2
Definicja pola elektromagnetycznego
z
Siła Lorentza
Podstawy elektrotechniki
E
Q
F
F = Q(E + v × B)
v
B
E  natężenie pola elektrycznego
y
B  indukcja pola magnetycznego
x
v  prędkość ładunku
Równania Maxwella
"D
" × H = J + B = µH
H  natężenie pola magnetycznego
"t
"B
µ  przenikalność magnetyczna
" × E = -
"t
D  indukcja pola elektrycznego D = µE
" Å" D = Á
µ  przenikalność elektryczna
" Å" B = 0
J  gÄ™stość prÄ…du Á  gÄ™stość Å‚adunku
3 4
Prawo Gaussa Pole elektryczne
D Twierdzenie Gaussa
z F
Prawo Coulomba
E
Q
S
rz
Q1 Q2
Q0Q r
+"D Å" dS = +"" Å" DdV
Q3
r F =
S(V) V
4Ä„µ
r3
Q0
ry
V
Qn Q4
E
+"µE Å" dS = +"ÁdV = Qc
rx y
E
D
przenikalność elektryczna µ = µrµ0
S(V) V
µ
D
x
"Q [rx ry rz ]
Q0Q
Q0Q
+"E Å"dS =
F =
= [ex ey ez]
µ
S(V)
r
4Ä„µr2
4Ä„µr2
Q0Q
e2 + e2 + e2 = 1
F = F = e2 + e2 + e2
x y z
x y z
4Ä„µr2
Strumień wektora natężenia pola
Q0Q
elektrycznego
F =
4Ä„µr2
5 6
Pole elektryczne Pole elektryczne
FB
z
F
l
z F
Siła Lorentza
Q rB
dW = -F Å"dl = -FdlcosÄ…
r
F = Q(E + v × B)
= QE
r FA
Q0 rA Q
Q0 dl
Ä…
y
y
x
r dr
x
F F Q0
Natężenie pola elektrycznego
E = E = =
dlcosÄ… = dr
Q Q
4Ä„µr2
To samo z prawa Gaussa: l
Ä… F
dl
+" +"dS=
+"EÅ"dS = EdS = E E Å"S
dW = -Fdr
S S
S
dl
S
= E Å"4Ä„r2
rB
Q0
r
Q0
W = - Fdr
E Å" 4Ä„r2 =
r +"
µ
E
rA
Q0
E =
4Ä„µr2
7 8
Pole elektryczne Pole elektryczne
rB
rB rB
rB
z ÕB
Q0
QQ0 1
WB = -
+"QEdr
W = -
ìÅ‚- ÷Å‚
+"QEdr = -+"Q 4Ä„µr2 dr = - ëÅ‚ öÅ‚
rB UAB
"
4Ä„µ r
íÅ‚ Å‚Å‚r
rA rA
A
WB rB
Q0 rA ÕA
ÕB = = - Edr
+"
ëÅ‚ öÅ‚
QQ0 1 1
y
Q
Q "
= ìÅ‚ - ÷Å‚
l
ìÅ‚
x
4Ä„µ rB rA ÷Å‚
rA
íÅ‚ Å‚Å‚
z
ÕA = - Edr
+"
rB
rA " "
P
Õw punkcie P = - Edr
Ogólnie:
Q0
+"
QQ0 1
punkt Õ=0
WB =
y
4Ä„µ rB
x
ÕA - ÕB = UAB - napiÄ™cie
WB Q0 rA rB " rB rB
= = ÕB - potencjaÅ‚ elektryczny
UAB = - Edr + Edr = Edr + Edr = Edr
+" +" +" +" +"
Q 4Ä„µrB
" " rA " rA
=
=
0
0
9 10
Pojemność elektryczna. Kondensatory Pojemność elektryczna. Kondensatory
+Q0 - Q0
= 0
+"EÅ"dS =
S
µ
S
E
Q0 -Q0 E
E = 0
+Q -Q
Q Q0
= = à - gÄ™stość powierzchniowa
S0 S
Å‚adunku [C/m2]
S0 = a × b S0
a
µ µ
d d
d << a, b d << a, b
- pomijamy efekty brzegowe - pomijamy efekty brzegowe
11 12
Kabel koncentryczny - kondensator walcowy
Pojemność elektryczna. Kondensatory
S
Q0
y
EÅ"dS =
x
+"
Õ2
µ
-Ä
S
S
+Ä Õ1
Q Ã
= E Å"S
EÅ"dS
+" E = =
r
E=0
µS0 µ
S
Q0 E
Q
E
Q0 = S
l
S0
Õ Õ=0
µ
Ä - gÄ™stość liniowa Å‚adunku [C/m]
0
0 0
à à Ã
=
Õ = - E dx - dx = - x = d
+"
+"
EdS = E E Å"S
µ µ µ
d
d
d +"EÅ"dS = +" +"dS= = E Å" 2Ä„rl
S0
U S S S
µ
à Q
U = Õ - 0 = d = d
