WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 1
ZADANIE 1
Z4/1. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH
PA
ASKICH - ZADANIE 1
Z4/1.1. Zadanie 1
Wyznaczyć siły normalne we wszystkich prętach kratownicy przedstawionej na rysunku Z4/1.1
metodą zrównoważenia węzłów. Następnie siły normalne w prętach numer 3, 6 i 15 wyznaczyć metodą
Rittera. Wszystkie wymiary kratownicy płaskiej podane są w metrach.
29,0 kN
20,0 kN
5 6 7 8
2 4 6 8 10
9 10 11 12 13
1 9
3 5 7
1 2 3 4
25,0 kN 30,0 kN
[m]
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/1.1. Kratownica płaska wraz z siłami czynnymi
Z4/1.2. Analiza kinematyczna kratownicy płaskiej
Kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z4/1.1 składa się z 10 węzłów, 17 prętów kratownicy.
Podpory odbierają ponadto trzy stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności będzie
miał więc postać
2Å"10=17ƒÄ…3 . (Z4/1.1)
Jak więc widać kratownica płaska na rysunku Z4/1.1 spełnia warunek konieczny geometrycznej
niezmienności. Może ona być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Kratownica na rysunku Z4/1.1 zbudowana jest z trójkątów, może więc stanowić tarczę sztywną.
Rysunek Z4/1.2 przedstawia tą tarczę sztywną wraz z prętami podporowymi.
I
1
2 3
Rys. Z4/1.2. Zastępcza tarcza sztywna
Tarcza sztywna numer I jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Posiada ona trzy stopnie
swobody, które odbierają jej trzy pręty podporowe. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej
niezmienności.
Kierunki prętów podporowych numer 1, 2 i 3 nie przecinają się w jednym punkcie. Został tym samym
spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Tarcza sztywna numer I jest więc geomet-
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1
1
4
5
7
16
1
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 2
ZADANIE 1
rycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. Także więc i kratownica płaska będzie układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z4/1.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Rysunek Z4/1.3 przedstawia założone zwroty reakcji podporowych na podporze przegubowo-
nieprzesuwnej i przegubowo-przesuwnej.
29,0 kN
20,0 kN
2 5 4 6 6 7 8 8
10
9 10 11 12 13
H1
1 9
3 5 7
1 2 3 4
Y
25,0 kN 30,0 kN
X
V1
V9 [m]
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/1.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Reakcję poziomą H wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na kratownicę
1
płaską na oś poziomą X. Wynosi ona
²Ä… X =H -20,0=0
1
. (Z4/1.2)
H =20,0 kN
1
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na
1
kratownicę płaską względem punktu 9. Wynosi ona
²Ä… M =V Å"4Å"6,0-25,0Å"3Å"6,0-29,0Å"2Å"6,0-30,0Å"6,0-20,0Å"3,0=0
9 1
. (Z4/1.3)
V =43,25 kN
1
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na
9
kratownicę płaską względem punktu 1. Wynosi ona
²Ä… M =-V Å"4Å"6,0ƒÄ…25,0Å"6,0ƒÄ…29,0Å"2Å"6,0ƒÄ…30,0Å"3Å"6,0-20,0Å"3,0=0
1 9
. (Z4/1.4)
V =40,75 kN
9
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na
kratownicę płaską na oś pionową Y. Wynosi ona
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1
1
4
5
7
16
1
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 3
ZADANIE 1
²Ä… Y =V ƒÄ…V -25,0-29,0-30,0=43,25ƒÄ…40,75-25,0-29,0-30,0=0
. (Z4/1.5)
1 9
Pionowe reakcje V oraz V zostały więc wyznaczone poprawnie. Rysunek Z4/1.4 przedstawia prawidłowe
1 9
wartości i zwroty reakcji podporowych.
