24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Załóżmy, że X1, X , X są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
2 3
2
3
1
2 2
rozkładzie normalnym N , . Niech S = X - X będzie nieobciążonym
" i
2
i 1
estymatorem wariancji.
2 2
Oblicz Pr S d" .
2 2
(A) Pr S d" = 0.36788
2 2
(B) Pr S d" = 0.5
2 2
(C) Pr S d" = 0.63212
2 2
(D) Pr S d" = 0.66667
2 2
(E) Pr S d" = 0.33333
1
 24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
W urnie znajduje siÄ™ 10 kul, ponumerowanych liczbami 1,2,...,10. Losujemy ze
zwracaniem 4-krotnie po jednej kuli. Niech S oznacza sumę numerów wylosowanych
kul. Umawiamy się przy tym, że każdy wylosowany numer występuje w sumie tylko
raz, (np. jeśli wylosowaliśmy kule o numerach 3,1,5,3, to S 3 1 5 9 ).
Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej S .
(A) E S = 11.
(B) E S = 15.5556
(C) E S = 20.
(D) E S = 22.
(E) E S = 18.9145
2
 24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Wiadomo, że zmienna losowa X ma wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa o
gęstości f (x) = e x (x > 0) , zaś Y jest taką zmienną losową, że dla każdego x 0 ,
E(Y X > x) = x + 2 ,
oraz iż moment drugiego rzędu zmiennej Y istnieje i jest liczbą skończoną.
Stąd wynika, że:
(A) Cov X ,Y = 1/ 2 i Corr X ,Y = 1/ 2
(B) Cov X ,Y = - 2 i Corr X ,Y = -1/ 2
(C) Cov X ,Y = 2 i Corr X ,Y = 1/ 2
(D) Podane informacje nie wystarczajÄ… do obliczenia ani kowariancji, ani
współczynnika korelacji.
(E) Cov X ,Y = 1 , zaÅ› podane informacje nie wystarczajÄ… do obliczenia
współczynnika korelacji.
Wskazówka: zastanów się czy można obliczyć E(Y X = x) .
3
 24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
2
Dana jest próbka X1,..., X10 z rozkładu normalnego N , z nieznanymi
2
parametrami i . Rozważamy problem testowania hipotezy H0 : = 0 przeciw
alternatywie H1 : `" 0 . Używamy testu, który odrzuca H0 jeśli | X /V |> c , gdzie
1 10
2
2
V = X .
" i
i 1
10
Dobierz stałą c tak, żeby prawdopodobieństwo błędu I rodzaju tego testu było równe
0.05 .
(A) c 0.2622
(B) c 0.6021
(C) c 0.7046
(D) c 0.7427
(E) Prawdopodobieństwo błędu I rodzaju tego testu zależy od nieznanego parametru
2
i nie istnieje liczba c dla której byłoby stale równe 0.05.
4
 24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Rozważamy łańcuch Markowa X1, X ,... na przestrzeni stanów 1,2,3 o macierzy
2
przejścia
1- 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł,
P = 0 1-
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 0 1 0 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
(gdzie Pij = Pr X = j | X = i dla i, j = 1,2,3). Załóżmy, że rozkład początkowy
n 1 n
łańcucha jest wektorem
îÅ‚ - Å‚Å‚
= , , ,
ïÅ‚ śł
+ 2 - + 2 - + 2 -
ðÅ‚ ûÅ‚
(gdzie = Pr X1 = i dla i = 1,2,3 ).
i
Oblicz p = Pr X = 1| X `" 1, X1 `" 1 .
3 2
(A) p = / 2 -
(B) p = / 2
(C) p =
(D) p = / + 2 -
(E) p = (1- ) / + 2 -
5
 24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Na podstawie próbki X1,..., X z rozkładu wykładniczego o gęstości f (x) = e x
n
(x > 0) , estymujemy parametr . Niech Ć = 1/ X .
Wyznaczyć w przybliżeniu rozmiar próbki n taki, żeby
ëÅ‚
| Ć - |
PrìÅ‚ d" H"
0.01 0.95 .
ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Posłużyć się aproksymacją rozkładem normalnym.
(A) n 400
(B) n 10000
(C) n 40000
(D) n 2000
(E) n 27000
6
 24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Załóżmy, że X1,..., X jest próbką z rozkładu prawdopodobieństwa o dystrybuancie
n
Å„Å‚
1- e x dla x e" ;
F (x) = Pr(X d" x) =
òÅ‚
i
0 dla x < ;
ół
gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Rozważmy następujący estymator:
Ć
= min(X1,..., X ) .
n
Oblicz funkcjÄ™ ryzyka tego estymatora:
R( ) = E ( Ć - )2 .
1
(A) R( ) = (1- e )n
n
1
(B) R( ) = e n
n
1
(C) R( ) = e n
n2
2
(D) R( ) = e n
n2
2
(E) R( ) =
n2
7
 24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Załóżmy, że X1, X , X są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
2 3
rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną równą 5.
Obliczyć v = var(X + X | X1 + X = 5) .
2 3 2
(A) v 10
(B) v 5
(C) v 7.5
(D) v 6.25
(E) v 15
8
 24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o gęstości f (x) = e x ( x 0 ). Niech,
dla dowolnej liczby a :
" a oznacza największą liczbę całkowitą niewiększą niż a ;
" a = a - a oznacza ,,część ułamkową liczby a .
Obliczyć u = E X w zależności od c = E X .
(A) u = (ln(c +1) - ln c) 1 - c
(B) u = c /(2c +1)
(C) u = c - (ln(c +1) - ln c) 1
(D) u = c /(c + ln c)
(E) u 1/ 2
9
 24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Niech X1,..., X10 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
prawdopodobieństwa:
Pr(X = 1) = 2 / 3 i Pr(X = -1) = 1/ 3 .
i i
k
Niech Sk = X dla k = 1,2,...,10 .
" i
i 1
Oblicz
r = Pr(S10 = 2 i S1 d" 5, S2 d" 5, ..., S10 d" 5) .
(A) r 0.1275
(B) r 0.3128
(C) r 0.2201
(D) r 0.2276
(E) r 0.2265
10
 24.03.2001 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 24 marca 2001 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Arkusz odpowiedzi*
ImiÄ™ i nazwisko ........................... KLUCZ ODPOWIEDZI ................................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacja
1 C
2 E
3 E
4 B
5 B
6 C
7 D
8 D
9 A
10 E
*
Arkuszu odpowiedzi.
Egzaminacyjna.
11