Fale elektromagnetyczne
Równania Maxwell a opisują wzajemny związek pola
elektrycznego i magnetycznego. Dowolne zaburzenie jednego
z pól powoduje reakcję drugiego pola.
Maxwell w 1864 roku przewidział teoretycznie istnienie
fal elektromagnetycznych.
Dopiero 20 lat póz
niej H. Hertz potwierdził eksperymentalnie
istnienie fal elektromagnetycznych.
Hertz po raz pierwszy wytworzył fale elektromagnetyczne posługując
siÄ™ skonstruowanym przez siebie oscylatorem elektrycznym
(oscylator Hertza). Stwierdził to\
samość fizyczną fal
elektromagnetycznych i fal świetlnych oraz ich jednakową prędkość
rozchodzenia się. Hertz stworzył podstawy rozwoju radiokomunikacji.
a) Oscylator Hertz a b) rezonator Hertz a
Równania Maxwella
Postać ró\
niczkowa
Postać całkowa
I równanie Maxwella
"B
d
rotE = -
E dl = - B d s
+"
+"
dt
"t
L(S ) S
"D
"D
H dl = j + ) d s II równanie Maxwella rotH = j +
+"( "t
+"
L(S ) S
"t
D d s =
v
+"q dv
+"
III równanie Maxwella
divD = qv
S (V ) V
B d s = 0 IV równanie Maxwella
divB = 0
+"
S (V )
D = µ0 E + P
Równania materiałowe
D = µ E = µ0µr E
B = µ0 H + µ0 M
B = µ H = µ0µr E
j = Å‚ E + qvu
Fale elektromagnetyczne
Opis matematyczny tego zjawiska otrzymamy poprzez połączenie dwóch pierwszych
równań Maxwell a.
"D
rotH = j + rot
"t
korzystamy z to\
samości
rotrotH = graddivH - lapH
"×"H = " " H - "2 H
( )
Zakładamy, \
e środowisko jest:
"D "
- jednorodne
rot( j + ) = Å‚ rotE + µ rotE
- izotropowe
"t "t
- liniowe
divB = µdivH = 0
.
"H
rotE = -µ
"t
zatem
"H "2 H
"2 H = µÅ‚ + µµ
"t "t2
Fale elektromagnetyczne
Podobnie postępujemy dla pola elektrycznego
"B
rotE = - rot
"t
rotrotE = graddivE - lapE
"×"E = " " E - "2 E
( )
zakładamy, \
e w rozpatrywanym obszarze nie ma ładunków swobodnych i wtedy
divD = µdivE = 0
"B " "E "2 E
rot(- ) = -µ rotH = -µÅ‚ - µµ
"t "t "t "t2
"E "2 E
"2 E = µÅ‚ + µµ
"t "t2
Fale elektromagnetyczne
Mo\
emy rozpatrywać propagację fali w następujących ośrodkach:
Å‚ = 0,µ = µ0, µ = µ0
( )
-wolna przestrzeń
Å‚ = 0,µ = µrµ0, µ = µrµ0 i Å‚ j" ɵ
-bezstratne dielektryki ( )
Å‚ `" 0,µ = µ0, µ = µ0
-stratne dielektryki ( )
- dobre przewodniki
Å‚ = ",µ = µrµ0, µ = µrµ0 i Å‚ k" ɵ
( )
na początek rozpatrzmy idealne środowisko dielektryczne (ł=0), wówczas otrzymamy
"2 H
"2 H = µµ Ä„%H = 0
"t2
"2 E
"2 E = µµ Ä„%E = 0
"t2
ëÅ‚ öÅ‚
1 "2
2
Ä„% =
wprowadzamy operator:
ìÅ‚" - v2 "t2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Fale elektromagnetyczne
W teorii równań ró\
niczkowych równanie typu
Ä„%u = 0
Nosi nazwę równania falowego ,w którym wielkość  u zmienia się falowo z
prędkością rozchodzenia się fali  V .
f (x + a)
f (x) f (x -a)
Rozpatrzmy funkcjÄ™ f(x)
Ruchem falowym będziemy nazywać taki ruch gdy
pewne zaburzenie stanu fizycznego środowiska
opisane funkcjÄ… f(x), przemieszcza siÄ™ w przestrzeni
ze stałą prędkością  v .
-v jest prędkością fali
x
- a=vt określa drogę jaką przebywa fala w czasie t
-a 0 a
Fala jest funkcjÄ… czasu i przestrzeni.
Ruch falowy występuje wtedy, kiedy zaburzenie w punkcie A w czasie to determinuje
to co zdarzy siÄ™ w punkcie B w czasie t>to.