29,0 kN
20,0 kN
5 6 7 8
2 4 6 8 10
9 10 11 12 13
20,0 kN
1 9
3 5 7
1 2 3 4
25,0 kN 30,0 kN
43,25 kN [m]
40,75 kN
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/1.4. Kratownica płaska w równowadze
Z4/1.4. Wyznaczenie sił normalnych w prętach kratownicy płaskiej metodą zrównoważenia
węzłów
Rysunek Z4/1.5 przedstawia kratownicę płaską z działającymi na nią siłami czynnymi i reakcjami
będącymi w równowadze.
29,0 kN
20,0 kN
5 6 7 8
2 4 6 8 10
Ä… Ä… Ä…
Ä…
9 10 11 12 13
20,0 kN Ä… Ä… Ä…
Ä…
1 9
3 5 7
1 2 3 4
25,0 kN 30,0 kN
43,25 kN [m]
40,75 kN
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/1.5. Kratownica płaska w równowadze
Wartości funkcji sinus i kosinus kąta nachylenia krzyżulców do poziomu, zgodnie z wymiarami
kratownicy płaskiej wynoszą
3,0
sin ·Ä… = =0,4472
śą źą
, (Z4/1.6)
3,02ƒÄ…6,02
ćą
6,0
cos ·Ä… = =0,8944
śą źą
. (Z4/1.7)
3,02ƒÄ…6,02
ćą
Wyznaczanie sił normalnych metodą zrównoważenia węzłów rozpoczniemy od węzła numer 1.
Rysunek Z4/1.6 przedstawia siły działające w tym węz
le.
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
3,0
1
1
4
5
7
16
1
1
1
4
5
7
16
1
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 4
ZADANIE 1
N9
9
20,0 kN N1
1
1
Y
43,25 kN
X
Rys. Z4/1.6. Siły działające w węz
le numer 1
Równania równowagi w tym węz
le mają postać
śą źą
1
²Ä… X =N ƒÄ…20,0=0 , (Z4/1.8)
1
śą źą
1
²Ä… Y = N9ƒÄ…43,25=0 . (Z4/1.9)
Z równań (Z4/1.8) i (Z4/1.9) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 1 i 9. Siły te mają wartości
N =-20,0 kN
, (Z4/1.10)
1
N =-43,25 kN
. (Z4/1.11)
9
Oba pręty są więc ściskane.
20,0 kN N5
5
2
Ä…
Y
9
N14
X
N9
Rys. Z4/1.7. Siły działające w węz
le numer 2
Rysunek Z4/1.7 przedstawia siły działające w węz
le numer 2. Równania równowagi w tym węz
le
mają postać
śą2źą
²Ä… X =N ƒÄ…N Å"cosśą·Ä…źą-20,0=0 , (Z4/1.12)
5 14
²Ä… Yśą 2 źą=-N9-N14Å"sinśą·Ä…źą=0 . (Z4/1.13)
Z równań (Z4/1.12) i (Z4/1.13) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 14 i 5. Siły te mają
wartości
Dr inż. Janusz Dębiński
1
4
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 5
ZADANIE 1
-N
-śą-43,25źą=96,71 kN ,
9
N = = (Z4/1.14)
14
0,4472
sin ·Ä…
śą źą
N =-N14Å"cos ·Ä… ƒÄ…20,0=-96,71Å"0,8944ƒÄ…20,0=-66,50 kN . (Z4/1.15)
śą źą
5
Pręt numer 14 jest rozciągany natomiast pręt numer 5 ściskany.
N10
N14
N1 Ä… 10 N2
Y
3
1 2
X
25,0 kN
Rys. Z4/1.8. Siły działające w węz
le numer 3
Rysunek Z4/1.8 przedstawia siły działające w węz
le numer 3. Równania równowagi w tym węz
le
mają postać
śą 3źą
²Ä… X =-N -N Å"cos śą·Ä…źąƒÄ…N =0 , (Z4/1.16)
1 14 2
²Ä… Yśą 3źą=N10ƒÄ… N14Å"sinśą·Ä…źą-25,0=0 . (Z4/1.17)
Z równań (Z4/1.16) i (Z4/1.17) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 2 i 10. Siły te mają
wartości
N =N ƒÄ…N Å"cos ·Ä… =-20,0ƒÄ…96,71Å"0,8944=66,50 kN , (Z4/1.18)
śą źą
2 1 14
N =25,0-N Å"sin ·Ä… =25,0-96,71Å"0,4472=-18,25 kN . (Z4/1.19)
śą źą
10 14
Pręt numer 2 jest rozciągany natomiast pręt numer 10 ściskany.
