Wstęp do analitycznych i numerycznych
metod wyceny opcji
Jan Palczewski
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Uniwersytet Warszawski
Warszawa, 16 maja 2008
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 1 / 23
Rynki finansowe
Rynek towarów/akcji
obiektem handlu jest towar (ziemniaki, węgiel, ropa) lub
dobro umowne (udział w spółce)
instrumenty podstawowe są wielkościami namacalnymi
najprostszy do modelowania
Rynek walut
wymiana abstrakcyjnych obiektów (pieniędzy): środka do
zakupu dóbr
symetria spojrzenia
Rynek stóp procentowych
obiektem handlu jest operacja lokowania i pożyczania
pieniędzy na ustalonych warunkach
stopa procentowa jest abstrakcyjnym opisem jednego z
warunków
inne to: nominał, okres inwestycji...
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 2 / 23
Instrumenty pochodne akcji i walut
dwie podstawowe zasady rozliczeń: opcje europejskie i
amerykańskie
europejska opcja call
możliwość zakupu określonej ilości towaru/waluty po
ustalonej cenie K w momencie T
reprezentacja jako wypłata:
max(ST - K , 0)
wypłata (ST - K )+ plus zakup towaru na rynku = opcja
europejska opcja put (K - ST )+
opcja binarna
opcja barierowa
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 3 / 23
Instrumenty pochodne stopy procentowej
caplet/floorlet
zabezpieczenie przed zbyt wysokÄ…/niskÄ… stopÄ… procentowÄ…
cap/floor
pakiet capletów/floorletów
swap
zamiana stopy stałej na zmienną i vice versa
zamiana stopy kredytu/lokaty
swapcja
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 4 / 23
Cele matematyki finansowej
1
budowa złożonych instrumentów finansowych (inżynieria
finansowa)
2
wycena instrumentów pochodnych
3
zebezpieczenie wypłat
czy jest jak zabezpieczać? CDO (Collateral Debt
Obligation)  subprime crisis
4
ocena ryzyka zabezpieczenia
Główny wysiłek praktyków skupiony jest na (1) i (2).
Nasz cel: WYCENA
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 5 / 23
Realizacja
1
wyabstrahowanie najważniejszych dla wyceny danego
instrumentu cech rynku i budowa modelu matematycznego
2
kalibracja modelu
3
wycena - metody analityczne i numeryczne
4
strategie zabezpieczenia; obliczenie Greeks
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 6 / 23
Model Black a-Scholes a
Instrumenty podstawowe
rachunek bankowy ze stopÄ… procentowÄ… r
Bt = ert
akcja
St = S0eÃWt +(µ-Ã2/2)t ,
gdzie Wt jest procesem Wienera.
dSt = Stµdt + StÃdWt
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 7 / 23
Założenia modelowe
Jest możliwość krótkiej sprzedaży akcji.
Nie ma możliwości arbitrażu.
Handlowanie jest ciągłe.
Nie ma kosztów transakcji i podatków.
Wszystkie instrumenty finansowe są nieskończenie
podzielne.
Stopa procentowa pożyczki i lokaty jest identyczna
niezależnie od okresu i nominału.
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 8 / 23
TrochÄ™ teorii...
Definicja
Wypłatą w momencie T nazywamy zmienną losową mierzalną
względem historii rynku do chwili T .
Twierdzenie
Jeśli à = 0 to model Black a-Scholes a jest zupełny, zaś cena

wypłaty X wynosi
e-rT EQ(X),
gdzie Q jest miarą probabilistyczną taką, że
Ü
Bt = ert, oraz St = S0eÃWt +(r-Ã2/2)t,
Ü
zaś Wt jest procesem Wienera względem miary Q.
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 9 / 23
Przykłady optymistyczne
1
Europejska opcja call: X = (ST - K )+
+
cena = e-rT EQ S0eÃZ +(r-Ã2/2)T - K ,
gdzie Z <" N(0, T ).
2
Europejska opcja barierowa down-and-out call:

(ST - K )+, jeśli min0d"td"T St > H,
X =
0, jeśli min0d"td"T St d" H,
gdzie St = S0eÃWt +(r-Ã2/2)t. Wówczas
cena = e-rT EQ(X)
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 10 / 23
Przykłady nieco mniej optymistyczne
1
Opcja azjatycka call:
X = (Save - K )+,
gdzie

