Redukcja dowolnego układu wektorów,
redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci
Twierdzenie o redukcji:
Każdy układ wektorów równoważny jest układowi złożonemu ze sumy o początku w dowolnym
punkcie O i pary o momencie równym momentowi układu względem punktu O .
Dane:
Z
Długości wektorów:
| PA | = 10
| PC | = 8
A
| PO | = 15
Punkty zaczepienia wektorów:
P
A
P
O
A ( 0, 3, 5 ); C ( 0, 3, 0 ); O ( 0, 0, 0 ) C
C
P
Współrzędne punktów B i K
O
Y
B
X
B (4, 0, 0 ); K ( 4, 3, 0 )
K
Rys.1 Dany układ wektorów
1. Obliczenie współrzędnych wektorów PA , PC oraz PO
AB
Wektor PA jest współliniowy z wektorem AB oraz z wersorem e =
AB
AB = ( 4, -3, -5 ) AB = 42 + 32 + 52 = 5 2
4
ëÅ‚ - 3 - 5
öÅ‚
e = , ,
ìÅ‚ ÷Å‚
5 2 5 2 5 2
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚10 " 4 10 " (-3) 10 " (-5) öÅ‚
PA = | PA | " e = ìÅ‚ , , ÷Å‚ = ( 5,657, -4,243, -7,071 )
5 2 5 2 5 2
íÅ‚ Å‚Å‚
CA
PC = | PC | " = ( 0, 0, 8 )
CA
OK 15 " 4 15 " 3
PO = | PO | " = ëÅ‚ , ,0öÅ‚ = ( 12, 9, 0 )
ìÅ‚ ÷Å‚
OK 5 5
íÅ‚ Å‚Å‚
Uwaga: działania na wektorach przeprowadzamy w tabelach
i tak np. zapis wektora PA = ( 5,657, -4,243, -7,071 )
zastępujemy zapisem wektora w tabeli:
PA 5,657 -4,243 -7,071
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka 1/6
2. Redukcja danego układu wektorów w punkcie O
2.1. Obliczenie sumy S układu wektorów
S = PA + PC + PO
PA 5,657 -4,243 -7,071
PC
0,0 0,0 8,0
PO
12,0 9,0 0,0
17,657 4,757 0,929
S
2.2. Obliczenie momentu MO układu wektorów względem punktu O (0, 0, 0)
MO = MO(PA ) + MO(PC ) + MO(PO ) = PA xAO + PCxCO + POxOO
PA 5,657 -4,243 -7,071
0,0 -3,0 -5,0
AO
PAxAO 0,002 28,285 -16,971
PC
0,0 0,0 8,0
0,0 -3,0 0,0
CO
PCxCO 24,0 0,0 0,0
PO
12,0 9,0 0
0,0 0,0 0,0
OO
POxOO 0,0 0,0 0,0
MO
24,002 28,285 -16,971
Z
X
skala długości
F
N
1m
K
S
-F
O
skala sił
Y
10 KN
Mo
Rys.2 Graficzne przedstawienie redukcji danego układu wektorów w punkcie O
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka 2/6
2.3. Wyznaczenie jednej z równoważnych par wektorów F i - F o momencie MO , gdy
płaszczyzna działania pary wektorów zawiera punkt O (0, 0, 0) ( patrz Rys.2 )
Dane:
współrzędne punktu O (x O , y O , z O ) zaczepienia wektora F , gdzie x O = 0, y O = 0, z O = 0
MO = ( 24,002; 28,285; -16,971 ) - moment pary wektorów F i - F
Szukane:
współrzędne wektora F = ( f X , f Y , f Z )
współrzędne punktu N (x N , y N , z N ) zaczepienia wektora - F ,
Współrzędne wektora F = ( f X , f Y , f Z ) wyznaczamy z warunku, że F Ą" MO :
F " MO = 0
f X " 24,002 + f Y " 28,285 + f Z " (-16,971) = 0
przyjmujemy : f X = 5,0 oraz f Y = 0,0 i obliczamy z powyższej równości f Z = 7,071 :
F = ( 5,0; 0,0; 7,071 )
Współrzędne punktu N (x N , y N , z N ) zaczepienia wektora - F = (-5,0; 0,0; -7,071)
wyznaczamy z własności pary wektorów MO = MN = FxON
5,0 0,0 7,071
F
x N - x O y - y O z - z O
ON
N N
MN = FxON -7,071"( y N -y O ) -[5,0"(z N -z O) -7,071"(x N -x O )] 5,0"( y N -y O )
MO
24,002 28,285 -16,971
Porównując odpowiednie współrzędne MO i MN otrzymujemy:
y N = -3,394 dla przyjętego x N = 0,0 obliczamy z N = 5,657
N ( 0,0 ; -3,394 , 5,657 )
A zatem momentowi MO odpowiada np. para wektorów F i - F ( patrz Rys.2 )
Wektor F = ( 5,0; 0,0; 7,071 ) zaczepiony w punkcie O ( 0,0; 0,0; 0,0 )
Wektor - F = (-5,0; 0,0; -7,071) zaczepiony w punkcie N ( 0,0 ; -3,394 , 5,657 )
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka 3/6
3. Redukcja danego układu wektorów w punkcie K
3.1 Obliczenie momentu MK układu wektorów względem punktu K (4, 3, 0)
MK = MK (PA ) + MK (PC ) + MK (PO ) = PA xAK + PCxCK + POxOK
PC
PA 5,657 -4,243 -7,071 0,0 0,0 8,o
4,0 0,0 -5,0 4,0 0,0 0,0
CK
AK
PA xAK 21,215 0,001 16,972 PCxCK 0,0 32,0 0,0
PO
12,0 9,0 0,0
4,0 3,0 0,0
OK
POxOK 0,0 0,0 0,0 MK 21,215 32,001 16,972
Momentowi MK = ( 21,215; 32,001; 16,972 ) odpowiada np. para wektorów Pi - P( Rys.3 )
Schemat obliczenia podany jest w punkcie 2.3.
