Egzamin poprawkowy z matematyki
WILiŚ, Kierunek Inżynieria Środowiska, 2 sem., r. ak. 2004/2005
I. Część zadaniowa
1. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej danej równaniem x4 + y2 - 4xy = 0.
2. Wyznaczyć funkcję holomorficzną f(z) = u(x, y) + iv(x, y) wiedząc, że
u(x, y) = ex(x cos y - y sin y) i f(0) = 0.


3. Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć x2 + y2 dx+(xy2+y ln(x+ x2 + y2) dy,
L
"
gdzie L jest dodatnio zorientowanym brzegiem figury D ograniczonej krzywymi y = x
i y = x2.
4. Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego obliczyć całkę

yz dxdy + xz dydz + xy dxdz
S
gdzie S jest zewnętrzną stroną bryły ograniczonej powierzchnią walca o równaniu
x2 + y2 = 1 i płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0 i z = 1, przy czym x 0 i y 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych oraz w punkcie b) określić rodzaj zbieżności
2
n
" "

n(n-1)
2n - 1 n100
2
a) Ä„n , b) (-1)
2n 2n
n=1 n=1
"
2 y
2y
6. Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego y + = .
x
cos2 x
II. Cz¸ teoretyczna
eść
T.1 Podać definicję pochodnej cząstkowej rzędu pierwszego funkcji dwóch zmiennych.
Sformułować twierdzenie Schwarza. Sprawdzić jego prawdziwość na dowolnym przykła-
dzie.
T.2 Podać definicję promienia i przedziału zbieżności szeregu potęgowego. Sformułować
dwa kryteria wyznaczania promienia zbieżności. Wyznaczyć przedział zbieżności dla
dowolnego szeregu potęgowego.
T.3 Podać definicję obszaru normalnego względem osi OX i osi OY . Sformułować twierdze-
nie o obliczaniu całki podwójnej po obszarze normalnym. Podać dwa przykłady zastoso-
wań geometrycznych całek podwójnych.