1 Definicja i wlasnoÅ›ci funkcji Definicja 1.1 Niech X i Y - niepuste zbiory. Funkcja przeksztalcajaca X w Y nazywamy takie odwzorowanie f, które każdemu elementowi x " X przyporzadkowuje dokladnie jeden element y " Y. Piszemy wówczas y = f(x). Zbiór X nazywać bedziemy dziedzina funkcji f. Definicja 1.2 Niech f : X Y, A ‚" X, B ‚" Y. Zbiór f(A) = {f(a) : a " A} nazywamy obrazem zbioru A w funkcji f. Zbiór f-1(B) = {a " X : f(a) " B} nazywamy przeciwobrazem zbioru B w funkcji f. W szczególnoÅ›ci zbiór f(X) ‚" Y nazywamy zbiorem wartoÅ›ci funkcji f. 1 Definicja 1.3 Funkcje f : X Y nazwiemy: " różnowartoÅ›ciowa, gdy dla dowolnych x1, x2 " X warunek x1 = x2
pociaga za soba f(x1) = f(x2).
" na Y , gdy f(X) = Y " wzajemnie jednoznaczna, jeżeli spelnia poprzednie dwa warunki. Definicja 1.4 Niech f : X Y, wzajemnie jednoznaczna. Wówczas istnieje dokladnie jedna taka funkcja f-1 : Y X, że dla dowolnego x " X i dowolnego y " Y y = f(x) Ð!Ò! x = f-1(y) Te funkcje nazywamy funkcja odwrotna do f. Definicja 1.5 Niech f : X Y, g : Y Z. Funkcje h : X Z dana wzorem h(x) = g f(x) nazywamy zlożeniem lub superpozycja funkcji f i g i oznaczamy przez g ć% f. Definicja 1.6 Niech f : X Y, A ‚" X. Funkcje f|A : A Y dana wzorem f|A(x) = f(x) dla x " A bedziemy nazywać obcieciem funkcji f do zbioru A. 2 Definicja 1.7 Powiemy, że funkcja f : E R, gdzie E ‚" R jest " rosnaca (odp. niemalejaca), gdy dla dowolnych x1, x2 " E warunek x1 < x2 pociaga za soba warunek f(x1) < f(x2) (odp. f(x1) d" f(x2)). " ograniczona z góry, gdy istnieje taka liczba M " R, że dla dowolnego x " E zachodzi f(x) < M. " ograniczona, gdy istnieje taka liczba M " R, że dla dowolnego x " E zachodzi |f(x)| < M. " parzysta (odp. nieparzysta), gdy dla dowolnego x " E zachodzi (-x) " E i f(-x) = f(x) (odp. f(-x) = -f(x)). " okresowa, gdy istnieje taka liczba T > 0, że dla dowolnego x " E i dowolnej liczby calkowitej k zachodzi x + kT " E i f(x + kT ) = f(x). 3 2 Ciagi liczbowe Definicja 2.1 Ciagiem liczbowym nazwiemy dowolna funkcje o wartoÅ›ciach rzeczywistych, okreÅ›lona na zbiorze liczb naturalnych. Ciagi tradycyjnie ozna- czamy poczatkowymi literami alfabetu, stosujemy też notacje an zamiast a(n). Definicja 2.2 Powiemy, że liczba g jest granica ciagu (an)n"N, gdy dla do- wolnego > 0 istnieje taka liczba N, że dla dowolnego naturalnego n > N spelniona jest nierówność |an - g| < . Symbolicznie bedziemy zapisywać ten fakt nastepujaco lim an = g lub an g. n" Bedziemy też mówić, że ciag an jest zbieżny do g. Definicja 2.3 Powiemy, że +" (odp. -") jest granica ciagu (an)n"N, gdy dla dowolnego M " R istnieje taka liczba N, że dla dowolnego naturalnego n > N spelniona jest nierówność an > M (odp. an < M). Bedziemy też mówić, że ciag an jest rozbieżny do +" (odp. do -".) 