Izdebski J Podstawy fizyki kwantowej Zadania Rozwiązania 2
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia 2002 roku Zadanie 1 Funkcja falowa (x) = An sin(2Ąnx) jest zdefiniowana jedynie w obszarze L 0 <= x <= L. Skorzystaj z warunku normalizacji do obliczenia stałej An. Rozwiązanie Warunek normalizacji mówi o tym, że całka kwadratu modułu funkcji fa- lowej po całej przestrzeni jest równa 1. Tutaj warunek będzie miał postać następującą. L 2Ąn A2 sin2 x dx = 1 n 0 L L 2Ąn A2 sin2 x dx = 1 n 0 L 2Ąn wykonamy zamianę zmiennych niech u = x wtedy L 2Ąn L A2 sin2(u)du = 1 n 2Ąn 0 Obliczając całkę dostajemy1 2Ąn 2Ąn 1 1 sin2(u)du = - sin u cos u + u = Ąn 0 2 2 0 Podstawiając wynik do warunku normalizacji otrzymamy L A2 = 1 n 2 co daje ostatecznie 2 An = L 1 Całkę można spisać z tablic lub, jeśli ktoś chce, obliczyć metodą przez części . 1 Zadanie 2 i Udowodnij, że (x, t) = A exp (px - Et) jest rozwiązaniem równania Ż h Schrdingera. Czy funkcja + " jest też rozwiązaniem? Rozwiązanie i (px-Et) h Ż (x, t) = Ae warto zauważyć, że i i px h h Ż Ż (x, t) = Ae e- Et czyli i h Ż (x, t) = (x)e- Et Funkcja falowa dała się rozłożyć na dwia czynniki, z których jeden zależy wyłącznie od położenia a drugi tylko od czasu. Jeśli wykonamy teraz pod- stawienie do równania Schrdingera h2 "(x, t) Ż - "2(x, t) + U(x, t) = iŻ h 2m "t więc h2 i i E i Ż h h h Ż Ż Ż - e- Et"2(x) + U(x)e- Et = iŻ -i e- Et h(x) 2m h Ż i h Ż dzieląc stronami przez e- Et otrzymamy h2 Ż - "2(x) + U(x) = E(x) 2m Równanie to jest nazywane równaniem Schrdingera bez czasu i dotyczy przypadków stacjonarnych tzn. takich gdzie potencjał U nie zależy od czasu.2 Dajej pisząc o równaniu Schrdingera będę miał na myśli właśnie równanie S. bez czasu. Podstawiając do tego równania jawnie funkcję i px h Ż (x) = Ae dostajemy p2 + U = E 2m 2 Wtedy funkcję falowoą daje się rozłożyć na dwa czynniki, z których jeden zależy tylko od położenia a drugi tylko od czasu. 2 Pomiędzy energią kinetyczną i pędem w fizyce nierelatywistycznej zachodzi związek mv2 p2 Ek = = 2 2m więc Równanie ma sens, dostaliśmy sumę energii potencjalnej i kinetycznej równą całkowitej energii cząstki, co jest prawdą. Jak łatwo obliczyć funkcja ś = + " ma postać 1 ś = 2A cos (px - Et) h Ż po obliczeniach dostajemy h2 p2 Ż - "2ś = ś 2m 2m co, podobnie jak poprzednio, można podstawić do równania Schrdingera. Otrzymamy wtedy p2 + U ś = Eś 2m Lewa strona jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej a prawa jest całko- witą energią cząstki. Wynika z tego, że lewa strona jest równa prawej czyli funkcja ś = + " również spełnia równanie Schrdingera. Zadanie 3 Zbadaj, czy (x, t) = A sin(kx-t) jest rozwiązaniem równania Schrdingera? Rozwiązanie Funkcję można wyrazić też wykorzystując związki E = h Ż oraz p = hk Ż Wtedy przybierze postać 1 = A sin (px - Et) h Ż Pozostało już tylko podstawienie do równania h2 Ż - "2 + U = E 2m 3 i, podobnie jak w poprzednim zadaniu otrzymamy p2 + U = E 2m Ostatecznie możemy więc stwierdzić, że funkcja spełnia równanie Schrdingera. Zadanie 4 Wyznacz dozwolone wartości energii i funkcje falowe cząstki o masie m znaj- dującej się w nieskończenie głębokiej, prostokątnej studni potencjału o sze- rokości L. Rozwiązanie Sposobów rozwiązania jest kilka. Przedstawię najprostszy. Aby dotyczył też pozostałych zadań przyjmijmy, że potencjał jest następujący ńł ł + " "x < 0 ł V = 0 "0 < x < L ł ół + " "x > L Tam gdzie potencjał jest nieskończenie duży funkcja falowa nie istnieje. W