Egzamin z Równań Różniczkowych, 18 IX 2012
1. Zadanie wstępne
1.1 Rozwiązać równanie: y - cos x + 1 = 0
1.2 Które z funkcji y = ex , y = e-x , y = 1 , y = 2 sin x są całkami szczególnymi
równania różniczkowego y(4) - y = 0
"

n
1.3 Wyznaczyć promień zbieżności szeregu xn
2n
n=0
-
(t)
1.4 Wyznaczyć punkt P , w którym prosta styczna do krzywej K o równaniu r =
(t - 1, et, t2 + 1) jest równoległa do płaszczyzny xOy
1.5 aką wartość przyjmuje w punkcie x = -Ą suma szeregu Fouriera funkcji:
2

5 dla x " [-Ä„, -Ä„ ] *" [Ä„ , Ä„]
2 2
f(x) =
Ä„
0 dla x " (-Ä„ , )
2 2
2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego
Å„Å‚
2 cos x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
y + y =
òÅ‚
x x2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
y(Ä„) = 0
3. Rozwiązać równanie:
y - 3y + 2y = ex + 2x
4. Rozwiązać układ równań:

‹ = x - 2y
Ź = x + 4y
5. Wyznaczyć szereg Maclaurina funkcji
x
f(x) = ,
1 + 3x2
przedział zbieżności szeregu oraz wartości pochodnych f(10)(0) i f(11)(0).
Ä„
6. Wyznaczyć szereg Fouriera samych sinusów, którego suma na przedziałach (0, ) oraz
2
(Ą , Ą) przyjmuje wartości identyczne z funkcją
2

Ä„
2 dla x " (0, )
2
f(x) =
1 dla x " (Ä„ , Ä„)
2
Narysować wykres sumy szeregu dla x " [-Ą, Ą] .
Podać wartość sumy tego szeregu dla x = 2Ą .
1