4 Twierdzenie 2.1 Ciag zbieżny jest ograniczony. Twierdzenie 2.2 Ciag monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. Twierdzenie 2.3 Dowolny ciag ma co najwyżej jedna granice. Twierdzenie 2.4 (o zachowaniu nierównoÅ›ci) Jeżeli an g, przy czym an d" M dla prawie wszystkich n " N to g d" M. Twierdzenie 2.5 (o trzech ciagach) Jeżeli dla prawie wszystkich n " N an d" bn d" cn, przy czym limn" an = limn" cn = g to limn" bn = g. 5 Twierdzenie 2.6 Niech limn" an = a i limn" bn = b. Wówczas lim (an + bn) = a + b, lim (an - bn) = a - b lim an · bn = a · b. n" n" n" Jeżeli dodatkowo bn = 0 dla n " N i b = 0, to również
an a lim = . n" bn b Twierdzenie 2.7 Niech limn" an = a " R i limn" bn = +". Wówczas +" gdy a > 0 lim (an + bn) = +", lim (an · bn) = n" n" -" gdy a < 0 Lista symboli nieoznaczonych: 0 " " - ", 0 · ", , , 00, "0, 1". 0 " 6 3 Granica funkcji Definicja 3.1 Niech E ‚" R, x0 " R. Powiemy, że punkt x0 jest punktem skupienia zbioru E jeżeli istnieje ciag xn elementów zbioru E, różnych od x0, zbieżny do x0. Definicja 3.2 Niech E ‚" R, x0 " R. Powiemy, że punkt x0 jest punktem prawostronnego skupienia zbioru E jeżeli istnieje ciag xn elementów zbioru E, wiekszych od x0, zbieżny do x0. Definicja 3.3 (granicy funkcji w punkcie, w sensie Heinego) Niech f : E R, i niech E posiada punkt skupienia w x0. Powiemy, że liczba g (ew. równa + -") jest granica funkcji f w punkcie x0 gdy dla dowolnego ciagu (xn)n" elementów zbioru E \ {x0} zbieżnego do x0 ciag f(xn) da ży do g. Definicja 3.4 (granicy prawostronnej funkcji w punkcie, w sensie He- inego) Niech f : E R, i niech E posiada punkt prawostronnego skupienia w x0. Powiemy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0 gdy dla dowolnego ciagu (xn)n" elementów zbioru E )" (x0, ") zbieżnego do x0 ciag f(xn) da ży do g. 7 Definicja 3.5 (granicy funkcji w punkcie, w sensie Cauchy ego) Niech f : E R, i niech E posiada punkt skupienia w x0. Powiemy, że liczba g jest granica funkcji f w punkcie x0 gdy dla dowolnego > 0 istnieje ´ > 0 taka, że dla dowolnego x " E )" ((x0 - ´, x0) *" (x0, x0 + ´)) zachodzi |f(x) - g| < . Definicja 3.6 (granicy niewlaÅ›ciwej funkcji w punkcie, w sensie Cau- chy ego) Niech f : E R, i niech E posiada punkt skupienia w x0. Powiemy, że liczba +" jest granica funkcji f w punkcie x0 gdy dla dowolnego M " R istnieje ´ > 0 taka, że dla dowolnego x " E )"((x0 -´, x0)*"(x0, x0 +´)) zachodzi f(x) > M. Definicja 3.7 (granicy funkcji w nieskoÅ„czonoÅ›ci, w sensie Cauchy ego) Niech f : E R, i niech E posiada punkt skupienia w +" Powiemy, że liczba g jest granica funkcji f w +" gdy dla dowolnego > 0 istnieje liczba M " R taka, że dla dowolnego x " E )" (M, +") zachodzi |f(x) - g| < . 8 Twierdzenie 3.1 Pojecia granicy funkcji w sensie Cauchy ego i w sensie He- inego pokrywaja sie. Twierdzenie 3.2 OdnoÅ›nie granicy sumy funkcji w punkcie zachodza twier- dzenia analogiczne do wczeÅ›niejszych twierdzeÅ„ dla ciagów. 