przedziale zerowego potencjału mogą występować funkcje falowe odpowia- dające cząstce swobodnej poruszającej się w prawo oraz cząstce swobodnej poruszającej się w lewo. Dodatkowo na brzegach studni funkcja falowa musi znikać. Potencjał nie zależy od czasu więc zrezygnujemy z pisania członów funkcji falowej zależnych od czasu. Uwzględniając to można napisać: (x) = (x) + (x)! (0) = 0 (L) = 0 czyli (x) = Aeikx + Be-ikx Aeik0 + Be-ik0 = AeikL + Be-ikL = 0 wynika z tego, że A + B = 0 więc B = -A. Można już zapisać jako (x) = A eikx - e-ikx 4 Przechodząc do zapisu trygonometrycznego ma postać (x) = 2Ai sin(kx) W sposób naturalny dla (0) = 0 ale trzeba też pamiętać o tym, że (L) = 0 Ą 2Ai sin(kL) = 0 "k = n gdzie n = 1, 2, 3, 4 . . . L Funkcję falową trzeba jeszcze unormować: L 4A2 sin2(kx)dx = 1 0 po obliczeniu całki L 1 1 1 4A2 - sin(kx) cos(kx) + kx = 1 k 2 2 0 2A2L = 1 1 A = 2L Po uwzględnieniu wartości A oraz k funkcja przybiera postać 2 nĄ (x) = i sin x L L Co po uwzględnieniu czynnika zależnego od czasu daje pełną funkcję falową (x, t) 2 nĄ (x, t) = i sin x e-it L L Działając hamiltonianem na funkcję falową dostajemy wartości energii dla stanów własnych prostokątnej nieskończonej studni kwantowej. $ = E E jest wartością własną hamiltonianu, czyli energią cząstki. Po podstawieniu funkcji falowej otrzymamy h2 h2 Ż Ż - "22Ai sin(kx) = k22Ai sin(kx) 2m 2m czyli h2 Ż $ = k2 2m Energia cząstki po uwzględnieniu wartości k wyraża się wzorem h2Ą2 Ż E = n2 gdzie n = 1, 2, 3, . . . 2mL2 Warto zauważyć, że cząstka w studni potencjału nie może przyjmować do- wolnej energii. Poziomy energetyczne są skwantowane. 5 Zadanie 5 Cząstka znajduje się w stanie podstawowym w prostokątnej studni potencjału o szerokości L i całkowicie nieprzepuszczalnych ściankach (0 < x < L). Oblicz 1 2 prawdopodobieństwo znalezienia tej cząstki w obszarze L < x < L. 3 3 Rozwiązanie W tym zadaniu można wykorzystać obliczenia z zadania poprzedniego. Na- 1 leży kwadrat modułu unormowanej funkcji falowej (x) przecałkować od L 3 2 do L. 3 2L/3 2 Ą P = sin2 x dx L/3 L L 2L 3 1 Ą Ą Ą P = - sin( x) cos( x) + x L Ą L L L 3 co po obliczeniu daje P = 0.61 Zadanie 6 Przyjmując, że cząsteczka tlenu porusza się ze średnia prędkością termiczną w temperaturze T = 300K między dwoma kolejnymi zderzeniami najduje się w prostokątnej studni potencjału o szerokości L = 6 10-8 m. Oszacuj liczbę możliwych poziomów energetycznych tej cząstki. Rozwiązanie Zadanie jest trochę dziwnie sformułowane i mało fizyczne, ale spróbujemy je rozwiązać następująco. Zakładając, że tlen w temperaturze pokojowej zacho- wuje się jak gaz doskonały (co jest właściwie prawdą przy ciśnieniu normal- nym i niższym niż normalne). Wtedy średnia energia kinetyczna cząsteczki wyraża się wzorem 3 < Ekśr >= kBT 2 Porównując to ze wzorem na energię cząstki w prostokątnej studni potencjału dostajemy 3 h2Ą2 Ż kBT = n2 2 2mL2 6 więc L n = 3kBT m hĄ Ż Po podstawieniu otrzymamy wynik: cząsteczka o której mowa w zadaniu znajduje się w stanie kwantowym n = 3277. Zadanie 7 Jaka jest szerokość jednowymiarowej studni potencjału z nieskończenie wyso- kimi ścianami, jeżeli przy przejściu elektronu z drugiego na pierwszy poziom kwantowy wysyłana jest energia "E = 1 eV . Rozwiązanie Należy wykorzystać wzór na poziomy energetyczne w takiej studni, wypro- wadzony w zadaniu 10 i rozwiązać równanie E2 - E1 = "E h2Ą2 Ż n2 - n2 = "E 2mL2 2 1 więc h2 (n2 - n2) 2 1 L = 8"Em po podstawieniu dostajemy L = 1.063 10-9 m 7