T
St1 + St2 + . . . + Stn 1
Save = , lub Save = Stdt.
n T
0
Wówczas cena = e-rT EQ(X).
2
Opcja amerykańska put: (twierdzenie)

cena = sup EQ e-rÄ (K - SÄ)+ .
0d"Ä d"T
Ä to moment stopu.
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 11 / 23
Główne problemy
kalibracja: znalezienie parametrów modelu
stopa procentowa r,
zmienność Ã,
uwaga! stopa zwrotu z akcji µ nie gra żadnej roli przy
wycenie
policzenie ceny
metody analityczne  wyrażenie składające się ze znanych
i Å‚atwo obliczalnych funkcji,
metody numeryczne  jak siÄ™ nie da analitycznie
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 12 / 23
Kalibracja
1
stopa procentowa różna dla różnych okresów  jak wybrać
r?
2
à to zmienność cen akcji (ale to nie dziaÅ‚a):


1 St+"
à = Var log
" St
3
zmienność implikowana
4
rażący brak zgodności modelu z rzeczywistością
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 13 / 23
Uśmiech zmienności
Tego będzie dziś sporo.
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 14 / 23
Co robić?
Nauczyć się sprawnie oszukiwać model  obecnie
najpowszechniejsza technika w praktyce
Budować modele lepiej oddające funkcjonowanie rynku 
np. model stochastycznej zmienności

dSt = Stµdt + St VtdWt1,
dVt = Ä…(Ã - Vt)dt + ²VtdWt2.
Ale wtedy jeszcze trudniej policzyć cenÄ™ =Ò! metody
numeryczne.
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 15 / 23
Metody numeryczne
Kiedy?
Wycena trudniejszych wypłat, w tym wielu powszechnie
handlowanych.
Wycena w bardziej zaawansowanych modelach.
Jak?
Monte Carlo
Równania różniczkowe cząstkowe (PDE)
Drzewa dwumianowe
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 16 / 23
Monte Carlo - teoria
Mocne Prawo Wielkich Liczb
Niech (Xn) bedzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o
tym samym rozkładzie. Wówczas
X1 + . . . + Xn
E(X1) p.n.
n
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 17 / 23
Monte Carlo - praktyka
Jak policzyć cenę wypłaty X?
cena = e-rT EQ(X).
Symulacja
Niech X1, . . . , Xn niezależne zmienne losowe o rozkładzie
zmiennej X względem Q. Wówczas
X1 + . . . + Xn
H" EQ(X)
n
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 18 / 23
Oszacowanie błędu
Centralne Twierdzenie Graniczne
Niech (Xn) bedzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o
tym samym rozkładzie. Wówczas

X1 + . . . + Xn - n E(X1)
" N 0, 1 wg. rozkładu.
sdev(X1) n
Symulacja
Niech X1, . . . , Xn niezależne zmienne losowe o rozkładzie
zmiennej X względem Q. Wówczas
X1 + . . . + Xn VarQ(X)
H" N EQ(X), .
n n
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 19 / 23
Metoda różniczkowa - teoria
Twierdzenie
Jeśli X = h(ST ), to cena X w momencie t wynosi V (St, t),
gdzie funkcja V (s, t) dana jest wzorem

V (s, t) = e-r(T -t)EQ h(ST )|St = s .
Ponadto,
1 "2V (s, t) "V (s, t) "V (s, t)
Ã2s + rs - rV (s, t) + = 0.
2 "s2 "s "t
Przykłady:
TAK: europejska opcja call/put, opcje binarne
NIE: opcje barierowe, azjatyckie
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 20 / 23
Metoda różniczkowa - praktyka
Opcja call
Å„Å‚
1 "2V(s, t) "V (s, t) "V (s, t)
ôÅ‚
ôÅ‚
Ã2s + rs - rV (s, t) + = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
2 "s2 "s "t
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
V(s, T ) = (s - K )+, s > 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
lim V(s, t) = 0, t " [0, T ]
ôÅ‚
ôÅ‚
s0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ V (s, t)
ół
lim = 1, t " [0, T ]
s"
s
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 21 / 23
Drzewo dwumianowe
Aproksymacja modelu Black a-Scholes a za pomocÄ…:
. . .
S2 = S0u2
pu


. . .
S1 = S0u
pu 1-pu



. . .

S0 S2 = S0ud
1-pu pu




. . .
S1 = S0d
1-pu


. . .
S2 = S0d2

B0 = 1 B1 = 1 + r B2 = (1 + r)2 . . .
Wycena przy pomocy wstecznej rekurencji.
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 22 / 23
Podsumowanie
1
Monte Carlo
bardzo uniwersalna (opcje zależne od trajektorii; różne
modele), Å‚atwa do zapisania
wolna zbieżność (da się czasami przyspieszyć)
2
Metoda różniczkowa
szybka i dokładna
daje całą funkcję wyceniającą V(s, t)
trudna do zapisania (warunki brzegowe, trudne
wyprowadzenie równania)
3
Drzewo dwumianowe
dobra do opcji niezależnych od trajektorii i opcji
amerykańskich
aproksymuje tylko model Black s-Scholes a (z małymi
uogólnieniami)
nie nadaje się do wyceny opcji zależnych od trajektorii
Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008 23 / 23