Tak więc ruch falowy opisuje dowolna funkcja, której argumentem jest wyra\
enie
É1,2=xÄ…vt
Fale elektromagnetyczne
-f(x-vt) fala biegnÄ…ca w kierunku + osi x ( fala pierwotna )
-f(x+vt) fala biegnÄ…ca w kierunku - osi x ( fala odbita, powrotna )
"2u 1 "2u
Ä„%u = 0Ò! =
Sprawdzimy, \
e funkcja u=f(É1,2)=f(xÄ…vt) speÅ‚nia równanie
"x2 v2 "t2
"É1,2
"u "f "f
= =
"x "É1,2 "x "É1,2
"É1,2
"2u " "f "2 f "2 f
= ( ) = =
2 2
"x2 "x "É1,2 "É1,2 "x "É1,2
"É1,2
"u "f "f
= = Ä…v
"t "É1,2 "t "É1,2
"É1,2
"2u " "f "2 f
= (Ä…v ) = Ä…v( ) =
2
"t2 "t "É1,2 "É1,2 "t
"2 f "2 f
= Ä…v(Ä…v ) = v2 2
2
"É1,2 "É1,2
"2 f 1 "2 f
= v2 2
2
cbdo
"É1,2 v2 "É1,2
Fale elektromagnetyczne
Poniewa\
takie równanie opisuje zarówno pole elektryczne jak i magnetyczne to
Wnioskujemy, \
e pola te rozprzestrzeniają się ruchem falowym z prędkością
1 c
v = =
µµ µrµr
Je\
eli fala elektromagnetyczna rozprzestrzenia się w pró\
ni to
1 F
µ0 = 10-9
36  m
H
µ0 = 4  Å"10-7
m
m
v = 3Å"108 = c
s
Fale elektromagnetyczne
Fala elektromagnetyczna w środowisku nieprzewodzącym (ł=0)
"2 H
"2 H = µµ Ä„%H = 0
"t2
"2 E
"2 E = µµ Ä„%E = 0
"t2
Układ ten jest układem 6 równań dla funkcji skalarnych
"2Hx "2Hx "2Hx 1 "2Hx
+ + =
"x2 "y2 "z2 v2 "t2
Równanie te są w ogólnym przypadku trudne do rozwiązania zarówno metodami
analitycznymi jak i numerycznymi.
Przyjmujemy pewne uproszczenia.
Fala płaska spolaryzowana liniowo ( TEM )
E i H
Fala płaska  fala w której wektory drgają w płaszczyz
nie prostopadłej do kierunku
rozchodzenia się fali ( nie występują drgania w kierunku rozchodzenia się fali ).
Fale elektromagnetyczne
Załó\
my, \
e fala rozchodzi się wzdłu\
osi  z , to wówczas składowe Hz=Ez=0
E i H
Udowodnimy póz
niej, \
e w fali płaskiej wektory są wzajemnie prostopadłe.
Fala spolaryzowana liniowo - taka fala dla, której mo\
liwy jest wybór osi x i y taki, \
e
wektor pala elektrycznego drga wzdłu\
osi x a wektor pola magnetycznego drga
wzdłu\
osi y i wówczas:
x
E = Exi
z
H = H j
y
y
Fale elektromagnetyczne
Wówczas równania falowe redukują się do układu dwóch równań
"2H "2H
1
y y
- = 0
"z2 v2 "t2
"2Ex 1 "2Ex
- = 0
"z2 v2 "t2
a równania Maxwell a redukują się do równań:
"H
"Ex "Ex
y
- = Å‚ Ex + µ = µ zalo\
ylismy, \
e Å‚ = 0
"z "t "t
"H
"Ex
y
- = µ
"z "t
Fale elektromagnetyczne
Przyjęcie zało\
enia fali TEM upraszcza w znacznym stopniu równania falowe jak i równania
Maxwell a.
Kiedy takie zało\
enie jest dopuszczalne ?
y
ródłem fali elektromagnetycznej są najczęściej przewody z prądem lub anteny.
Przewód prostoliniowy:
z
x
Fala wnika do przewodu
E
•"
H
y
W przypadku promieniowania z odległego z
ródła, fala ma charakter kulisty.
Mały wycinek kuli mo\
na potraktować jako płaski je\
eli r jest du\
e
Fale elektromagnetyczne
Fala pierwotna i powrotna
Analizę przeprowadza się w ten sposób, \
e jedno z pól znajduje się z równania falowego
a drugie pola z równania Maxwell a.