N5 5 4 6 N6
Ä…
10
Y
N15
N10
X
Rys. Z4/1.9. Siły działające w węz
le numer 4
Rysunek Z4/1.9 przedstawia siły działające w węz
le numer 4. Równania równowagi w tym węz
le
mają postać
Dr inż. Janusz Dębiński
1
4
1
5
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 6
ZADANIE 1
śą 4źą
²Ä… X =-N ƒÄ…N Å"cosśą·Ä…źąƒÄ…N =0 , (Z4/1.20)
5 15 6
śą 4 źą
²Ä… Y =-N10- N15Å"sinśą·Ä…źą=0 . (Z4/1.21)
Z równań (Z4/1.20) i (Z4/1.21) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 6 i 15. Siły te mają
wartości
-N
-śą-18,25źą
10
N = = =40,81 kN , (Z4/1.22)
15
0,4472
sin ·Ä…
śą źą
N =N -N Å"cos ·Ä… =-66,50-40,81Å"0,8944=-103,0 kN . (Z4/1.23)
śą źą
6 5 15
Pręt numer 15 jest rozciągany natomiast pręt numer 6 ściskany.
N6 29,0 kN 6 N7
Y
6 7
11
N11
X
Rys. Z4/1.10. Siły działające w węz
le numer 6
Rysunek Z4/1.10 przedstawia siły działające w węz
le numer 6. Równania równowagi w tym węz
le
mają postać
śą źą
6
²Ä… X =-N ƒÄ…N =0 , (Z4/1.24)
6 7
śą źą
6
²Ä… Y =-N -29,0=0 . (Z4/1.25)
11
Z równań (Z4/1.24) i (Z4/1.25) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 7 i 11. Siły te mają
wartości
N =N =-103,0 kN
, (Z4/1.26)
7 6
N =-29,0 kN
. (Z4/1.27)
11
Oba pręty są ściskane.
Rysunek Z4/1.11 przedstawia siły działające w węz
le numer 5. Równania równowagi w tym węz
le
mają postać
śą 5źą
²Ä… X =-N -N Å"cos śą·Ä…źąƒÄ…N Å"cos śą·Ä…źąƒÄ…N =0 , (Z4/1.28)
2 15 16 3
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 7
ZADANIE 1
Y
N11
N16
N15
X
11
N2 Ä… N3
Ä…
5
2 3
Rys. Z4/1.11. Siły działające w węz
le numer 5
²Ä… Yśą 5źą= N15Å"sinśą·Ä…źąƒÄ…N11ƒÄ… N16Å"sinśą·Ä…źą=0 . (Z4/1.29)
Z równań (Z4/1.28) i (Z4/1.29) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 16 i 3. Siły te mają
wartości
N Å"sin ·Ä… ƒÄ…N
śą źą
40,81Å"0,4472-29,0
15 11
N =- =- =24,04 kN , (Z4/1.30)
16
0,4472
sin ·Ä…
śą źą
N =N ƒÄ…N Å"cos ·Ä… Å"cos ·Ä… =66,50ƒÄ…40,81Å"0,8944-24,04Å"0,8944=81,50 kN . (Z4/1.31)
śą źą-N
śą źą
3 2 15 16
Oba pręty są rozciągane.
