1 Macierze i wyznaczniki

Zastosowania matematyki w ekonomii
Elementy algebry liniowej
1. Macierze i wyznaczniki: pojęcie macierzy, rodzaje macierzy, działania na macierzach i ich własności, wyznacznik macierzy kwadratowej i
jego własności, operacje elementarne na macierzy.
2. Metody wyznaczania macierzy odwrotnej: metoda wyznacznikowa (za pomocą dopełnień algebraicznych), metoda operacji
elementarnych. Przykłady zastosowań macierzy w zagadnieniach ekonomicznych.
Elementy analizy matematycznej
3. Ciągi liczbowe: monotoniczność ciągów, ciągi arytmetyczne i geometryczne, granice ciągów, ciągi zbieżne i rozbieżne, ciągi zbieżne do
liczby e. Ciągi płatności w matematyce finansowej.
4. Funkcje jednej zmiennej: pojęcie funkcji, granica funkcji (definicja według Heinego i Cauchy ego), ciągłość funkcji. Przykłady zależności
funkcyjnych w ekonomii.
5. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej: iloraz różnicowy, pochodna funkcji w punkcie, interpretacja geometryczna pochodnej,
własności pochodnej, twierdzenie Lagrange a, pochodne wyższych rzędów, reguła de L Hospitala.
6. Zastosowanie pochodnych do badania własności funkcji: monotoniczność funkcji a znak pochodnej, warunek konieczny i dostateczny na
istnienie ekstremum lokalnego funkcji, największa i najmniejsza wartość funkcji, wklęsłość i wypukłość a znak drugiej pochodnej, warunek
konieczny i dostateczny na istnienie punktu przegięcia funkcji. Przykłady wykorzystania rachunku różniczkowego w ekonomii.
7. Funkcje wielu zmiennych: określenie funkcji wielu zmiennych, granica funkcji, ciągłość funkcji, pochodne cząstkowe, ekstrema lokalne,
ekstrema warunkowe, największa i najmniejsza wartość funkcji. Przykłady wykorzystania rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych
w ekonomii.
8. Rachunek całkowy: pojęcie całki nieoznaczonej, własności całki nieoznaczonej, metody całkowania: całkowanie przez części i całkowanie
przez podstawienie, pojęcie całki oznaczonej, interpretacja geometryczna całki oznaczonej, własności całki oznaczonej, obliczanie pól
ograniczonych krzywymi, całki niewłaściwe. Przykłady wykorzystania rachunku całkowego w ekonomii.
Zaliczenie przedmiotu - na podstawie dwóch sprawdzianów obejmujących rozwiązywanie zadań (i pytania teoretyczne z treści programowych
prezentowanych na wykładach).
Zajęcia 1. Macierze i wyznaczniki: pojęcie macierzy, rodzaje macierzy, działania na macierzach i ich własności, wyznacznik
macierzy kwadratowej i jego własności, operacje elementarne na macierzy.
Definicja macierzy. Niech , " . Macierzą o wierszach i kolumnach nazywamy odwzorowanie: : 1,2, & , � 1,2, & , . Gdy
�" mówimy o macierzy liczbowej (tabela prostokątna liczb rzeczywistych).
&
& & & &
=
&
= 1,2, & , = 1,2, & , - elementy macierzy
Rodzaje macierzy:
1. Zerowa
2. Kwadratowa
3. Trójkątna górna (dolna)
4. Diagonalna
5. Jednostkowa
6. Transponowana
7. Symetryczna
Działania na macierzach i ich własności
" Dodawanie/odejmowanie macierzy
" Mnożenie macierzy przez liczbę
" Mnożenie macierzy przez macierz
Wyznacznik macierzy kwadratowej i jego własności, operacje elementarne na macierzy.
(schemat Sarrusa, rozwinięcie Laplace a& )
Jeżeli do elementów jednego wiersza (kolumny) dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez liczbę, to
wyznacznik nie zmieni się.
Własności wyznaczników
" Jeżeli przestawimy wiersze w miejsce kolumn W1-K1 ,W2-K2 to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie
" Jeżeli przestawimy 2 wiersze lub 2 kolumny to wartość wyznacznika zmieni znak na przeciwny
" Jeżeli wszystkie elementy dowolnego W lub K pomnożymy przez tą samą liczbę k to wartość wyznacz zostanie pomnożona przez k.