9 4 Ciaglość funkcji Definicja 4.1 (ciagloÅ›ci funkcji w punkcie, w sensie Heinego) Niech f : E R, x0 " E. Powiemy, że funkcja f jest ciagla w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciagu (xn) elementów zbioru E, zbieżnego do x0 ciag f(xn) da ży do f(x0). Definicja 4.2 (ciagloÅ›ci funkcji w punkcie, w sensie Cauchy ego) Niech f : E R, x0 " E. Powiemy, że funkcja f jest ciagla w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego > 0 istnieje liczba ´ > 0 taka, że dla dowolnego x " E )" (x0 - ´, x0 + ´) zachodzi |f(x) - f(x0)| < . Twierdzenie 4.1 (zwiazek pomiedzy pojeciami granicy i ciagloÅ›ci funkcji) Niech f : E R, i niech E posiada punkt skupienia w x0, przy czym x0 " E. Wówczas funkcja f jest ciagla w x0 wtedy i tylko wtedy gdy granica limxx f(x) istnieje i jest równa f(x0). 0 Twierdzenie 4.2 (o lokalnym zachowaniu znaku.) Jeżeli f jest funkcja ciagla w punkcie x0 oraz f(x0) > 0 to istnieje taka liczba dodatnia ´, że dla x " (x0 - ´, x0 + ´) zachodzi f(x) > 0. Definicja 4.3 Niech f : E R. Jeżeli f jest ciagla w każdym punkcie x " E powiemy, że f jest ciagla w E. 10 5 WlasnoÅ›ci funkcji ciaglych na przedziale. Definicja 5.1 Niech f : I R, gdzie I jest pewnym przedzialem. Powiemy, że f ma na I wlasność Darboux, jeżeli dla dowolnych a, b " I, a < b i dla dowolnego y leżacego miedzy f(a) i f(b) (nie precyzujac, która z tych liczb jest wieksza), istnieje taka liczba c " (a, b), że f(c) = y. Twierdzenie 5.1 Funkcja f ciagla na przedziale I ma tam wlasność Darboux. Twierdzenie 5.2 (Weierstrassa) Jeżeli funkcja f jest ciagla na przedziale do- mknietym [a, b] to 1. f jest ograniczona oraz 2. istnieja takie punkty x, y " [a, b] że f(x) = M oraz f(y) = m, gdzie M = sup{f(t) : t " I} i m = inf{f(t) : t " I}. O takiej sytuacji mówimy, że funkcja przyjmuje swoje kresy. 11 6 Pochodna funkcji Definicja 6.1 Niech f : E R, i niech E posiada punkt skupienia w x0, przy czym x0 " E. Pochodna funkcji f w punkcie x0 nazywamy liczbe f(x) - f(x0) f (x0) = lim xx0 - x0 x (o ile granica istnieje.) Granice te można też zapisać tak: f(x0 + h) - f(x0) f (x0) = lim . h0 h Definicja 6.2 Powiemy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, jeżeli posiada w tym punkcie pochodna skoÅ„czona. Twierdzenie 6.1 (Warunek konieczny różniczkowalnoÅ›ci) Niech f : E R, x0 " E i x0 - punkt skupienia zbioru E. Jeżeli f jest różniczkowalna w x0, to jest tam ciagla. Twierdzenie 6.2 (Różniczkowanie funkcji zlożonej) Niech E, F ‚" R. Jeżeli funkcja g : E F jest różniczkowalna w x0 a funkcja f : F R jest różniczkowalna w u0 = g(x0), to funkcja f ć%g jest różniczkowalna w x0 i zachodzi wzór: (f ć% g) (x0) = f (g(x0)) · g (x0). Twierdzenie 6.3 (O pochodnej funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcja f jest Å›ciÅ›le monotoniczna i ciagla na pewnym przedziale otwartym I, x0 " I oraz istnieje pochodna f (x0) = 0, to funkcja odwrotna f-1 posiada w punkcie y0 = f(x0)