7 8 8
N7 Ä… N8
Y
12
N16 N12
X
Rys. Z4/1.12. Siły działające w węz
le numer 8
Rysunek Z4/1.12 przedstawia siły działające w węz
le numer 8. Równania równowagi w tym węz
le
mają postać
śą8źą
²Ä… X =-N -N Å"cos śą·Ä…źąƒÄ…N =0 , (Z4/1.32)
7 16 8
²Ä… Yśą 8źą=-N Å"sinśą·Ä…źą-N =0 . (Z4/1.33)
16 12
Z równań (Z4/1.32) i (Z4/1.33) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 8 i 12. Siły te mają
wartości
N =N ƒÄ…N Å"cos ·Ä… =-103,0ƒÄ…24,04Å"0,8944=-81,50 kN , (Z4/1.34)
śą źą
8 7 16
N =-N Å"sin ·Ä… =-24,04Å"0,4472=-10,75 kN . (Z4/1.35)
śą źą
12 16
Oba pręty są ściskane.
Dr inż. Janusz Dębiński
1
5
16
6
1
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 8
ZADANIE 1
N12
N17
12
N3 N4
Ä…
Y
7
3 4
X
30,0 kN
Rys. Z4/1.13. Siły działające w węz
le numer 7
Rysunek Z4/1.13 przedstawia siły działające w węz
le numer 7. Równania równowagi w tym węz
le
mają postać
śą 7źą
²Ä… X =-N ƒÄ…N Å"cos śą·Ä…źąƒÄ…N =0 , (Z4/1.36)
3 17 4
śą7źą
²Ä… Y =N12ƒÄ…N Å"sinśą·Ä…źą-30,0=0 . (Z4/1.37)
17
Z równań (Z4/1.36) i (Z4/1.37) możemy wyznaczyć siły normalne w prętach numer 17 i 4. Siły te mają
wartości
30,0- N12 30,0-śą-10,75źą=91,12
N = = kN , (Z4/1.38)
17
0,4472
sin ·Ä…
śą źą
N =N -N Å"cos ·Ä… =81,50-91,12Å"0,8944=0,00227H"0 . (Z4/1.39)
śą źą
4 3 17
Pręt numer 17 jest rozciągany natomiast pręt numer 4 jest prętem zerowym.
N13
Y
13
N4
X 9
4
40,75 kN
Rys. Z4/1.14. Siły działające w węz
le numer 9
Rysunek Z4/1.14 przedstawia siły działające w węz
le numer 9. Równania równowagi w tym węz
le
mają postać
śą źą
9
²Ä… X =-N =0 , (Z4/1.40)
4
Dr inż. Janusz Dębiński
7
1
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 9
ZADANIE 1
śą9źą
²Ä… Y =N13ƒÄ…40,75=0 . (Z4/1.41)
Równanie (Z4/1.40) posłuży nam do sprawdzenia obliczenia siły normalnej w pręcie numer 4. Jak widać
jest to pręt zerowy (Z4/1.39). Z równania (Z4/1.41) możemy wyznaczyć wartość siły normalnej w pręcie
numer 13. Wynosi ona
N =-40,75 kN
. (Z4/1.42)
13
Pręt ten jest więc ściskany.
N8
8 10
Ä…
13
Y
N17
X
N13
Rys. Z4/1.15. Siły działające w węz
le numer 10
Rysunek Z4/1.15 przedstawia siły działające w węz
le numer 10. Równania równowagi w tym węz
le
posłużą nam do sprawdzenia obliczeń. Mają postać
śą 10źą
²Ä… X =-N -N17Å"cosśą·Ä…źą=-śą-81,50 (Z4/1.43)
źą-91,12Å"0,8944=0,00227H"0 ,
8
śą 10źą
²Ä… Y =-N -N Å"sinśą·Ä…źą=-śą-40,75 (Z4/1.44)
źą-91,12Å"0,4472=0,00114H"0 .
13 17
Oba równania równowagi zostały spełnione. Obliczenia sił normalnych w prętach kratownicy płaskiej prze-
prowadziliśmy poprawnie.
Rysunek Z4/1.16 przedstawia kratownicę płaską wraz z siłami czynnymi i reakcjami działającymi na
nią oraz siłami normalnymi w prętach.