" Jeżeli w wyznaczniku dowolny W lub K będzie składała się z samych 0 to wartość wyznacznika = �
" Jeżeli w wyznaczniku W lub K będzie proporcjonalna do innego W lub K to wartość wyznacznika = �
" Jeżeli do elementów dowolnego W (K) wyznacznika + (-) elementy innego W (K) pomnożoną przez dowolną liczbę k to wartość
wyznacznika nie ulegnie zmianie .
Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy
(i) zamianę wierszy (kolumn) ;
(ii) pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę różną od 0 ;
(iii) pomnożenie wybranego wiersza (kolumny) przez pewną liczbę i dodanie do innego wiersza
(kolumny)
Macierze nazywamy równoważnymi, jeżeli jedna powstaje z drugiej przez zastosowanie działań elementarnych
.
Stąd A~B <=> r (A) = r (B) (~)- równoważne
Zadanie 1. [podstawowe działania na macierzach]Wyznacz macierz X dla następujących macierzy A, B, C:
Macierz AT nazywamy transponowaną do macierzy A, jeżeli zamienimy w niej wiersze na
kolumny i na odwrót.
�ł0 1 2łł �ł1 2 3łł �ł2 4 1łł
A =
�ł5 0 3śł B = �ł0 -1 2śł C = �ł1 2 0śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
a) X = A + B b) X = A B c) X = A + 2B C d) X = BT AT
Zadanie 2. [mnożenie macierzy] Wykonaj mnożenie macierzy:
�ł1 0łł �ł2 3łł �ł2 3łł �ł1 0łł �ł 2 1łł �ł 2 1łł
a) �"�ł b) �"�ł c)
�ł2 1śł �ł1 2śł �ł1 2śł �ł2 1śł �ł-1 3śł�"�ł 3śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł-1
�ł
�ł1 2 3łł
�ł2 1 -1łł �ł1 - 2łł �ł2 -1 - 3łł
�ł śł
d)
�ł0 -1 2 śł�" �ł4 5 6śł e) �ł3 1 śł�"�ł4 1 2 śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł7 8 9śł
�ł �ł
�ł4 2 łł �ł- 3 1 0łł �ł- 2 2 -1łł �ł1 0 łł
�ł3łł
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
[ ]
f) 3 3 -1 �"�ł0 1 g) 2 1 1śł�"�ł- 5 6 - 3śł h) 1
śł �ł- �ł2 śł�"�ł1śł
�ł �ł
�ł3 -1śł �ł śł �ł3 - 2śł
1 0 2śł �ł 1 -1 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
Zadanie 3. [wyznaczanie wyznacznika] Oblicz wyznacznik macierzy :
�ł �ł1 -1 1łł �ł3 2 -1łł �ł1 3 2łł
3 1 -1łł
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
a) 4 2 -1śł b) 3 1śł c) 9 3 d) 4 1śł
�ł �ł2 �ł2 śł �ł5
�ł- 2 -1 1 śł �ł4 5 1śł �ł1 8 1 śł �ł3 1 3śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł1 1 2łł �ł2 - 4 3łł �ł3 -1 1 łł �ł
1 - 2 3łł
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
e) 1 0śł f) 4 1śł g) 1 -1śł h) 2 0 1śł
�ł2 �ł2 �ł0 �ł
�ł3 2 2śł �ł3 0 5śł �ł2 2 2 śł �ł-1 1 2śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł1 2 3 4 łł �ł2 0 0 1łł �ł1 1 1 1 łł �ł2 -1 3 1łł
�ł2 1 - 2 -1śł �ł3 2 1 5śł �ł1 2 3 4 śł �ł0 2 1 3śł
�ł śł j) �ł śł k) �ł śł l) �ł śł
i)
�ł3 0 1 2 śł �ł0 2 0 1śł �ł1 4 9 16śł �ł1 2 1 4śł
�ł0 1 0 2 śł �ł1 0 3 4śł �ł1 8 27 64śł �ł1 2 1 3śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł

Wyszukiwarka