Ć w i c z e n i e 4
WYZNACZENIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA
POMOC
WAHADA
A REWERSYJNEGO
Cel ćwiczenia - wyznaczyć lokalną wartość przyspieszenia grawitacyjnego.
Sposób wykonania pomiarów pozwala uzyskać 3 zestawy danych pomiarowych.
4.1 Opis teoretyczny
Wahadłem fizycznym nazywamy ciało sztywne wahające się wokół poziomej osi obrotu
O pod wpływem siły ciężkości (rys. 4.1). Oś obrotu nie może pokrywać się ze środkiem cięż-
kości wahadła S, bo wówczas drganie by nie występowało. Okres drgań wahadła fizycznego
opisuje teoretycznie zależność :
I
T = 2 Ä„
(4.1)
m g a
gdzie:
a  odległość między osią zawieszenia i środkiem ciężkości,
I  moment bezwładności wahadła
Chcąc na bazie powyższego wzoru wyznaczyć przyśpieszenie ziemskie g należy oprócz
okresu drgań T i masy wahadła m (które można zmierzyć bezpośrednio) znać również wielko-
ści a oraz I (których pomiar jest kłopotliwy). Aby tych trudności uniknąć, w ćwiczeniu stosu-
jemy wahadło fizyczne o dwóch osiach obrotu (O , O ) umieszczonych po przeciwnych stro-
1 2
nach środka ciężkości S (rys. 4.2). Jest to tzw. wahadło rewersyjne dla którego okresy drgań
są takie same dla obu zawieszeń wahadła.
Jeżeli punkt O (rys. 4.2) jest punktem zawieszenia, to okres wahań
1
I1
T1 = 2 Ä„
(4.2)
m g a
gdzie I jest momentem bezwładności wahadła względem osi O
1 1
Analogicznie dla drugiej osi obrotu okres wahań
I2
T2 = 2 Ä„
(4.3)
m g b
gdzie:
I  moment bezwładności wahadła względem osi O ,
2 2
b  odległość między drugą osią zawieszenia a środkiem ciężkości
Na podstawie twierdzenia Steinera o momentach bezwładności wiemy, że:
I1 = IS + m a2 (4.4)
I2 = IS + m b2
gdzie I jest momentem bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez środek cięż-
S
kości.
Rys. 4.1. Wahadło fizyczne. Rys. 4.2. Dwuosiowe wahadło fizyczne.
I1 I2
Dla wahadła rewersyjnego okresy T i T są równe. Wtedy za (4.2) i (4.3) mamy = .
1 2
a b
2
IS + ma IS + mb2
Uwzględniając (4.4) otrzymujemy = czyli:
a b
( b - a )( IS - mab ) = 0
(4.5)
Przypadek, gdy b=a nic nie mówi o wzajemnym położeniu osi O , O i może zajść, gdy mamy
1 2
IS
ciało zarazem sztywne i symetryczne. Natomiast z równania - mab = 0
mamy:
IS = m a b
(4.6)
Po podstawieniu (4.4) i (4.6) do (4.2) otrzymujemy zależność:
2
IS + ma m a (b + a) (b + a) lzr
T = T1 = T2 = 2 Ä„ = 2 Ä„ = 2 Ä„ = 2 Ä„ (4.7)
m g a m g a g g
Wielkość l nazywamy długością zredukowaną wahadła rewersyjnego i jak widać z (4.7) jest
zr
ona równa l =a+b czyli odległości między osiami obrotu wahadła którą można łatwo zmierzyć
zr
liniałem.
Widzimy więc, że okres wahań wahadła zawieszonego na osi O jest równy okresowi wahań
1
tego wahadła zawieszonego w punkcie O odległym od punktu O o długość zredukowaną. Na
2 1
tej podstawie zarysowała się idea prostego i dokładnego pomiaru przyspieszenia ziemskiego,
bez wyznaczania I , m oraz położenia środka ciężkości tylko przez łatwy pomiar odległości
S
między osiami obrotu oraz okresu T.