Q Äl
d
z prawa Gaussa:
E2Ä„rl = =
µ µS0
µ µ
Q S0 Äl Ä
d << a, b
C = = µ E = =
U d 2Ä„µrl 2Ä„µr
- pomijamy efekty brzegowe
b
2
1
2r
2r
13 14
Kabel koncentryczny - kondensator walcowy Kabel koncentryczny - kondensator walcowy
S S
Õ2 Õ2
-Ä -Ä
+Ä Õ1 +Ä Õ1
r r
E E
l l
µ µ
Ä - gÄ™stość liniowa Å‚adunku [C/m] Ä - gÄ™stość liniowa Å‚adunku [C/m]
r1 r2
Ä r2
Ä
U = ln
=
U = Õ1 - Õ2 - E dr = dr
+" +" 2Ä„µ r1
2Ä„µr
r2 r1
Ä 2Ä„µ
Ä Ä r2
r2
C = =
= lnr = ln
r2
r1 U
2Ä„µ 2Ä„µ r1
ln
r1
C - pojemność jednostkowa [F/m]
15 16
Przewodnik o stałym przekroju
Pole przepływowe
I
I
ÕB
U
i
S
dQ J =
i = I
S
E
dt E =
J
J
ÕA Å‚S
ÕA > ÕB
Å‚
E =
dQ
= const. = I - prąd stały
Å‚
l
dt
x
0 0
i
I
I 0 I
=
U = - E dx = - dx - x = l
dS di
+" +"
l
di
Å‚S Å‚S Å‚S
Gęstość prądu J = l l
S
dS
l
U = I = R Å" I - prawo Ohma
J
Å‚S
Natężenie pola przepływowego E =
Å‚
R - rezystancja
ł - konduktywność (przewodność właściwa)
2
2
1
1
2r
2r
2r
2r
=
17 18
Kabel koncentryczny - rezystancja izolacji
Przewodnik o zmiennym przekroju
dx
dR =
S = Ä„r2
Å‚S
I
x = 0 r = r1
r2 - r1
r
U
r(x) = x + r1
x dx
x = s r = r2
s
I
s
E
J
l
dx
dR = Å‚
I I J I
r2 - r1 2
J = = E = =
Å‚Ä„ëÅ‚ x + r1 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
s
S 2Ąrl ł 2Ąrlł
íÅ‚ Å‚Å‚
s
s
r1 r1
I r2
dx s 1 s I I
R = = - = = ln
U = - dr = - ln r
+"
+"
2Ąlł r1
r2 - r1 2 Å‚Ä„(r2 - r1) ëÅ‚ r2 - r1 x + r1 öÅ‚ Å‚Ä„r1r2 2Ä„rlÅ‚ 2Ä„lÅ‚
r2 r2
0
ìÅ‚ ÷Å‚
Å‚Ä„ëÅ‚ x + r1 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
s
íÅ‚ Å‚Å‚
s
íÅ‚ Å‚Å‚ 0
19 20
Kabel koncentryczny - rezystancja izolacji
Uziemienia
üÅ‚
I
J =
I
Uziom półkulisty ôÅ‚
I
Ò! E =
2Ä„r2
żł
2Ä„Å‚r2
r0
ôÅ‚
J = Å‚E
r
Å‚ þÅ‚
r
U
I
J
E
V(r) = -
+"E(r)dr
J
l
Å‚
I I -1
V(r) = - dr = - + K
+"
2Ä„Å‚r2 2Ä„Å‚ r
K  stała całkowania
Warunek brzegowy:
U 1 r2
R = = ln
Rezystancja izolacji:
V çÅ‚r"0 - w nieskoÅ„czonoÅ›ci potencjaÅ‚ jest równy zeru.
çÅ‚
çÅ‚
I 2Ąlł r1
I
I
lim = 0
Ò! K = 0 V(r) =
r" 2Ä„Å‚r
2Ä„Å‚r
2
1
2
1
2r
2r
2r
2r
2r
2
1
2r
2r
21 22
Uziemienia Uziemienia Napięcie krokowe:
I ëÅ‚ 1 1 öÅ‚
I rB I
Uk(r)= ìÅ‚ - ÷Å‚
r
rA 2Ä„Å‚ r r + 0,7
íÅ‚ Å‚Å‚
I
r0 r0
V0 = V(r0) =
I = 50 kA Å‚ = 0,1S
2Ä„Å‚r0
Å‚ Å‚
40
V0 1
Rezystancja uziomu: R = =
I 2Ä„Å‚r0
30
Napięcie krokowe:
20
ëÅ‚ öÅ‚
I 1 1
ìÅ‚ - ÷Å‚
UAB = VA - VB = V(rA ) - V(rB) =
ìÅ‚
2Ä„Å‚ rA rB ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
10
I = 50 kA rA = 10 m rB = 10,7 m Å‚ = 0,1S
50000 ëÅ‚ 1 1 öÅ‚
0
UAB = ìÅ‚ - ÷Å‚ = 521 V
0 10 20 30
r [m]
2Ä„0,1 10 10,7
íÅ‚ Å‚Å‚
k
U [kV]