Egzamin z Równań Różniczkowych, 18 IX 2012 1. Zadanie wstępne 1.1 Rozwiązać równanie: y - cos x + 1 = 0 1.2 Które z funkcji y = ex , y = e-x , y = 1 , y = 2 sin x są całkami szczególnymi równania różniczkowego y(4) - y = 0 "
n 1.3 Wyznaczyć promień zbieżności szeregu xn 2n n=0 - (t) 1.4 Wyznaczyć punkt P , w którym prosta styczna do krzywej K o równaniu r = (t - 1, et, t2 + 1) jest równoległa do płaszczyzny xOy 1.5 aką wartość przyjmuje w punkcie x = -Ą suma szeregu Fouriera funkcji: 2
5 dla x " [-Ą, -Ą ] *" [Ą , Ą] 2 2 f(x) = Ą 0 dla x " (-Ą , ) 2 2 2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego ńł 2 cos x �ł �ł �ł y + y = �ł x x2 �ł �ł �ł ół y(Ą) = 0 3. Rozwiązać równanie: y - 3y + 2y = ex + 2x 4. Rozwiązać układ równań:
� = x - 2y Ź = x + 4y 5. Wyznaczyć szereg Maclaurina funkcji x f(x) = , 1 + 3x2 przedział zbieżności szeregu oraz wartości pochodnych f(10)(0) i f(11)(0). Ą 6. Wyznaczyć szereg Fouriera samych sinusów, którego suma na przedziałach (0, ) oraz 2 (Ą , Ą) przyjmuje wartości identyczne z funkcją 2
Ą 2 dla x " (0, ) 2 f(x) = 1 dla x " (Ą , Ą) 2 Narysować wykres sumy szeregu dla x " [-Ą, Ą] . Podać wartość sumy tego szeregu dla x = 2Ą . 1