodzą następujące zależności: (4.65a) (4.65m) 4.3.5 Szacowanie poziomu wahań przypadkowych 4.3.5 Szacowanie poziomu wahań przypadkowych Skoro:
to: (4.66a) (4.66m) a stąd: a stąd:
(4.67a) (4.67m) A zróżnicowanie składnika resztowego liczone jest według: A zróżnicowanie składnika resztowego liczone jest według: (4.68a) (4.68m) 32 B ł t WYKAADU B ł t WYKAADU Były to: N t tki d WYKAADU Były to: Notatki do WYKAADU ze STATYSTYKI OPISOWEJ i EKONOMICZNEJ STATYSTYKI OPISOWEJ i EKONOMICZNEJ STATYSTYKI OPISOWEJ i EKONOMICZNEJ STATYSTYKI OPISOWEJ i EKONOMICZNEJ cz. 4: cz. 4: METODY I NARZDZIA ANALIZY DYNAMIKI ZJAWISK ZA UWAG DZIKUJE ZA UWAG DZIKUJE Anna Malarska Anna Malarska
Katedra Statystyki Ekonomicznej i Społecznej UA Wszelkie prawa zastrzeżone. Opracowanie przeznaczone jest dla studentów i słuchaczy autorskiego programu wykładu A. Malarskiej. Rozpowszechnianie w jakiejkolwiek formie części lub całości opracowania wymaga zgody Autorki. 33