Rachunek różniczkowy
Różniczkowanie symboliczne
(dana jest postać analityczna funkcji)
Różniczkowanie numeryczne
Róż i k i
(dane są wartości funkcji dla
skończonej liczby argumentów)
Różniczkowanie symboliczne
Definicja pochodnej funkcji jednej zmiennej y = f (x)
def
d f f (x + "x) - f (x)
diff ( f (x) x) lub D( f )
2 diff ( f (x), x) lub D( f )
= f (x) = lim
= f (x) = lim
d x "x0 "x
Pochodne wyższych rzędów
n n-1
1
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
d f d d f
ìÅ‚ ÷Å‚
= , n = 2,3, ... diff ( f (x), x$n) lub (D@@ n)( f )
d xn d x ìÅ‚ d xn-1 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Definicja pochodnej cząstkowej funkcji dwóch zmiennych f (x,y)
fi i j h d j k j f k ji d ó h i h f ( )
def
" f f (x + "x, y) - f (x, y)
= fx = lim diff ( f (x, y), x) lub D[1]( f )
"x "x0 "x
"x "x0 "x
Pochodnej cząstkowe wyższych rzędów (czyste, mieszane)
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
" f " " f " f " " f
"2 f " " f "2 f " " f
= ìÅ‚ = ìÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚
"x2 "x ìÅ‚ " x ÷Å‚, "x" y "x ìÅ‚ " y ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
diff ( f (x, y), x, x) diff ( f (x, y), x, y)
( f ( , y), , ) ( f ( , y), , y)
D[1,1]( f ) D[1,2]( f )
Operator D vs. komenda diff
Pochodna funkcji funkcja:
Pochodna funkcji funkcja:
> unapply(diff(f(x),x),x);
> D(f);
Pochodna funkcji w punkcie:
> eval(diff(f(x),x),x=x0);
> subs(x=x0,diff(f(x),x));
> D(f)(x0);
Pochodna funkcji jednej zmiennej zadanej w sposób uwikłany F (x, y) = 0, ( y = y (x)),
y =? , y  =? , y   =? &
F(x, y) = 0
dF Fx
2 2
= F + F y = 0 y =
= Fx + Fy y = 0 y = -
dx Fy
2
2
2
2FxFyFxy - Fy Fxx -( )
Fx Fyy
( )
d F
2 2
2 2 2 2 2 y =
= Fxx + Fxy y + (Fxy + Fyy y )y + Fy y = 0
y y yy y 3
2
d
d x2
Fy
( )
( )
d3F
2 2 2
= ........................................................... = 0 y = .......................................................
d x3

Różniczkowanie numeryczne
Wzory różnicowe (ilorazy różnicowe)*
Metody wyprowadzania wzorów różnicowych
Metody wyprowadzania wzorów różnicowych
1. Z definicji pochodnej
2. Z szeregu Taylora
2. Z szeregu Taylora
3. Z wielomianu interpolacyjnego
* Wzory wyrażające wartości pochodnych poprzez wartości funkcji w zadanych
punktach
k h
Ad.1. Definicja pochodnej funkcji
Ä…
Pierwsza pochodna w punkcie:
y(x)
def
y(x0 + "x) - y(x0)
2
y (x0) = lim = tgÄ…
"x0 x
"x
"x
Iloraz różnicowy:
x0
y(x0 + "x) - y(x0)
2
y (x0) H" "x  wartość skończona
"x
"x
"x = -h
"x = h
y(x0) y(x0 h) y(x + h) y(x h)
y(x0) - y(x0 - h) y(x0 + h) - y(x0 - h)
y(x0 + h) y(x0)
y(x0 + h) - y(x0)
2 2
2 y (x0) H"
y (x0) H" y (x0) H"
h
h 2h
Oznaczenia:
2 2
x0 = xi, x0 + h = xi+1, x0 - h = xi-1, y(xi ) = yi, y(xi+1) = yi+1, y(xi-1) = yi-1, y (xi) = yi
yi+1 - yi yi - yi-1 yi+1 - yi-1
2 2 2
y = y = y =
yi = yi = yi =
h h 2h
Iloraz różnicowy prawostronny Iloraz różnicowy lewostronny Iloraz różnicowy centralny
Ad.1. Definicja pochodnej funkcji c.d.