Jak jednak praktycznie znalez
ć osie, dla których jest słuszny warunek
(4.6) mając bryłę o zadanym już kształcie, a więc o z góry ustalanym
położeniu środka masy S oraz wartościach I i m? Praktycznie przesu-
wanie osi obrotu jest bardzo trudne. Znacznie łatwiej postąpić odwrot-
nie - zamocować na stałe obie osie, zmieniać zaś położenie środka
masy, a wraz z nim I aż do spełnienia warunku T = T Tak też postę-
S 1 2 .
pujemy w ćwiczeniu (rys 4.3). Na pręcie mającym na stałe zainstalowa-
ne dwie osie obrotu umieszczamy (między osiami) ciężarek nadziany
wcześniej na pręt. Przesuwając ciężarek wzdłuż pręta i mierząc okresy
względem obu osi poszukujemy sytuacji, w której T = T .
1 2
Aby doświadczalnie wykluczyć sytuację, w której b = a wprowadza się
dużą asymetrię wstępną wahadła zwykle poprzez dodatkowe jeden lub
dwa przesuwalne ciężarki umieszczone poza osiami. Sprawdzimy jesz-
cze, czy dla takiego wahadła na pewno będzie istniało między osiami
położenie ciężarka, przy którym zajdzie oczekiwana sytuacja, czyli
związek (4.6). Możemy go zapisać w postaci:
IS (4.8)
a (lzr - a) =
m
Przesunięcie ciężarka zmienia niewiadomą "a" w równaniu, ale również
wpływa na wartość I . Ponieważ lewa strona równania (4.8) ma postać
S
równania drugiego stopnia, ogólnie można spodziewać się dwóch roz-
wiązań dla a, czyli dwóch różnych wartości położenia soczewki, przy
których pełnienie warunku (4.6) umożliwia obliczenie przyśpieszenia
ziemskiego (rys. 4.4). To jednak, czy rozwiązania takie będą istniały za-
leży od konkretnych wartości I . Należy zaznaczyć, że pomiary należy
S
wykonywać przy małych amplitudach wychyleń wahadła (nie większych
niż 50-100). Tylko wtedy spełnione będzie przybliżenie, że wahadło wy-
konuje drgania harmoniczne.
Rys. 4.3. Laboratoryjny model wahadła fizycznego.
 Rys.4.4. Zależność okresu wahań od położenia soczewki wahadła.
4.2. Układ pomiarowy
Zestaw pomiarowy składa się z wahadła fizycznego o dwu osiach obrotu (podobnego do tego
z (rys. 4.3)) oraz układu elektronicznego pozwalającego mierzyć czas określonej, pełnej liczby
wahań wahadła.
4.3. Wykonanie pomiarów
1. Zawiesić wahadło na osi O i dokonać pomiaru kilku - kilkunastu okresów jego drgań
1
zmieniając położenie środkowego ciężarka w dostępnym zakresie długości wahadła, np.:
lð 9 okresów, zmieniajÄ…c poÅ‚ożenie ciężarka co 100 mm od 100 mm do 900 mm, albo
lð 15 okresów, zmieniajÄ…c poÅ‚ożenie ciężarka co 50 mm od 150 mm do 850 mm.
2. Zapisać wyniki pomiarów z punktu 1 w formie tabeli.
3. Zawiesić wahadło na osi O i dokonać pomiaru okresów jego drgań przy tych samych od-
2
ległościach środkowego ciężarka od osi obrotu co w punkcie 1.
4. Zapisać wyniki pomiarów z punktu 3 w formie tabeli.
5. Naszkicować, analogicznie do (rys. 4.4), zależności okresów T oraz T od odległości cię-
1 2
żarka od osi obrotu wykorzystując dane z tabel z punktów 2 i 4 zapisanych np. w formie:
Odległość od osi obrotu [mm] 100 200 300 400 500 600 700 800 900
czas T [s]
1
czas T [s]
2
6. Zorientować się, w których miejscach otrzymane na wspólnym wykresie krzywe przecinają
się (pomiędzy którymi punktami pomiarowymi). Przecięcia te umownie oznaczamy jako
Lewe oraz Prawe.
7. Zawiesić wahadło na osi O i dokonać pomiaru kilku okresów jego drgań zmieniając poło-
1
żenie środkowego ciężarka w pobliżu Lewego punktu przecięcia się krzywych T i T . Na-
1 2
leży starać się by punkt przecięcia krzywych z (rys. 4.4) leżał w pobliżu środka badanego
przedziału. Zmierzyć np. 11 okresów, zmieniając położenie ciężarka co np. 10 mm.
7.a. Jeżeli ćwiczenie wykonuje zespół wykonać analogiczne pomiary w pobliżu Prawego
punktu przecięcia się krzywych T i T . Pomiary te posłużą drugiemu z członków zespołu
1 2
do opracowania ćwiczenia.
