LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 1 dysleksja Miejsce na identyfikacj´ szko"y ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA GRUDZIEÄ„ POZIOM ROZSZERZONY ROK 2007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdajÄ…cego 1. SprawdÄ™, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zada- nia 1 11). Ewentualny brak zg"oĘ przewodniczÄ…cemu zespo"u nadzorujÄ…cego egzamin. 2. RozwiÄ…zania zadaÅ‚ i odpowiedzi zamieĘç w miejscu na to przeznaczonym. 3. W rozwiÄ…zaniach zadaÅ‚ przedstaw tok rozumowania prowa- dzÄ…cy do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. UÅ»ywaj d"ugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie uÅ»ywaj korektora, a b"´dne zapisy przekreĘl. 6. Pami´taj, Å»e zapisy w brudnopisie nie podlegajÄ… ocenie. 7. Obok kaÅ»dego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którÄ… moÅ»esz uzyskaç za jego poprawne rozwiÄ…- Za rozwiÄ…zanie wszystkich zadaÅ‚ zanie. moÅ»na otrzymaç 8. MoÅ»esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych, cyr- "Ä…cznie 50 punktów. kla i linijki oraz kalkulatora. Úyczymy powodzenia! Wpisuje zdajÄ…cy przed rozpocz´ciem pracy KOD PESEL ZDAJŃCEGO ZDAJŃCEGO Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON. Kopiowanie w ca"oĘci lub we fragmentach bez zgody wydawcy zabronione. Wydawca zezwala na kopiowanie zadaÅ‚ przez dyrektorów szkó" biorÄ…cych udzia" w programie Próbna Matura z OPERONEM. LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 2 2 LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 3 Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i GazetÄ… WyborczÄ… Zadanie 1. (5 pkt) Dany jest rosnÄ…cy ciÄ…g geometryczny a , w którym a1= 6, a3= 24. ^ h n a) Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciÄ…gu a . ^ h n a5 b) Oblicz x, jeĘli wiadomo, Å»e liczby a2 + 1, , 3x + 2 tworzÄ… ciÄ…g arytmetyczny. 4 3 LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 4 Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i GazetÄ… WyborczÄ… Zadanie 2. (4 pkt) W trójkÄ…cie ABC sÄ… dane: AC = 10, BC = 10 2. PromieÅ‚ okr´gu opisanego na tym trójkÄ…cie: R = 10. Oblicz miar´ kÄ…ta ACB. 4 LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 5 Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i GazetÄ… WyborczÄ… Zadanie 3. (6 pkt) x3 + 2x2 - x - 2 Dana jest funkcja f (x) = . x2 + x - 2 a) Przedstaw wzór funkcji f w najprostszej postaci. b) Narysuj wykres funkcji f . c) Narysuj wykres funkcji g (x) = f (x) - f (x) i podaj jej zbiór wartoĘci. 5 LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 6 Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i GazetÄ… WyborczÄ… Zadanie 4. (4 pkt) Funkcja kwadratowa f (x) = 2x2 + bx + c jest malejÄ…ca w przedziale ^-3, 4h i rosnÄ…ca w przedziale ^4, +3h, a iloczyn jej miejsc zerowych wynosi 12. a) Wyznacz wspó"czynniki b i c. 2 2 b) Nie wyznaczajÄ…c miejsc zerowych x1 oraz x2, oblicz wartoĘç wyraÅ»enia x1 + x2. 6 LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 7 Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i GazetÄ… WyborczÄ… Zadanie 5. (3 pkt) WykaÅ», Å»e jeĘli d"ugoĘci kolejnych boków czworokÄ…ta opisanego na okr´gu tworzÄ… ciÄ…g arytmetycz- ny, to ten czworokÄ…t jest rombem. 7 LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 8 Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i GazetÄ… WyborczÄ… Zadanie 6. (4 pkt) Wyznacz wartoĘç parametru a, dla którego równanie: ax + 49 = a2 - 7x ma nieskoÅ‚czenie wiele roz- wiÄ…zaÅ‚. 8 LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 9 Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i GazetÄ… WyborczÄ… Zadanie 7. (4 pkt) Dany jest trapez o podstawach a, b, a > b. Wyznacz d"ugoĘç odcinka "Ä…czÄ…cego Ęrodki przekÄ…tnych te- go trapezu. 9 LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 10 Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i GazetÄ… WyborczÄ… Zadanie 8. (3 pkt) 3 Napisz równanie okr´gu o Ęrodku S = (10, - 3) stycznego do prostej o równaniu: y =- x + 2. 4 10 LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 11 Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i GazetÄ… WyborczÄ… Zadanie 9. (6 pkt) RozwiÄ…Å» równanie tg x^2 sin x cos x + cos xh= 0 w przedziale r, 2r . 11 LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 12 Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i GazetÄ… WyborczÄ… Zadanie 10. (5 pkt) + Ze zbioru Z ="1, 2, 3,..., 2n + 1,, gdzie n ! N wylosowano równoczeĘnie dwie liczby. Wyznacz n, tak aby prawdopodobieÅ‚stwo wylosowania liczb, których suma jest liczbÄ… nieparzystÄ… by"o wi´ksze 7 od 13. 12 LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 13 Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i GazetÄ… WyborczÄ… Zadanie 11. (6 pkt) Kraw´dÄ™ podstawy i wysokoĘç Ęciany bocznej poprowadzona z wierzcho"ka ostros"upa prawid"owe- go czworokÄ…tnego majÄ… d"ugoĘci 2a. Oblicz cosinus kÄ…ta dwuĘciennego mi´dzy sÄ…siednimi Ęcianami bocznymi. SporzÄ…dÄ™ rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymieniony w zadaniu kÄ…t dwuĘcienny. 13 LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 14 Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i GazetÄ… WyborczÄ… BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) 14 LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 15 Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i GazetÄ… WyborczÄ… BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) 15 LMD-ARKUSZE-ARK1-ZR 11/2/07 1:10 PM Page 16