Interpretacja geometryczna ilorazów różnicowych
Iloraz różnicowy prawostronny Iloraz różnicowy centralny
Iloraz różnicowy lewostronny
yi+1 - yi yi - yi-1 yi+1 - yi-1
2 2 2
yi = yi = yi =
h h 2h
y(x) y(x) y(x)
x x x
x x x
xi xi+1 xi-1 xi xi-1 xi xi+1
wzór dwupunktowy wzór dwupunktowy wzór trójpunktowy
wzór dwupunktowy wzór dwupunktowy wzór trójpunktowy
Ad.1. Definicja pochodnej funkcji c.d.
Pochodna drugiego rzędu w punkcie:
def
2 2
y (x0 + "x) - y (x0)
2 2
y (x0) = lim
" 0 "
"x0 "x
2 2
yi+1 - yi
Å„Å‚
2 2
yi = , "x = h
2 2 ôÅ‚
y ( ) y ( )
y (x0 + "x) - y (x0)
0 0 h
h
2 2
2 2
y (x0) H"
( )
òÅ‚
òÅ‚
2 2
yi - yi-1
"x
ôÅ‚ 2 2
yi = , "x = -h
ół h
yi+2 - yi+1 yi+1 - yi yi - 2yi+1 + yi+2 iloraz prawostronny
2 2 2 2
yi+1 H" yi+1 H" yi H"
h h h2
yi 1 yi yi+1 iloraz centralny
yi-1 - 2yi + yi+1 iloraz centralny
yi+1 yi yi yi 1
yi+1 - yi yi - yi-1
2 2
2 2 y
2 2 yi H"
yi H" yi H" Ò!
Ò!
h h h2
yi - yi-1 yi-1 - yi-2 yi-2 - 2yi-1 + yi
2 2 2 2
iloraz lewostronny
yi-1 H" yi-1 H" yi H"
h h h
h h h2
(wzory trójpunktowe)
Ad.2. Rozwinięcie funkcji y(x) w szereg Taylora wokół punktu x = x0
1 1
1 1
2 n (n)
2 2 2
y(x) = y(x0) + (x - x0) y (x0) + (x - x0)2 y (x0) + ... + (x - x0)n y(n)(x0) + ...
2! n!
2 2 2 2 2 2
Oznaczenia : x0 = xi, y(xi) = yi, y (xi) = yi, y (xi) = yi,... y(n)(xi ) = yi(n)
y(x)
yi+2
yi+1
y
yi
yi-1
yi-2
h h h h
h h h h
x
xi-2 xi-1xi xi+1xi+2
1 1
1 1
2 3
2 2 2 2 2 2
yi+1 = yi + h yi + h2yi + h3yi + ... (1)
x = xi + h = xi+1 x - x0 = h
2! 3!
1 1
2 2 2 -
2 2 2
yi-1 = yi - h yi + h2 yi h3y + ... (2)
x = xi - h = xi-1 x - x0 = -h
2! 3!
2! 3!
4 8
2 2 2 2 2 2
yi+2 = yi + 2h yi + h2 yi + h3yi + ... (3)
x = xi + 2h = xi+2 x - x0 = 2h
2! 3!
4 8
4 8
2 2 2 -
2 2 2
x = xi - 2h = xi-2 x - x0 = -2h yi-2 = yi - 2h yi + h2 yi h3y + ... (4)
2! 3!
Ad.2. Rozwinięcie funkcji y(x) w szereg Taylora c.d.
Il óż idl i j h d j
Ilorazy różnicowe dla pierwszej pochodnej:
1 1 yi+1 - yi
iloraz różnic.
2 2 2 2 2 2 2
( ) yi+1 yi yi yi yi yi ( )
(1) yi+1 = yi + h yi + h2 yi + h3yi + ... yi = + O(h)
prawostronny
t
2! 3! h
2! 3! h
1 1 yi - yi-1
iloraz różnic.
2 2 2 2 2 2 2
(2) yi-1 = yi - h yi + h2 yi - h3y + ... yi = + O(h)
2! 3! h
lewostronny
y
yi+1 - yi-1
2 iloraz różnic.
