Metoda Elementów
Metoda Elementów
Skończonych
Skończonych
POJ
CIA PODSTAWOWE METODY
POJ
CIA PODSTAWOWE METODY
ELEMENTÓW SKOC
CZONYCH
ELEMENTÓW SKOC
CZONYCH
1
2
2
Wiadomości ogólne
Wiadomości ogólne
" Metoda elementów skończonych znajduje za-
Metoda elementów skończonych znajduje za-
stosowanie w rozwiązywaniu zadań z wielu
stosowanie w rozwiązywaniu zadań z wielu
dziedzin nauki i techniki. PoczÄ…tki metody jako
dziedzin nauki i techniki. PoczÄ…tki metody jako
techniki matematycznej rozwiązywania równań
techniki matematycznej rozwiązywania równań
różniczkowych cząstkowych można odnieść do
różniczkowych cząstkowych można odnieść do
pracy COURANTA R. z 1943 roku. Matematycz-
pracy COURANTA R. z 1943 roku. Matematycz-
ne podstawy teoretyczne odnalez
ć można w
ne podstawy teoretyczne odnalez
ć można w
pracach GALERKINA B. G i RITZA W. Zastoso-
pracach GALERKINA B. G i RITZA W. Zastoso-
wania w dziedzinie mechaniki ośrodków cią-
wania w dziedzinie mechaniki ośrodków cią-
głych spowodowały szeroki rozwój metody.
głych spowodowały szeroki rozwój metody.
3
3
Krótka historia metody
Krótka historia metody
" 1943 Courant (metody wariacyjne)
1943 Courant (metody wariacyjne)
" 1956 Turner, Clough, Martin and Topp (sztywność)
1956 Turner, Clough, Martin and Topp (sztywność)
" 1960 Clough ( Finite Element , zadania płaskie)
1960 Clough ( Finite Element , zadania płaskie)
" 70te Systemy obliczeniowe na duże komputery
70te Systemy obliczeniowe na duże komputery
" 80te Mikrokomputery, pre- i postprocesory
80te Mikrokomputery, pre- i postprocesory
" 90te Analiza dużych układów konstrukcyjnych
90te Analiza dużych układów konstrukcyjnych
" współczesne analiza nano-macro, pól sprzężonych
współczesne analiza nano-macro, pól sprzężonych
4
4
R ó w n o w a g a
Ka=R
Stan u stalon y
Zagadnienie
Dyskretny
w Å‚a sn e
Ka= Ma

Stan nieustalony
(przejściowy,
Mä+Cå+Ka=R
poczÄ…tkowy,
M odel fizyczn y
przepływu)
- liniowy
MES
- nieliniowy
R ó w n o w a g a
› ( Å )= + 0Ć
Ö
Stan u stalon y
Z a g a d n ie n ie
Ciągły
w Å‚a sn e
› ( Å = ) › ( Å )
1 2
S ta n n ie u s t a lo n y
(p rz e jÅ› c io w y ,
2
p o c z Ä… t k o w y ,
u u
" "
m c
+ + › ( Å =)Ć
2 Ö
p rz e p Å‚y w u )
t t
" "
5
5
6
6
Wiadomości ogólne
Wiadomości ogólne
W chwili obecnej metoda jest z powodzeniem
W chwili obecnej metoda jest z powodzeniem
wykorzystywana w zagadnieniach mechaniki
wykorzystywana w zagadnieniach mechaniki
ciał odkształcalnych, mechaniki płynów, w ana-
ciał odkształcalnych, mechaniki płynów, w ana-
lizie przewodnictwa cieplnego, w wibroakusty-
lizie przewodnictwa cieplnego, w wibroakusty-
ce czy analizie różnego typu pól. Czyli we
ce czy analizie różnego typu pól. Czyli we
wszystkich zagadnieniach, które możemy opi-
wszystkich zagadnieniach, które możemy opi-
sać poprzez równania różniczkowe wraz z od-
sać poprzez równania różniczkowe wraz z od-
powiednimi warunkami brzegowymi (ZIEN-
powiednimi warunkami brzegowymi (ZIEN-
KIEWICZ O.C., TAYLOR R.L.).
KIEWICZ O.C., TAYLOR R.L.).