pochodna równa 1 f-1 (y0) = f (x0). 12 Twierdzenie 6.4 (O pochodnej sumy, iloczynu i ilorazu) Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne w punkcie x0 to funkcje f + g, Ä… · f, f · g też sa różniczkowalne i zachodza zwiazki " f + g (x0) = f (x0) + g (x0), " f - g (x0) = f (x0) - g (x0), " Ä…f (x0) = Ä… · f (x0), " f · g (x0) = f (x0) · g(x0) + f(x0) · g (x0). a jeżeli dodatkowo g(x0) = 0 to
f f (x0)·g(x0)-f(x0)·g (x0) " (x0) = . g g2(x0) Definicja 6.3 Niech f : (a, b) R, x0 " (a, b). Powiemy, że funkcja f ma w x0 maksimum (odp. minimum) lokalne, jeżeli istnieje taka liczba ´ > 0, że dla dowolnego x " (x0 - ´, x0 + ´) zachodzi f(x) d" f(x0) (odp. f(x) e" f(x0)). Maksima i minima obejmujemy wspólna nazwa - ekstremum. Twierdzenie 6.5 (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Niech f : (a, b) R, x0 " (a, b). Jeżeli f jest różniczkowalna w x0 i ma w x0 ekstremum lokalne, to f (x0) = 0. 13 Twierdzenie 6.6 (Rolle a) Niech f : [a, b] R bedzie ciagla na przedziale [a, b] i różniczkowalna na (a, b). Jeżeli dodatkowo f(a) = f(b) to istnieje taki punkt c " (a, b), że f (c) = 0. Twierdzenie 6.7 (Lagrange a) Niech f : [a, b] R bedzie ciagla na przedziale [a, b] i różniczkowalna na (a, b). Istnieje taki punkt c " (a, b), że f(b) - f(a) f (c) = . b - a Wnioski z twierdzenia Lagrange a. Wniosek 6.1 ( Zwiazek pomiedzy monotonicznoÅ›cia funkcji, a znakiem po- chodnej na przedziale) Niech f : (a, b) R, różniczkowalna na (a, b). Jeżeli dla wszystkich x " (a, b) f (x) > 0 to f jest rosnaca na (a, b). Wniosek 6.2 J eżeli f : (a, b) R jest różniczkowalna na (a, b) i dla każdego x " (a, b) f (x) = 0, to f jest funkcja stala. Wniosek 6.3 J eżeli f, g : (a, b) R sa różniczkowalne na (a, b) i maja tam równe pochodne, to f i g różnia sie o stala. 14 Twierdzenie 6.8 Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum funkcji (1) Jeżeli funkcja f : (a, b) R, x0 " (a, b), f jest ciagla w x0 i różniczkowalna na pewnym sasiedztwie (x0 - , x0) *" (x0, x0 + ) punktu x0 oraz f (x) < 0 dla x " (x0 - , x0) i f (x) > 0 dla x " (x0, x0 + ) to f posiada w x0 minimum lokalne. Definicja 6.4 Pochodna jako funkcja Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna na zbiorze E, to funkcje f : x f (x) nazywamy pochodna funkcji f na E. 15 7 Regula de L Hospitala Twierdzenie 7.1 Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne w pewnym otoczeniu punktu x0 oraz limxx f(x) = limxx g(x) = 0 i istnieje granica 0 0 f (x) lim xx0 g (x) (skoÅ„czona lub nie), to istnieje też granica f(x) f (x) lim = lim . xx0 xx0 g(x) g (x) Twierdzenie 7.2 Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne w pewnym otoczeniu punktu x0 oraz limxx f(x) = limxx g(x) = " i istnieje granica 0 0 f (x) lim xx0 g (x) (skoÅ„czona lub nie) to istnieje też granica f(x) f (x) lim = lim . xx0 xx0 g(x) g (x) Powyższe dwa twierdzenia odnosza sie też do granic jednostronnych i granic w nieskoÅ„czonoÅ›ci. 16 8 Pochodne wyższych rzedów Definicja 8.1 Jeżeli pochodna f funkcji f jest różniczkowalna na zbiorze E, to jej pochodna