Analiza Matematyczna
Kolokwium 2
Zestaw D1
Zadanie 1
Prosz¸ obliczyć
e

dx
" dx.
4 - 3x2
Rozwi¸
azanie
"

dx 1 dx 3 dy
" dx = = =
4 - 3x2 2 1 - ("3/2)2 3
1 - y2
" " "
3 3 3
= arcsin y + C = arcsin x + C
3 3 2
"
3
gdzie zastosowaliśmy podstawienie y = x.
2
Zadanie 2
Prosz¸ obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji f(x) = x2,
e
g(x) = x2 - 2x + 4 .
Rozwi¸
azanie
Rozwiazuj¸ ukÅ‚ad równaÅ„ y = x2 i y = x2 - 2x + 4, otrzymujemy współrz¸ punktu
¸ ac edne
wspólnego parabol (2, 4).
St¸ pole obszaru
ad

2 2
|P (O)| = (x2 - 2x + 4 - x2)dx = (-2x + 4)dx = -4 + 8 = 4.
0 0
Zadanie 3
Prosz¸ wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziaÅ‚y monotonicznoÅ›ci funkcji
e
"
f(x) = x3e-x.
1
Rozwi¸
azanie
Dziedzin¸ funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nieujemnych.
a
Obliczamy pochodn¸ rz¸ pierwszego funkcji f(x).
a edu
"
3
f (x) = x1/2e-x - x3/2e-x = xe-x(3/2 - x)
2
.
f (x) > 0, gdy x " (0, 3/2).
f (x) < 0, gdy x " (3/2, ").
Funkcja f(x) jest Å›ciÅ›le rosn¸ na przedziale (0, 3/2)
aca
i ściśle malejaca na przedziale (3/2, ")
¸
"
Funkcja f(x) posiada maksimum lokalne właściwe w punkcie (3/2, 3/4 6e-3/2).
Zadanie 4
"
x
Prosz¸ oszacować bÅ‚¸ jaki popeÅ‚nia si¸ bior¸ 1 + zamiast x + 1, jeÅ›li x " [0, 1].
e ad e ac
2
Rozwi¸
azanie
"
Obliczamy pochodne do rz¸ drugiego wÅ‚acznie funkcji f(x) = x + 1 jej rozwini¸
edu ¸ ecia
w szereg Maclaurina.
Mamy
"
f(x) = x + 1 = (x + 1)1/2, f(0) = 1;
1
"1
f(1)(x) == , f(1)(0) = ;
2 x+1 2
1 1
" "
f(2)(x) = - , f(2)(c) = - ;
4 (x+1)3 4 (c+1)3
gdzie c " [0, x].
St¸ bÅ‚¸ przybliżenia
ad ad
"
x 1 1 1
| x + 1 - (1 + )| = | - x2| d" 12 =
2
8 (c + 1)3 8 (0 + 1)3 8
2