7
7
Tak więc zadanie formułowane jest na-
Tak więc zadanie formułowane jest na-
stępująco: szukamy nieznanych funkcji u
stępująco: szukamy nieznanych funkcji u
spełniających opisujący układ równań
spełniających opisujący układ równań
różniczkowych, lub w szczególności jedno
różniczkowych, lub w szczególności jedno
równanie
równanie
8
8
A1 u
śą źą
A u 0
śą źą= =
A2 u
śą źą
{ }
î"
w zadanym obszarze &! wraz z warunkami
w zadanym obszarze &! wraz z warunkami
brzegowymi
brzegowymi
B1śąuźą
śą źą
B u = =0
B2śąuźą
{ }
î"
na granicach tego obszaru “
na granicach tego obszaru “
9
9
y
e
“
“
e le m e n t
B(u) = 0
&!e
&!
A(u) = 0
x
Rozpatrywany obszar &! i granica “
Szukane funkcje mogą być funkcjami skalarnymi,
wektorowymi lub przedstawiać kilka funkcji.
10
10
" Metoda elementów skończonych dostarcza
Metoda elementów skończonych dostarcza
ogólnego schematu postępowania w celu
ogólnego schematu postępowania w celu
konstruowania szukanych funkcji poprzez
konstruowania szukanych funkcji poprzez
przyjęcie postaci aproksymacyjnej
przyjęcie postaci aproksymacyjnej
n
ð
u u N ai Na
ęą = =
"
i
1
gdzie Ni są tzw. funkcjami kształtu które
określone są w układzie lokalnym elementu lub
podobszaru, ai sÄ… natomiast parametrami
węzłowymi, w większości nieznanymi.
11
11
Aproksymacja w elemencie
Aproksymacja w elemencie
Dwa sformułowania:
Dwa sformułowania:
" metoda residuów ważonych
metoda residuów ważonych
(sformułowanie  słabe ) - metoda
(sformułowanie  słabe ) - metoda
Galerkina,
Galerkina,
" funkcjonał wariacyjny problemu
funkcjonał wariacyjny problemu
(sformułowanie  silne ) - metoda
(sformułowanie  silne ) - metoda
Rayleigha-Ritza
Rayleigha-Ritza
12
12
Ogólny algorytm metody
Ogólny algorytm metody
elementów skończonych
elementów skończonych
W pierwszym etapie metody następuje
W pierwszym etapie metody następuje
podział wnętrza i brzegu obszaru
podział wnętrza i brzegu obszaru
rozwiązania na skończoną liczbę
rozwiązania na skończoną liczbę
podobszarów zwanych elementami
podobszarów zwanych elementami
skończonymi. Podział obszaru na
skończonymi. Podział obszaru na
elementy nazywamy procesem
elementy nazywamy procesem
idealizacji geometrii układu. Przeważnie
idealizacji geometrii układu. Przeważnie
na tym etapie upraszcza się kształt
na tym etapie upraszcza się kształt
rozważanego obszaru.
rozważanego obszaru.
13
13
Podział na elementy
Podział na elementy
14
14
Przykłady typów elementów
Przykłady typów elementów
1-D
1-D
3
1 2 3 4
1 5
2 3 4
Belkowy element
Belkowy element
2-D
2-D
2
1 3
1
1
1
4
5
4
5
2
5
3
Prostokątny Trójkątny
Prostokątny Trójkątny
element element
element element
6 8
7
15
15
Ogólny algorytm metody
Ogólny algorytm metody
elementów skończonych
elementów skończonych
Analiza poszczególnych elementów.
Analiza poszczególnych elementów.
Z analizy na poziomie elementu uzyskuje
Z analizy na poziomie elementu uzyskuje
się związek między oddziaływaniami w
się związek między oddziaływaniami w
węzłach a parametrami tych węzłów.
węzłach a parametrami tych węzłów.
W wyniku tego procesu tworzy siÄ™ ma-
W wyniku tego procesu tworzy siÄ™ ma-
cierz zwaną macierzą sztywności ele-
cierz zwaną macierzą sztywności ele-
mentu skończonego, której składnikami
mentu skończonego, której składnikami
są oddziaływania w więzach od parame-
są oddziaływania w więzach od parame-
trów jednostkowych kolejnych więzów.
trów jednostkowych kolejnych więzów.