nazywamy druga pochodna funkcji f i oznaczamy symbolem f . Ogólnie, jeżeli pochodna n-tego rzedu funkcji f jest różniczkowalna na pewnym zbiorze E, to jej pochodna nazwiemy pochodna n + 1-go rzedu (lub n + 1- wsza pochodna) funkcji f. Twierdzenie 8.1 Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum funkcji (2) Jeżeli funkcja f : (a, b) R, x0 " (a, b), f jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x0, przy czym f (x0) = 0 oraz jest dwukrotnie różniczkowalna w x0, przy czym f (x0) > 0 to f posiada w x0 minimum lokalne. Definicja 8.2 Niech f : (a, b) R. Powiemy, że funkcja f jest wypukla na przedziale (a, b), jeżeli dla dowolnych p, q " (a, b) i dla dowolnej liczby " (0, 1) zachodzi warunek: f · p + (1 - ) · q < · f(p) + (1 - ) · f(q). Definicja 8.3 Niech f : (a, b) R. Powiemy, że funkcja f jest wklesla na przedziale (a, b), jeżeli dla dowolnych p, q " (a, b) i dla dowolnej liczby " (0, 1) zachodzi warunek: f · p + (1 - ) · q > · f(p) + (1 - ) · f(q). 17 Twierdzenie 8.2 (warunek wystarczajacy wypukloÅ›ci funkcji) Niech f : (a, b) R bedzie funkcja dwukrotnie różniczkowalna w (a, b). Jeżeli f (x) > 0 dla każdego x " (a, b), to f jest wypukla na (a, b). Twierdzenie 8.3 (warunek wystarczajacy wklesloÅ›ci funkcji) Niech f : (a, b) R bedzie funkcja dwukrotnie różniczkowalna w (a, b). Jeżeli f (x) < 0 dla każdego x " (a, b), to f jest wklesla na (a, b). Definicja 8.4 Niech f : (a, b) R, i niech x0 " (a, b). Powiemy, że wykres funkcji f ma w x0 punkt przegiecia (lub, że punkt (x0, f(x0)) jest punktem przegiecia wykresu funkcji f) jeżeli: 1. Funkcja f ma w x0 pochodna (niekoniecznie skoÅ„czona.) 2. Funkcja f jest ciagla w x0. 3. f jest wypukla (wklesla) w pewnym przedziale (x0 - , x0) i wklesla (wy- pukla) w pewnym przedziale (x0, x0 + ) dla pewnego > 0. Twierdzenie 8.4 (warunek konieczny istnienia punktu przegiecia) Jeżeli f : (a, b) R jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie x0 i ma tam punkt przegiecia to f (x0) = 0. Definicja 8.5 O funkcji f : (a, b) R powiemy, że jest klasy Cn, jeżeli jest ona n krotnie różniczkowalna na (a, b), a jej n-ta pochodna jest ciagla. O funkcjach, które należa do czeÅ›ci wspólnej wszystkich klas Cn powiemy, że sa klasy C". Przyklad 8.1 Nie każda funkcja różniczkowalna jest klasy C1. Niech np. 1 x2 sin(x ) gdy x = 0
f(x) = 0 gdy x = 0 Wówczas f jest różniczkowalna na calej prostej, lecz jej pochodna nie ma granicy w punkcie 0 (a tym samym nie jest ciagla). 18 9 Funkcja pierwotna i calka nieoznaczona Definicja 9.1 Niech f, F : (a, b) R. Powiemy, że F jest funkcja pierwotna funkcji f na przedziale (a, b), jeżeli F jest różniczkowalna i F (x) = f(x) dla x " (a, b). Przyklad Funkcje F (x) = ln(x) i G(x) = ln(8x) maja na przedziale (0, ") te sama pochodna : 1 F (x) = G (x) = x 1 zatem funkcja posiada dwie różne funkcje pierwotne. x Niech F bedzie funkcja pierwotna funkcji f na przedziale (a, b), i niech