LICZBY ZESPOLONE Definicja Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych, np. x, y . ( ) Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez C : C = {z = (x, y):x, y R} Geometrycznie: Liczbę zespoloną z = x, y przedstawiamy na płaszczyznie w postaci punktu ( ) o współrzędnych x, y lub w postaci wektora o początku w punkcie 0,0 i końcu w punkcie ( ) ( ) x, y . Zbiór wszystkich liczb zespolonych nazywamy wtedy płaszczyzną zespoloną. ( ) y z = x, y ( ) y
x x Definicja Liczbę zespoloną 0,1 nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy ją przez i : ( ) i = 0,1 ( ) Jednostka urojona spełnia równanie: i2 = -1 POSTAĆ ALGEBRAICZNA LICZBY ZESPOLONEJ Każdą liczbę zespoloną można jednoznacznie zapisać w postaci: z = x + iy , gdzie x, y R Definicja Niech x + iy będzie postacią algebraiczną liczby zespolonej z . Wówczas: liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z , co zapisujemy: Re z = x liczbę y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z , co zapisujemy: Im z = y Własność liczb zespolonych w postaci algebraicznej Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe, tzn. Re z1 = Re z2
z1 = z2 Im z1 = Im z2
Definicja Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + iy , gdzie x, y R , nazywamy liczbę zespoloną z określoną wzorem z = x - iy 1 Geometrycznie: Liczba sprzężona z do liczby z jest jej obrazem w symetrii względem osi rzeczywistej (Re z). Własności sprzężenia liczb zespolonych Niech z, z1, z2 C . Wtedy: 1. z1 + z2 = z1 + z2 2. z1 - z2 = z1 - z2 z1 z1 3. z1 z2 = z1 z2 4. = , o ile z2 ą 0 z2 z2 5. z + z = 2Re z 6. z - z = 2i Im z 7. z = z 8. Im z =-Im z ( ) ( ) ( ) Definicja Modułem liczby zespolonej z = x + iy , gdzie x, y R , nazywamy liczbę rzeczywistą z określoną wzorem: z = x2 + y2 Geometrycznie moduł liczby zespolonej z jest odległością punktu z od początku układu współrzędnych. Własności modułu liczby zespolonej Niech z, z1, z2 C . Wtedy: 2 1. z = z = -z 2. z z = z z1 z1 3. z1 z2 = z1 z2 4. = , o ile z2 ą 0 z2 z2 5. z1 + z2 Ł z1 + z2 6. z1 - z2 Ł z1 - z2 7. Re z Ł z , Im z Ł z 8. Re z1 z2 Ł z1 z2 ( ) Definicja Każdą liczbę j R spełniającą układ równań: x cosj =
z
sinj = y
z
nazywamy argumentem liczby zespolonej z = x + iy ą 0, gdzie x, y R . Argumentem głównym liczby zespolonej z ą 0 nazywamy argument j tej liczby spełniający nierówność 0 Ł j < 2p . Argument główny liczby zespolonej z oznaczamy przez arg z . Każdy argument j liczby zespolonej z ą 0 ma postać j = arg z + 2kp , gdzie k Z Geometrycznie: Argument liczby zespolonej z jest miarą kąta zorientowanego utworzonego przez dodatnią część osi rzeczywistej (Re z) i wektor wodzący liczby z. 2 Własności argumentu liczby zespolonej Niech z, z1, z2 C oraz niech n N . Wtedy: 1. arg z1 z2 = arg z1 + arg z2 + 2kp dla pewnego k Z ( ) 2. arg zn = narg z + 2kp dla pewnego k Z ( ) ć z1 3. arg = arg z1 - arg z2 + 2kp dla pewnego k Z , o ile z2 ą 0 z2 Ł ł 4. arg z = 2p - arg z ( ) arg z +p, gdy 0 Ł arg z < p
5. arg -z = ( ) arg z -p, gdy p Ł arg z < 2p
1 6. argć = 2p - arg z , o ile z ą 0
z Ł ł POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci: z = z cosj + isinj ( ) gdzie z ł 0 oraz j R . Liczba z jest wówczas modułem liczby z , a j jednym z jej argumentów. Im z j Re z z z Własności liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej Niech z1 = z1 cosj1 + isinj1 , z2 = z2 cosj2 + isinj2 , gdzie z1 , z2 ł 0 oraz j1,j2 R , ( ) ( ) będą liczbami zespolonymi. Wtedy: 1. z1 = z2 z1 = z2 Łj1 = j2 + 2kp , dla pewnego k Z 2. z1 z2 = z1 z2 cos j1 +j2 + isin j1 +j2 ( ( ) ( ) ) z1 z1 3. = cos j1 -j2 + i sin j1 -j2 , o ile z2 ą 0 ( ( ) ( ) ) z2 z2 Wzór de Moivre a Niech z = z cosj + isinj , gdzie z ł 0 oraz j R , oraz niech n N . Wtedy: ( ) n zn = z cos nj + i sin nj ( ) Literatura 1. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory. 2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania. 3