8. Zawiesić wahadło na osi O i dokonać analogicznych pomiarów jak w punkcie 7 dla Lewe-
2
go punktu przecięcia się krzywych T i T .
1 2
8.a. Jeżeli ćwiczenie wykonuje zespół wykonać analogiczne pomiary w pobliżu Prawego
punktu przecięcia się krzywych T i T .
1 2
9. Jeżeli zespół liczy trzy osoby, to w punkcie 7 i 7.a wykonujemy więcej pomiarów mierząc
np. 15 okresów. Trzecia osoba wykonuje opracowanie w oparciu o 11 pomiarów (tak jak
osoba pierwsza), ale bez uwzględniania 4-ch punktów ze środka przedziału.
10. Zmierzyć długość zredukowaną wahadła l .
zr
11. Oszacować niepewności pomiaru czasu "T i długości zredukowanej "l .
zr
4.4. Opracowanie wyników pomiarów
1. Każdy ćwiczący wykonuje opracowanie dla swojego zestawu danych pomiarowych.
2. Wykreślić, otrzymane przy zagęszczonych położeniach ciężarka, zależność czasów T i T
1 2
od położenia ciężarka względem osi obrotu. Obie krzywe (T T ) przybliżyć prostymi
1 , 2
wyznaczonymi metodą najmniejszych kwadratów Gaussa: gdzie
y = a x + b
n n n
n n n n
xi yi - n (xi yi)
xi xi yi - yi xi2
" " "
" " " "
i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 i= 1
a = b =
2 2
n n
n n
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
xi
ìÅ‚ ÷Å‚ - n xi2
ìÅ‚ xi ÷Å‚ - n xi2
" "
" "
íÅ‚ i= 1 Å‚Å‚ i= 1
íÅ‚ i= 1 Å‚Å‚ i= 1
3. Wyznaczyć punkt przecięcia prostych i odczytać wartość T = T = T .
0 1 2
4. Oszacować niepewność "T wyznaczenia T z wykresu z uwzględnieniem wartości nie-
0 0
pewności "T bezpośredniego pomiaru czasu.
3.a. Zadanie dla chętnych - wyznaczyć analitycznie niepewność "T .
0
lzr
T0 = 2 Ä„
5. KorzystajÄ…c ze wzoru (4.7) w postaci
wyznaczyć wartość lokalnego przy-
g
spieszenia grawitacyjnego g.
ëÅ‚ öÅ‚
" lzr " T0 ÷Å‚
ìÅ‚
" g = g + 2
6. Obliczyć niepewność "g według wzoru
ìÅ‚
lzr T0 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Uwagi do analizy wyników:
lð podać wyznaczonÄ… wielkość g oraz jej niepewność "g,
lð podać niepewność wzglÄ™dnÄ… "g/g,
lð podać procentowy wpÅ‚yw niepewnoÅ›ci skÅ‚adowych "l oraz "T na wartość niepew-
zr 0
ności wyznaczonej "g ,
lð podać wartość teoretycznÄ… g ,
teoretyczne
lð na podstawie w/w wartoÅ›ci, opracowanych tabel i wykresów oraz wÅ‚asnych spostrze-
żeń wyciągnąć wnioski co do przyczyn występowania błędów grubych, systematycz-
nych i przypadkowych.
4.5. Przykładowe pytania kontrolne
1. Co nazywamy długością zredukowana wahadła fizycznego ?
2. Jak brzmi twierdzenie Steinera ?
3. Jaką przewagę ma pomiar przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
nad pomiarem za pomocą wahadła fizycznego?
4. Jakiego rzędu różnice wysokości (nad poziom morza) punktów w których dokonywane są
pomiary będą miały wpływ na wynik wyznaczanego przyspieszenia ziemskiego?
5. Dlaczego amplituda kÄ…towa wahaÅ„ wahadÅ‚a nie powinna być wiÄ™ksza niż 10°?
6. Jak zależy wartość g od szerokości, długości geograficznej, odległości od środka Ziemi
(przybliżenie - Ziemia to kula)?
L i t e r a t u r a
[1] Szczeniowski S.: Fizyka doświadczalna, cz. I; Mechanika i akustyka. PWN, Warszawa
1972.
[2] Piekara A.: Mechanika ogólna. PWN, Warszawa 1973.