6. Zastosowanie pochodnych do badania własności funkcji: monotoniczność funkcji a znak
pochodnej, warunek konieczny i dostateczny na istnienie ekstremum lokalnego funkcji,
największa i najmniejsza wartość funkcji, wklęsłość i wypukłość a znak drugiej pochodnej,
warunek konieczny i dostateczny na istnienie punktu przegięcia funkcji. Przykłady
wykorzystania rachunku różniczkowego w ekonomii.
Przebieg zmienności funkcji
Zbadaj przebieg zmienności i narysuj wykres funkcji danej wzorem:
x2 +ð 2x +ð1
a) f (x) =ð
x -ð1
x2 -ð 2x +ð1
b) f (x) =ð
x +ð1
x2 -ð 2x +ð1
c) f (x) =ð
x -ð 2
1. Analiza funkcji:
(a) Wyznaczenie dziedziny funkcji
(b) Obliczenie granic na krańcach przedziałów określoności
(c) Wyznaczenie asymptot
(d) Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osią OX oraz z osią OY
(e) Zbadanie parzystości i nieparzystości funkcji.
2. Analiza pierwszej pochodnej funkcji:
(a) Obliczenie f '(x) i wyznaczenie zbioru, w którym funkcja f (x) jest różniczkowalna
(b) Wyznaczenie miejsc zerowych pierwszej pochodnej
(c) Wyznaczenie zbiorów, w których f '(x) >ð 0 i w których f '(x) <ð 0 oraz okreÅ›lenie
monotoniczności
funkcji f (x)
(d) Wyznaczenie ekstremów lokalnych funkcji f (x)
3. Analiza drugiej pochodnej funkcji:
(a) Obliczenie f ''(x) i wyznaczenie zbioru, w którym f '(x) jest różniczkowalna
(b) Wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej
(c) Wyznaczenie zbiorów, w których f ''(x) >ð 0 i w których f ''(x) <ð 0oraz okreÅ›lenie
przedziałów wklęsłości i wypukłości funkcji f (x) (1 pkt.)
4. Sporządzenie tabeli przebiegu zmienności funkcji (informacje z punktów 1, 2, 3)
x
f '(x)
f ''(x)
f (x)
5. SporzÄ…dzenie wykresu funkcji f (x)
f (x)
x
Zadanie 1.1 Funkcja podaży na pewne dobro przy cenie jednostkowej określona jest
wzorem . Znalez
ć funkcję utargu oraz oraz podać interpretację
otrzymanego wyniku.
Zadanie 2. Koszt całkowity wyprodukowania jednostek pewnego towaru oraz cena
tego towaru, przy której popyt jest równy podaży, zostały określone wzorami:
, . Przy jakiej wielkości produkcji utarg krańcowy
będzie równy kosztowi krańcowemu?
Zadanie 3. Koszt całkowity wyprodukowania jednostek pewnego artykułu wyraża się
wzorem . Przy jakiej wielkości produkcji koszt przeciętny
wyprodukowania jednostki tego artykułu będzie równy kosztowi krańcowemu?
1
Zadania 1,2,3 pochodzą z książki Bażańska T., Nykowska M.,  MATEMATYKA W ZADANIACH DLA
WYŻSZYCH ZAWODOWYCH UCZELNI EKONOMICZNYCH