16
16
Macierz sztywności elementu
Macierz sztywności elementu
e
k ae re
=
" ke - macierz sztywności elementu o wymiarze n x n,
ke - macierz sztywności elementu o wymiarze n x n,
" ae - wektor o wymiarze n x 1, składowymi którego
ae - wektor o wymiarze n x 1, składowymi którego
są parametry węzłowe elementu
są parametry węzłowe elementu
" re - wektor w wymiarze n x 1, składowymi którego
re - wektor w wymiarze n x 1, składowymi którego
są oddziaływania w węzłach elementu.
są oddziaływania w węzłach elementu.
17
17
Analiza elementu
Analiza elementu
Analiza elementu, czyli uzyskanie macierzy
Analiza elementu, czyli uzyskanie macierzy
sztywności jest stosunkowo złożonym
sztywności jest stosunkowo złożonym
problemem MES-u. Pojawia siÄ™ tu szereg
problemem MES-u. Pojawia siÄ™ tu szereg
problemów. Przede wszystkim w wyniku
problemów. Przede wszystkim w wyniku
podziału obszaru na elementy i założenia,
podziału obszaru na elementy i założenia,
że połączone są one w skończonej liczbie
że połączone są one w skończonej liczbie
węzłów, następuje naruszenie ciągłości
węzłów, następuje naruszenie ciągłości
odkształceń wzdłuż linii podziału.
odkształceń wzdłuż linii podziału.
18
18
Ogólny algorytm metody
Ogólny algorytm metody
elementów skończonych
elementów skończonych
Analiza układu. Etap ten polega na
Analiza układu. Etap ten polega na
zszywaniu poszczególnych elemen-
zszywaniu poszczególnych elemen-
tów w całość, z której zostały wy-
tów w całość, z której zostały wy-
dzielone. Wykorzystuje siÄ™ przy tym
dzielone. Wykorzystuje siÄ™ przy tym
warunki zgodności i równowagi wę-
warunki zgodności i równowagi wę-
złów.
złów.
W efekcie otrzymujemy układ rów-
W efekcie otrzymujemy układ rów-
nań
nań
19
19
Agregacja elementów
Agregacja elementów
1 2 2 3
1 2
2
1 3
4 5 5 6
1
2
5
4 6
4 5 5 6
3 4
3 4
7 8 9
7 8 8 9
20
20
Dyskretyzacja
Dyskretyzacja
Element
Element
Obszar
Obszar
Węzeł
Węzeł
PÅ‚yta Betonowa
PÅ‚yta Betonowa
Brzeg
Brzeg
21
21
22
22
Przykład
Przykład
P
x
u
23
23
Siatka elementów
Siatka elementów
1 2 3 4 5
1 2 3 4
u1= 0
u2
u3
u4
u5
24
24
Dyskretyzacja liniowa
Dyskretyzacja liniowa
1 2 2 3 3 4 4 5
1 2 3 4
u1= 0
u2
u3
u4
u5
25
25
Dyskretyzacja kwadratowa
Dyskretyzacja kwadratowa
1 2
2
3 3 4 5
1
u1= 0 u2
u3
u4
u5
26
26
Macierz sztywności układu
Macierz sztywności układu
Ka r
=
" K - macierz kwadratowa zwana macierzÄ…
K - macierz kwadratowa zwana macierzÄ…
sztywności układu,
sztywności układu,
" a - wektor, którego składowymi są niewiadome
a - wektor, którego składowymi są niewiadome
parametry węzłowe
parametry węzłowe
" r - wektor, którego składowymi są obciążenia
r - wektor, którego składowymi są obciążenia
węzłowe.
węzłowe.
Wymiary K, a, r zależą od liczby węzłów w układzie i
Wymiary K, a, r zależą od liczby węzłów w układzie i
liczby składowych parametrów węzłowych.
liczby składowych parametrów węzłowych.
27
27
Równowaga elementu
Równowaga elementu
Dla opisu stanu równowagi elementu przyjmuje
Dla opisu stanu równowagi elementu przyjmuje
się skończoną liczbę parametrów, mimo że w
się skończoną liczbę parametrów, mimo że w
przypadku elementu wyciętego z kontinuum pa-
przypadku elementu wyciętego z kontinuum pa-
rametrów jest nieskończenie wiele. Dlatego też
rametrów jest nieskończenie wiele. Dlatego też
metoda elementów skończonych jest metodą
metoda elementów skończonych jest metodą
przybliżoną, aproksymacyjną. Powstaje pytanie,
przybliżoną, aproksymacyjną. Powstaje pytanie,
czy dokładność metody jest dostateczna, i od
czy dokładność metody jest dostateczna, i od
czego ona zależy?
czego ona zależy?