Niech równanie falowe opisuje pole elektryczne
"2Ex 1 "2Ex
=
"z2 v2 "t2
Równanie to ma ogólne rozwiązanie w postaci
Ex (z,t) = f (z - vt) + g(z + vt)
gdzie funkcje f i g są w badanym obszarze ciągłe i dwukrotnie ró\
niczkowalne
f(z-vt)  fala pierwotna, padajÄ…ca
g(z+vt)  fala powrotna, odbita ( występuje wtedy kiedy fala pierwotna napotyka na
przeszkodę i następuje częściowe lub całkowite odbicie  np. granica dwóch ośrodków
Fale elektromagnetyczne
Pole magnetyczne obliczamy z równania Maxwell a
"H
"Ex "Ex
y
- = Å‚ Ex + µ = µ zalo\
ylismy, \
e Å‚ = 0
"z "t "t
"Ex "f "É1 "g "É2 "f "g
= + = -v + v
"t "É1 "t "É2 "t "É1 "É2
"H
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
"f "g µ "f "g
y
zatem
= µv =
ïÅ‚"É - "É2 śł ïÅ‚"É - "É2 śł
"z µ
ðÅ‚ 1 ûÅ‚ ðÅ‚ 1 ûÅ‚
"f "f "É1 "f
= =
"É1 "É1 "z "z
"g "g "É2 "g
z uwagi na fakt, \
e
= =
"É2 "É2 "z "z
"Hy µ "
= f - g
[ ]
"z µ "z
µ
Hy (z,t) = f (z - vt) - g(z + vt)
[ ]
µ
Fale elektromagnetyczne
Pole magnetyczne jest tak\
e kombinacjÄ… liniowÄ… fali pierwotnej i powrotnej.
PrzyjmujÄ…c oznaczenie:
E1x (z,t) = f (z - vt)
üÅ‚
ôÅ‚
fala pierwotna
µ
H1y (z,t) = f (z - vt)żł
ôÅ‚
µ
þÅ‚
E2 x(z,t) = g(z + vt)
üÅ‚
ôÅ‚
fala powrotna
µ żł
H2 y (z,t) = - g(z + vt)ôÅ‚
µ
þÅ‚
zatem
Ex (z,t) = E1x (z,t) + E2 x(z,t)
H (z,t) = H1y (z,t) + H2 y (z,t)
y
Impedancją falową środowiska będziemy nazywać stosunek natę\
enia pola elektrycznego fali padajÄ…cej do
natÄ™\
enia pola magnetycznego fali pierwotnej.
E1 E2 µ
Z = = - = dla srodowiska dielektrycznego
H1 H2 µ
dla pró\
ni Z0=120 &!=377&!
Fale elektromagnetyczne
Fala okresowa
Ze wszystkich mo\
liwych funkcji opisujących falę elektromagnetyczną szczególne znaczenie mają funkcje
okresowe, czyli spełniające warunek:
f (z - vt) = f z - v(t + T )
[ ]
g(z + vt) = g z + v(t + T )
gdzie T  okres funkcji
[ ]
Poniewa\
zarówno zmienna przestrzenna z jak i zmienna czasowa t są argumentami tej samej
funkcji to wykres f(z0-vt) i f(z-vt0) mają ten sam kształt. Okresowość więc dotyczy tak\
e
zmiennej przestrzennej f [z-v(t+T)]=f [(z-)-vt].
Po przyrównaniu argumentów otrzymamy :
 = v Å"T
1 2 
T = =
f É
v v
 = = 2 
f É
Fale elektromagnetyczne
Fale harmoniczne  podklasa fal okresowych opisanych funkcjÄ… sinus lub cosinus
Fale okresowe mogą być traktowane jako superpozycja fal harmonicznych je\
eli
spełniają następujące warunki:
- funkcja okresowa musi spełniać warunki Dirichleta
Twierdzenie Przypuśćmy, \
e f:RR jest funkcjÄ… okresowÄ… o okresie T.
Jeśli f spełnia następujące trzy warunki (zwane warunkami Dirichleta):
T
1.funkcja f jest bezwzględnie całkowalna, tzn.: 2
f (x) < "
+"
,
-T
2
2.funkcja f w przedziale jednego okresu ma skończoną liczbę maksimów lokalnych
i minimów lokalnych,
3.funkcja f w przedziale jednego okresu posiada skończoną liczbę punktów
nieciągłości 1 rodzaju,
to f ma reprezentacjÄ™ w postaci szeregu Fouriera.
