Egzamin  teoria 24.01.2005
Zadanie 1 [6pkt] Podać definicję kresu dolnego zbioru A. Wyznacz kresy zbiorów A oraz B,
gdy


t Ä„
A = x : x = , t " R B = sin (-1)n · , n " N1
t2 - t 4
Zadanie 2 [6pkt]
" Podaj definicjÄ™ lim f(x) = +", (x0 " R) oraz definicjÄ™ lim f(x) = g, (g " R)
xx0 x-"
" Obliczyć granicę funkcji
1

x3 x Ä„ - 2arctgx

lim , lim
1
x" x"
2 + 2x3
ln 1 +
x
Zadanie 3 [6pkt]
" Podać twierdzenie Taylora z resztą Lagrange a.
" Napisać wielomian Taylora dla funkcji f(x) = 2xex dla x0 = 1 oraz n = 3.
Zadanie 4 [6pkt]
" Podać definicję funkcji pierwotnej funcji f.
" Znalez
ć funkcję pierwotną do funkcji f w przedziale [0, 5], gdzie
Å„Å‚
ôÅ‚ - 3 x " [0, 1]
òÅ‚x
f(x) = 2x + 5 x " (1, 2)
ôÅ‚
ół3 x " [2, 5]
Zadanie 5 [6pkt]
"

" Podać definicję f(x)dx.
-"
"

3x + 3
" Zbadać zbieżność całki dx
x2 + 6x + 10
-"
Zadanie 6 [10pkt]
" Podać i udowodnić twierdzenie całkowe o wartości średniej.
" Udowodnić twierdzenie:
Jeżeli f " C([a, b]) oraz f(a)f(b) < 0, to istnieje punkt c " (a, b) taki, że f(c) = 0.
1