ALzG Zadania trudniejsze
1. Niech V1, V2, V3 będą podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej V nad K. Udowodnić, że:
a) (V1 )" V2) + (V1 )" V3) ‚" V1 )" (V2 + V3)
b) JeÅ›li V3 ‚" V1 to V1 )" (V2 + V3) = (V1 )" V2) + (V1 )" V3)
c) JeÅ›li V2 ‚" V3 to V2 + (V3 )" V1) = (V2 + V3) )" (V2 + V1).
Pokazać, że w podpunkcie a) nie zachodzi równość.
2. Dany jest układ równań
x + y + z = 0
x + y + z = 0
x + y + z = 0
Dwie osoby grają w ten sposób, że wpisują na zmianę w kwadraciki liczby rzeczywiste. Jeśli po
wpisaniu wszystkich liczb okaże się, że układ ma rozwiązanie niezerowe,to wygrywa zaczynający;
jeśli układ ma tylko rozwiązanie zerowe to wygrywa drugi z graczy. Dowieśc że zaczynający ma
strategię zwycięską.
3. Niech A1, A2, . . . , An+1 bÄ™dÄ… macierzami kwadratowymi n × n o współczynnikach rzeczywistych.
Uzasadnić, że istnieją liczby a1, a2, . . . , an+1 nie wszystkie równe zero, takie że
det(a1A1 + a2A2 + . . . + an+1An+1) = 0.
4. Ze zbioru {1, 2, 3, . . . , 20} wybrano liczby n1, n2, . . . , n9. Pokazać, że istnieją liczby całkowite a1, a2, . . . , a9
1 2 9
nie wszystkie równe zero dla których zachodzi równość (n1)a (n2)a . . . (n9)a = 1.
5. Dany jest ciąg skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych i przekształceń liniowych
0 V1 V2 . . . Vn-1 Vn 0,
n
gdzie Fi : Vi Vi+1 oraz ImFi = kerFi+1, dla każdego i. Oblicz (-1)idimVi.
i=1
2
6. Udowodnić, że jeśli F jest operatorem na przestrzeni V , takim że F ć% (Id - F ) = F ć% (Id - F )2 = 0
2
to F jest operatorem rzutowania.Podać przykład operatora F takiego, że F ć% (Id - F ) = 0 ale F
nie jest rzutem,
7. Niech F bdzie operatorem na przestrzeni wektorowej V . Udowodnić, że
2
(a) KerF = kerF Ô! kerF )" ImF = 0
2
(b) ImF = ImF Ô! V = kerF + ImF.