G(x) = F (x) + C dla x " (a, b), gdzie C jest dowolna stala. Wówczas, jak latwo zauważyć, G też jest pierwotna funkcji f na (a, b). Prawdziwe też jest twierdzenie odwrotne: Twierdzenie 9.1 Jeżeli F i G sa pierwotnymi tej samej funkcji f na przedziale (a, b) to istnieje taka stala C, że G(x) = F (x) + C dla x " (a, b). Dowód tego twierdzenia opiera sie wprost na wnioskach z tw. Lagrange a. Definicja 9.2 Niech f : (a, b) R. Calka nieoznaczona z funkcji f na (a, b) nazywamy rodzine wszystkich jej funkcji pierwotnych na tym przedziale. Calke nieoznaczona bedziemy zapisywać nastepujaco f(x) dx. Zgodnie z ostatnim twierdzeniem, znajac jedna funkcje pierwotna funkcji f możemy uzyskać wszystkie, dodajac dowolne stale. Stad, jeżeli F jest pierwotna funkcji f na (a, b), bedziemy pisać f(x) dx = F (x) + C. 19 Tym samym szukanie calki nieoznaczonej sprowadza sie do szukania pewnej funkcji pierwotnej. Uwaga - podkreślić trzeba, że ostatnie twierdzenia odnosza sie tylko do sy- tuacji, gdy f określona jest na przedziale. 10 Podstawowe calki Poniżej zamieszczam podstawowe wzory pomocne w calkowaniu. Każdy z nich obowiazuje na dowolnym przedziale zawartym w dziedzinie funkcji podcalkowej. 0 dx = C (1) 1 dx = x + C (2) 1 xą dx = xą+1 + C o ile ą = -1 (3)
ą + 1 1 dx = ln |x| + C (4) x ex dx = ex + C (5) 1 ax dx = ax + C gdzie a " (0, 1) *" (1, ") (6) ln a sin x dx = - cos x + C (7) cos x dx = sin x + C (8) 1 dx = -ctgx + C (9) sin2 x 1 dx = tgx + C (10) cos2 x 1 dx = arctgx + C (11) 1 + x2 1 " dx = arcsin x + C (12) 1 - x2 20 Twierdzenie 10.1 Niech f i g posiadaja funkcje pierwotne na przedziale (a, b). Wówczas f + g też posiada funkcje pierwotna, i f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx. Jeżeli k = 0 jest stala, to
kf(x) dx = k f(x) dx. 21 11 Calkowanie przez podstawienie i przez czeÅ›ci. Twierdzenie 11.1 O calkowaniu przez podstawienie Jeżeli 1. funkcja g jest ciagla na przedziale [Ä…, ²], 2. funkcja h jest klasy C1 na przedziale [a, b] 3. funkcja h przeksztalca przedzial [a, b] na przedzial [Ä…, ²] to jeżeli G(t) jest funkcja pierwotna funkcji g na [Ä…, ²], to funkcja G(h(x)) jest pierwotna funkcji (g(h(x)) · h (x)) na przedziale [Ä…, ²]. Twierdzenie 11.2 O calkowaniu przez czeÅ›ci Jeżeli funkcje f i g sa klasy C1 na pewnym przedziale, wówczas na tym przedziale f(x)g (x) dx = f(x)g(x) - f (x)g(x) dx. 22 12 Calka oznaczona Riemanna Definicja 12.1 Niech [a, b] - przedzial domkniety i ograniczony. Dowolny skoÅ„czony ciag P : (xi)i=0,1...n taki, że a = x0 < x1 < x2 · · · < xn = b nazywamy podzialem przedzialu [a, b]. Liczbe ´(P ) = max (xi - xi-1) i=1...n nazwiemy wówczas Å›rednica podzialu P. Definicja 12.2 Rozważmy teraz ciag (Pm)m"N podzialów przedzialu [a, b]. Jeżeli limm" ´(Pm) = 0, to ciag (Pm) bedziemy nazywać normalnym. Definicja 12.3 Niech f : [a, b] R gdzie [a, b] - przedzial domkniety i ogra- niczony. Niech P : (xi)i=0,1...n bedzie dowolnym