- warunki rozchodzenia się fal muszą być niezale\
ne od częstotliwości
Fale elektromagnetyczne
Wektory zespolone
niech
N(x, y, z,t) = Nxi + Ny j + Nz k
zakładamy, \
e Nx (x, y, z,t) = Nxm sin(Ét +È )
p
Takiej funkcji mo\
emy jednoznacznie przyporządkować wartość zespoloną
jÈ
p
N (x, y, z) = Nxme
xm
j(Ét+È )
oraz funkcjÄ™ zespolonÄ…
jÉt
p
N (x, y, z,t) = N (x, y, z)e = Nxm (x, y, z)e
xm xm
skÄ…d
Nx (x, y, z,t) = Im{N (x, y, z,t)}
xm
N wektor
jÉt
N wektor zespolony N = N e
m
Oznaczenia:
jÈ
p
N wartośa zespolona wektora N = Nme
m m
È - faza poczÄ…oczÄ…t
p
Nm - amplituda rzeczywista wektora,
wartośa maksymaln a w czasie
2 2 2
Nm = Nxm + N + Nzm
ym
Fale elektromagnetyczne
Dla fali harmonicznej, wektory natÄ™\
eń pól i wektory indukcji mo\
emy zapisać w postaci zespolonej
jÉt jÉt jÉt
H = H e B = Bme = H = µ H e = µ H
m m
jÉt jÉt jÉt
E = Eme D = Dme = E = µ Eme = µ E
Wykorzystując wektory zespolone równania Maxwell a przyjmą postać
"D
rotH = j + = (ł + jɵ )E
"t
"B
rotE = - = - jɵ H
"t
Co daje równania rotH = (Å‚ + jɵ )Em
m
rotEm = - jɵ H
m
Je\
eli fala harmoniczna jest falą płaską i spolaryzowaną liniowo, to
H = H (z)
m my
Em = Emx (z)
Fale elektromagnetyczne
"Hmy
- = ł + jɵ Emx
Wówczas równania przyjmują postać ( )
"z
"Emx
- = - jɵ H
( )
my
"z
"H "2 H
"2 H = µÅ‚ + µµ
Równanie falowe dla wektorów zespolonych
"t "t2
"2 H = ( jɵł +É2µµ )H
m m
Dla fali płaskiej , spolaryzowanej liniowo równanie falowe ma postać
"2 H
my
= ( jɵł + É2µµ )H
my
"z2
Wprowadzamy oznaczenie
-1
îÅ‚ Å‚Å‚
“ = jɵł -É2µµ stala propagacji
ðÅ‚m ûÅ‚
Fale elektromagnetyczne
"2 H = “2 H
m m
"2 H
Dla fali płaskiej spolaryzowanej liniowo
my
- “2 H = 0
my
"z2
Fala harmoniczna w środowisku nieprzewodzącym
Rozwiązanie ogólne równania zapisujemy w postaci sumy funkcji hiperbolicznych
H (z) = C1ch“z + C2sh“z
my
gdzie C1 i C2 stałe całkowania
Å‚ = 0Ò! “ = -É2µµ = jÉ µµ
je\
eli
rad
É
1 ² = 1
[ ]
Wielkość nazywamy stałą fazową
² = É µµ =
m
v
ex - e- x
shx =
Poniewa\
wówczas
2
ch“z = chj² z = cos ²
sh“z = shj² z = j sin ² ex + e- x
chx =
2
Fale elektromagnetyczne
H (z) = C1 cos ² z + jC2 sin ² z
my
jÉt
H (z,t) = Im H (z)e
poniewa\

{ }
my
y
H (z,t) = C1 cos ² z sinÉt + C2 sin ² z cosÉt
y
to
1
sin x cos y = sin(x + y) + sin(x - y)
[ ]
2
wykorzystujÄ…c to\
samość trygonometryczną
1
cos xsin y = sin(x + y) - sin(x - y)
[ ]
2
H (z,t) = A1 sin(² z -Ét) + A2 sin(² z +Ét)
y
îÅ‚ É Å‚Å‚
² z " Ét = ² " tśł = ² z " vt
[ ]
zapisujÄ…c
ïÅ‚z ²
ðÅ‚ ûÅ‚
H (z,t) = A1 sin[² (z - vt)] + A2 sin[² (z + vt)]
y
Fale elektromagnetyczne
Pole elektryczne wyznaczamy korzystając z pojęcia impedancji falowej
µ
Ex (z,t) = {A1 sin[² (z - vt)]- A2 sin[² (z + vt)]}
µ
Najwa\
niejsze cechy fali harmonicznej płaskiej i spolaryzowanej liniowo:
-zachowuje stałą amplitudę pola elektrycznego i magnetycznego ( brak tłumienia )
- pole elektryczne i magnetyczne sÄ… w fazie
Fale elektromagnetyczne
" Fale radiowe: - częstotliwości rzędu kiloherców i megaherców;
"
"
"
- długości rzędu kilometrów i metrów;
" Mikrofale: - częstotliwości rzędu gigaherców (109 Hz);
"
"
"
- długości rzędu centymetrów i milimetrów;
" Podczerwień: - częstotliwości 1011 do 1014 Hz;
- długości milimetrowe do mikrometrowych;
" ÅšwiatÅ‚o widzialne: - 400÷800 nm
" Ultrafiolet: - 10÷400 nm (nadfiolet)
" Promieniowanie rentgenowskie (X): - 0,005÷10 nm
" Promieniowanie gamma (ł): - długości poni\
ej 10-12 nm