28
28
Wymagania przy budowie
Wymagania przy budowie
elementu
elementu
" Warunek zgodności:
Warunek zgodności:
a) ciągłość pola przemieszczeń
a) ciągłość pola przemieszczeń
" Warunki zupełności:
Warunki zupełności:
a) opis w elemencie pola stałych
a) opis w elemencie pola stałych
przemieszczeń
przemieszczeń
b) brak odkształceń przy sztywnych
b) brak odkształceń przy sztywnych
ruchach elementu
ruchach elementu
29
29
Dokładność metody
Dokładność metody
Ogólnie można powiedzieć, że dokładność
Ogólnie można powiedzieć, że dokładność
metody jest tym większa im:
metody jest tym większa im:
" założone funkcje dokładniej opisują
założone funkcje dokładniej opisują
rzeczywisty rozkład pola elementu
rzeczywisty rozkład pola elementu
" podział na elementy jest bardziej gęsty
podział na elementy jest bardziej gęsty
30
30
Spełnienie tylko drugiego warunku nie jest
Spełnienie tylko drugiego warunku nie jest
wystarczajÄ…ce do uzyskania poprawnych
wystarczajÄ…ce do uzyskania poprawnych
wyników. Kluczowy jest dobór funkcji in-
wyników. Kluczowy jest dobór funkcji in-
terpolacyjnych opisujących stan odkształ-
terpolacyjnych opisujących stan odkształ-
cenia elementu w zależności od wartości
cenia elementu w zależności od wartości
przemieszczeń węzłowych. Funkcje te
przemieszczeń węzłowych. Funkcje te
określa się w MESie mianem
określa się w MESie mianem
funkcji kształtu
funkcji kształtu
31
31
Funkcje kształtu
Funkcje kształtu
Przyjmując funkcje kształtu należy dążyć do
spełnienia następujących warunków:
1. funkcje opisujÄ…ce pole funkcji rozwiÄ…zujÄ…-
1. funkcje opisujÄ…ce pole funkcji rozwiÄ…zujÄ…-
cej powinny gwarantować ich ciągłość
cej powinny gwarantować ich ciągłość
wewnątrz elementu oraz zgodność (do
wewnątrz elementu oraz zgodność (do
rzędu o jeden rząd mniejszy niż rząd
rzędu o jeden rząd mniejszy niż rząd
najwyższej pochodnej występującej w
najwyższej pochodnej występującej w
równaniu całkowym) na granicy podziału
równaniu całkowym) na granicy podziału
- w elementach sÄ…siednich
- w elementach sÄ…siednich
32
32
2. funkcje muszą zapewniać możliwość re-
2. funkcje muszą zapewniać możliwość re-
alizacji stałej wartości funkcji rozwiązu-
alizacji stałej wartości funkcji rozwiązu-
jącej lub jej pochodnych (do rzędu o
jącej lub jej pochodnych (do rzędu o
jeden rząd mniejszy niż rząd najwyższej
jeden rząd mniejszy niż rząd najwyższej
pochodnej występującej w równaniu
pochodnej występującej w równaniu
całkowym) wewnątrz elementu, co
całkowym) wewnątrz elementu, co
uwzględnia oczywisty fakt, że wraz ze
uwzględnia oczywisty fakt, że wraz ze
zmniejszaniem się wymiarów elementu,
zmniejszaniem się wymiarów elementu,
wartość funkcji rozwiązującej zmierza
wartość funkcji rozwiązującej zmierza
do pewnej stałej wartości.
do pewnej stałej wartości.
33
33
Funkcje kształtu
Funkcje kształtu
Spełnienie powyższych warunków zapewnia
Spełnienie powyższych warunków zapewnia
na ogół monotoniczną zbieżność poszukiwa-
na ogół monotoniczną zbieżność poszukiwa-
nego rozwiązania, do rozwiązania dokładne-
nego rozwiązania, do rozwiązania dokładne-
go, w miarę zwiększania liczby elementów
go, w miarę zwiększania liczby elementów
przy jednoczesnym zmniejszaniu ich objęto-
przy jednoczesnym zmniejszaniu ich objęto-
ści
ści
Właściwy dobór funkcji kształtu jest zagad-
Właściwy dobór funkcji kształtu jest zagad-
nieniem o podstawowym znaczeniu w anali-
nieniem o podstawowym znaczeniu w anali-
zie elementu.
zie elementu.