podzialem przedzialu [a, b]. W każdym przedziale typu [xi, xi+1] wybierzmy dowolny punkt xi - tzw. punkt Å» poÅ›redni. Wówczas liczbe n-1 S = f(xi)(xi+1 - xi) Å» i=0 nazwiemy suma calkowa Riemanna funkcji f, liczona dla podzialu P i ciagu punktów poÅ›rednich (xi). Å» Definicja 12.4 Jeżeli dla dowolnego normalnego ciagu podzialów Pm i przy dowolnym wyborze punktów poÅ›rednich istnieje skoÅ„czona granica ciagu Sm odpowiednich sum calkowych funkcji f, to liczbe te naywamy calka oznaczona Riemanna z funkcji f i oznaczamy przez b f(x) dx. a 23 W tej sytuacji funkcje f nazywamy calkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a, b]. Przyjeto ponadto nastepujaca konwencje: a b f(x) dx = - f(x) dx b a oraz a f(x) dx = 0. a Twierdzenie 12.1 Jeżeli f jest calkowalna na przedziale [a, b] to jest też calkowalna na dowolnym jego podprzedziale. Co wiecej, jeżeli c " [a, b] to c b b f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx. a c a Twierdzenie 12.2 Jeżeli f jest calkowalna na przedziale [a, b] to jest tam ogra- niczona. Twierdzenie 12.3 Jeżeli f jest ograniczona na przedziale [a, b] i ma tam skoÅ„czona liczbe punktów nieciagloÅ›ci to f jest calkowalna w sensie Riemanna na [a, b]. W szczególnoÅ›ci każda funkcja ciagla na [a, b] jest tam calkowalna. 13 Calka oznaczona Newtona Definicja 13.1 Niech f : I R posiada na przedziale I funkcje pierwotna F. Wówczas dla dowolnych a, b " I liczbe b (N) f(x) dx = F (b) - F (a) a bedziemy nazywać calka oznaczona Newtona z f w granicach a i b. 24 Twierdzenie 13.1 Glówne twierdzenie rachunku calkowego. Jeżeli f : [a, b] R jest ciagla to b b f(x) dx = (N) f(x) dx. a a Niech f bedzie funkcja calkowalna na [a, b]. Możemy rozważać funkcje x F (x) = f(t) dt dla x " [a, b], a nazywana funkcja górnej granicy calkowania. Twierdzenie 13.2 Jeżeli f jest ciagla na [a, b], to funkcja x F (x) = f(t) dt a jest różniczkowalna, i F (x) = f(x) dla x " (a, b). 14 Calki niewlaÅ›ciwe Stosowanie symbolu calki oznaczonej możemy rozszerzyć, uwzgledniajac sy- tuacje, w których funkcja podcalkowa nie jest okreÅ›lona w którejÅ› z granic calkowania: Definicja 14.1 1. Niech f : [a, b) R gdzie b jest liczba skoÅ„czona lub równa +". Zalóżmy, że f jest calkowalna na każdym przedziale postaci [a, ²] gdzie ² < b. Jeżeli istnieje granica ² lim f(t) dt ²b a to nazywamy ja calka niewlaÅ›ciwa z f na [a, b), i oznaczamy przez b f(t) dt. a Jeżeli calka taka jest skoÅ„czona, to nazywamy ja też zbieżna. 2. Analogicznie definiujemy calke niewlaÅ›ciwa w sytuacji, w której funkcja f nie jest okreÅ›lona dla lewej granicy calkowania a. 25 3. Niech teraz f : (a, b) R bedzie calkowalna na każdym skoÅ„czonym przedziale [p, q] ‚" (a, b). Wówczas b c b f(t) dt = f(t) dt + f(t) dt, a a c o ile OBIE calki po prawej stronie istnieja. 4. Niech wreszcie f : [a, c) *" (c, b] R. Wówczas b c b f(t) dt = f(t) dt + f(t) dt, a a c o ile OBIE calki po prawej stronie istnieja. 26