Wektor P = ( 0,0; 5,0; -9,427 ) zaczepiony w punkcie K ( 4,0; 3,0; 0,0 )
Wektor - P = ( 0,0; -5,0; 9,427 ) zaczepiony np. w punkcie T ( 0,605 ; 5,25; 0,0 )
skala długości
1m
Z
S
skala sił
10 KN
X
MK
K
-P O
Y
P
T
Rys.3 Graficzne przedstawienie redukcji danego układu wektorów w punkcie K
3.2. Obliczenie momentu MK układu wektorów względem punktu K (4, 3, 0)
korzystajÄ…c z twierdzenia o zmianie bieguna
MK = MO + S x OK
MO
24,002 28,285 -16,971
17,657 4,757 0,929
S
4 3 0
OK
-2,787 3,716 33,943
SxOK
MK 21,215 32,001 16,972
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka 4/6
4. Obliczenie parametru k układu wektorów
k = MO " S = MK " S
k = MO " S = 24,002 " 17,657 + 28,285 " 4,757 + (-16,971) " 0,929 = 542,589
k = MK " S = 21,215 " 17,657 + 32,001 " 4,757 + 16,972 " 0,929 = 542,589
5. Redukcja układu wektorów do najprostszej postaci  redukcja do skrętnika
5.1. Wyznaczenie parametrycznego równania osi środkowej układu wektorów
SxMO
Parametryczne równanie osi środkowej r (rx , ry , rz ) = + S " t = OO * + S " t
2
S
17,657 4,757 0,929
S
MO
24,002 28,285 -16,971
SxMO -107,01 321,95 385,25
2
S =17,657 2 + 4,757 2 + 0,929 2 =335,262
SxMO
OO * =
2 -0,319 0,960 1,149
S
rx = - 0,319 + 17,657 " t
ry = 0,960 + 4,757 " t
rz = 1,149 + 0,929 " t
Dowolne dwa punkty O* i O** leżące na osi środkowej:
dla t = 0,0 O* ( - 0,319; 0,960; 1,149 )
dla t = 0,5 O** ( 8,509; 3,338; 1,613 )
X
O**
Z
O*
K
skala długości
O
1m
Y
Rys.4 Rysunek osi środkowej przechodzącej przez dwa punkty O* i O**
Oś środkowa układu wektorów jest to prosta o tej własności, że moment układu wektorów
względem dowolnego jej punktu jest równoległy do sumy układu wektorów lub równy zeru.
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka 5/6
o
Å›
Å›
r
o
d
k
o
w
a
5.2. Obliczenie momentu MO* układu wektorów względem punktu O* (- 0,319; 0,960; 1,149)
leżącego na osi środkowej korzystając z twierdzenia o zmianie bieguna
MO* = MO + S x OO *
MO
24,002 28,285 -16,971
17,657 4,757 0,929
S
-0,3192 0,9603 1,1491
OO*
4,5742 -20,586 18,474
SxOO *
MO*
28,576 7,6987 1,5035
Momentowi MO* = (28,576; 7,6987; 1,5035 ) odpowiada np. para wektorów R i - R(Rys.5)
Schemat obliczenia podany jest w punkcie 2.3.
Wektor R = ( 0,25; 0,0; -4,75 ) zaczepiony w punkcie O* (-0,319; 0,960; 1,149 )
Wektor - R = (-0,25; 0,0; 4,75 ) zaczepiony w punkcie G (-1,939; 6,976 ; 1,149 )
skala długości
X
1m
O**
Z
skala sił
MO*
10 KN
O*
K
S
O
R
-R
Y
G
Rys.5 Graficzne przedstawienie redukcji danego układu wektorów w punkcie O*
5.3. Sprawdzenie czy moment MO* układu wektorów względem punktu O*
leżącego na osi środkowej jest równoległy do wektora sumy S .
Sprawdzenie przeprowadzamy z warunku MO* x S = 0
MO*
28,576 7,6987 1,5035
17,657 4,757 0,929
S
MO* x S 0,000 0,000 0,000
MO* = 29,633 S = 18,310
Wektor MO* jest współliniowy z wektorem S MO* = 1,618 " S
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka 6/6