29,0 kN
20,0 kN
66,50 103,0 103,0 81,50
20,0 kN
0
20,0
66,50 81,50
25,0 kN 30,0 kN
[m]
43,25 kN
40,75 kN
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/1.16. Kratownica płaska z siłami czynnymi, reakcjami oraz siłami normalnymi w prętach
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
29,0
43,25
40,75
18,25
10,75
7
1
12
04
,
,
91
9
4
24
6
0
,7
,81
1
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 10
ZADANIE 1
Z4/1.5. Wyznaczenie sił normalnych metodą Rittera
Aby wyznaczyć siły normalne w prętach numer 6 i 15 należy wykonać przekrój A-A przedstawiony na
rysunku Z4/1.17. Natomiast aby wyznaczyć siłę normalną w pręcie numer 3 należy wykonać przekrój B-B
tak przedstawiony na rysunku Z4/1.17.
29,0 kN
A B
20,0 kN
5 6 7 8
2 4 6 8 10
9 10 11 12 13
20,0 kN
1 9
3 5 7
1 2 3 4
A B
25,0 kN 30,0 kN
43,25 kN [m]
40,75 kN
6,0 6,0 6,0 6,0
Rys. Z4/1.17. Przekroje A-A i B-B
Aby wyznaczyć siły normalne w prętach numer 6 i 15 będziemy rozpatrywali równowagę lewej części
kratownicy płaskiej. Siły działające na tę część kratownicy płaskiej przedstawia rysunek Z4/1.18.
20,0 kN N6
2 5 4 6
Ä…
9 10
N15
20,0 kN
1
N2
3 5
1 2
Y
25,0 kN
43,25 kN
X
[m]
6,0 6,0
Rys. Z4/1.18. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej w przekroju A-A
Punktem Rittera dla pręta numer 6 jest węzeł numer 5. Siłę normalną w tym pręcie wyznaczymy
z równania sumy momentów wszystkich sił działających na lewą część kratownicy płaskiej względem tego
punktu. Równanie to ma postać
²Ä… M =N Å"3,0-25,0Å"6,0ƒÄ…43,25Å"2Å"6,0-20,0Å"3,0=0
. (Z4/1.45)
5 6
Siła normalna w pręcie numer 6 wynosi więc
N =-103,0 kN
(Z4/1.46)
6
i równa się wartości wyznaczonej ze wzoru (Z4/1.23).
Pręty numer 2 i 6 są do siebie równoległe więc siłę normalną w pręcie numer 15 wyznaczymy z rów-
nania sumy rzutów wszystkich sił działających na lewą część kratownicy płaskiej na oś pionową Y. Równa-
nie to ma postać
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
3,0
1
1
4
5
7
16
1
14
1
5
WM Z4/1. WYZNACZANIE SIA
NORMALNYCH W KRATOWNICACH PA
ASKICH 11
ZADANIE 1
²Ä… Y=-N Å"sin ·Ä… . (Z4/1.47)
śą źą-25,0ƒÄ…43,25=0
15
Siła normalna w pręcie numer 15 wynosi więc
N =40,81 kN
(Z4/1.48)
15
i równa się wartości wyznaczonej ze wzoru (Z4/1.22).
Aby wyznaczyć siłę normalną w pręcie numer 3 będziemy rozpatrywali równowagę prawej części
kratownicy płaskiej. Siły działające na tę część kratownicy płaskiej przedstawia rysunek Z4/1.19.
N7 7 8
8 10
N16
12 13
9
N3 3
7
4
30,0 kN
[m]
40,75 kN
6,0
Rys. Z4/1.19. Siły działające na prawą część kratownicy płaskiej w przekroju B-B
Punktem Rittera dla pręta numer 3 jest węzeł numer 8. Siłę normalną w tym pręcie wyznaczymy
z równania sumy momentów wszystkich sił działających na prawą część kratownicy płaskiej względem tego
punktu. Równanie to ma postać
²Ä… M =N Å"3,0-40,75Å"6,0=0
. (Z4/1.49)
8 3
Siła normalna w pręcie numer 3 wynosi więc
N =81,50 kN
(Z4/1.50)
3
i równa się wartości wyznaczonej ze wzoru (Z4/1.31).
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
7
1
16