WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA Wzory skróconego mnożenia wiele, często nietrywialnych, ciekawych i zaskakujących zastosowań jest więc powód, by się nimi zająć Wzory drugiego stopnia Najprostsze są wzory na kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnicę kwadratów, czyli wzory drugiego stopnia. Są to: 2 1) (a + b) = a2 + 2ab + b2 2 2) (a - b) = a2 - 2ab + b2 3) (a + b)(a - b)= a2 - b2 Udowodnijmy je i zilustrujmy przykładami geometrycznymi. 2 1) (a + b) to inaczej iloczyn (a + b)(a + b). Mnożenie takich wyrażeń nie jest szczególnie trudne. (a + b)(a + b) = a(a + b)+ b(a + b)= a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 . I gotowe. Jeżeli ktoś woli bardziej obrazowe uzasadnienia to proszę bardzo. Niech a i b będą długościami odcinków (to ogranicza nasze uzasadnienie do liczb dodatnich). Zbudujmy kwadrat o boku a + b. Kwadrat ten ma pole (każdy chyba zna wzór na pole kwadratu) 2 P = (a + b) Można ten kwadrat podzielić na części nie mające części wspólnej. Pole kwadratu jest sumą pól tych części, czyli P = a2 + ba + b2 + ab = a2 + 2ab + b2 W obu przypadkach chodzi oczywiście o to samo pole, więc 2 (a + b) = a2 + 2ab + b2
2 2) (a - b) = (a - b)(a - b)= a(a - b)- b(a - b)= a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2 To jest uzasadnienie algebraiczne. Spróbujmy odwołać się jeszcze do geometrii. 2 Widać, że a2 = (a - b) + b2 + 2(a - b)b . Zatem 2 2 a2 = (a - b) + b2 + 2ab - 2b2 = (a - b) - b2 + 2ab Stąd wynika, że 2 (a - b) = a2 - 2ab + b2
3) (a - b)(a + b) = a(a + b)- b(a + b) = a2 + ab - ba - b2 = a2 - b2 Geometrycznie Z rysunku widać 2 a2 - b2 = 2(a - b)b + (a - b) = (a - b)(2b + a - b)= (a - b)(a + b) Zgadza się. Albo jeszcze inaczej. Prościej a2 - b2 = (a - b)(b + a - b + b)= (a - b)(a + b) Wzory trzeciego stopnia 3 1) (a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Dowód 3 2 (a + b) = (a + b)(a + b) = (a + b)(a2 + 2ab + b2)= = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Z geometryczną interpretacją jest podobnie jak dla drugich potęg. Trzeba jednak przejść do przestrzeni trójwymiarowej. Narysujmy sześcian o krawędzi a + b. Objętość tego sześcianu to 3 V = (a + b) Porozcinajmy ten sześcian. Aączna objętość tych kawałków to: V = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Ale jest to ta sama objętość co poprzednio, więc: 3 (a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
3 2) (a - b) = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Dowód 3 2 (a - b) a3 = (a - b)(a - b) = (a - b)(a2 - 2ab + b2)= = a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Interpretację geometryczną sobie tym razem darujemy
3) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) Dowód (a + b)(a2 - ab + b2)= a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3 = a3 + b3
4) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) Dowód (a - b)(a2 + ab + b2)= a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3 = a3 - b3 Na koniec udowodnijmy jeszcze jeden wzór, tym razem n-tego stopnia. an -1 = (a -1)(an-1 + an-2 +K+ a2 + a +1) Dowód tego wzoru to po prostu pomnożenie wyrażeÅ„ po prawej stronie i sprawdzenie, czy po lewej jest to samo. (a -1)(an-1 + an-2 +K+ a2 + a +1)= a Å" an-1 + a Å" an-2 +K+ a Å" a2 + a Å" a1 + a Å"1- an-1 - an-2 -K- a2 - a -1 = = an + an-1 +K+ a3 + a2 + a - an-1 - an-2 -K- a2 - a -1 = an -1 Wszystkie wyrazy oprócz skrajnych redukujÄ… siÄ™.