(1) - (2) yi = + O(h2)
2h
centralny
Ad.2. Rozwinięcie funkcji y(x) w szereg Taylora c.d.
Il óż idl d i j h d j
Ilorazy różnicowe dla drugiej pochodnej:
yi+2 - 2yi+1 + yi
2 2
(3) - 2× (1) 2 2 yi =+ O(h) iloraz prawostr.
yi+2 - 2yi+1 = - yi + h2 yi + ...
h
h2
yi - 2yi-1 + yi-2
2 2 2 2
(4) - 2 × (2) yi-2 - 2yi-1 = - yi + h2 yi + ... yi = + O(h) iloraz lewostr.
h2
yi+1 - 2yi + yi-1
2 2 2 2
(1) + (2) yi+1 + yi-1 = 2yi + h2 yi + ... yi = + O(h2) iloraz centralny
h2
1 1
2 2 2 2 2 2
(1) yi+1 = yi + h yi + h2 yi + h3yi + ...
2! 3!
1 1
2 2 2 -
2 2 2
(2) yi-1 = yi - h yi + h2 yi h3y + ...
2! 3!
4 8
2 2 2 2 2 2
(3) yi 2 = yi + 2h yi + h yi + h yi +
(3) yi+2 = yi + 2h yi + h2yi + h3yi + ...
2! 3!
4 8
2 2 2 -
2 2 2
(4) yi-2 = yi - 2h yi + h2 yi h3y + ...
2! 3!
Ad.2. Rozwinięcie funkcji y(x) w szereg Taylora c.d.
Il óż ii l kt dl i j h d j
Ilorazy różnicowe wielopunktowe dla pierwszej pochodnej:
1 1 yi+1 - yi h
2 2 2 2 2 2 2 2 2 -
(1) yi+1 = yi + h yi + h2yi + h3yi + ... yi = - yi ...
2! 3! h 2!
2! 3! h 2!
yi+2 - 2yi+1 + yi
2 2
yi = + O(h)
h
h2
- yi+2 + 4yi+1 - 3yi
iloraz różnicowy trójpunktowy
2
yi = + O(h2)
prawostronny
2h
1 1 yi - yi-1 h
2 2 2 -
2 2 2 2 2 2
(2) yi-1 = yi - h yi + h2 yi h3yi + ... yi = + yi - ...
2! 3! h 2!
yi - 2yi-1 + yi-2
2 2
yi = + O(h)
h2
3 4 +
3yi - 4yi-1 + yi-2
il óż i t ój kt
iloraz różnicowy trójpunktowy
2
yi = + O(h2)
lewostronny
2h
Ad.3. Wielomian interpolacyjny przechodzÄ…cy przez zadane punkty
Ad.3. Wielomian interpolacyjny przechodzÄ…cy przez zadane punkty
y
4
y
y3
y2
-11y0 +18y1 - 9y2 + 2y3
2
y0 =
6h
y1
+
y
- 3=0-+24yy1-1y- y06y - y3
2
2
y1 y y 0 -3y1 2
2 2
y0 = =
6h
20 h
h
y1 yy2
-yy0=+yy2- 6y1 - y0 + 2y3
y2 y1 + 30
0
2
yy0=
2 2
2 2
y1 = y1 =
2
6
2h hh
y0
- 2+03+2 -18y2 +11y3
y
y02 -
y3 =4y1 y9y1
2
y2 =
6h
6h
2h
2h
x0 x1 x2 x3 x4
Ad.3. Wzory różnicowe wyznaczone z wielomianu interpolacyjnego Lagrange a
m
Å„Å‚ üÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ïÅ‚
"(t - j)śł
m r
1 ôÅ‚
1 ôÅ‚
śł
śł
(r)
yi(r) H" , i = 0...m
òÅ‚ żł
"ôÅ‚( 1)m+k yk d ïÅ‚ j=0
"ôÅ‚(-1) yk d ïÅ‚ j=0
hr k =0ôÅ‚ k!(m - k)! d tr ïÅ‚ t - k śł
ôÅ‚
t =i
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ ôÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ół þÅ‚
ół þÅ‚
m  stopień wielomianu
r  rzÄ…d pochodnej
i kt bli i
i  punkt obliczeniowy
yi(r)
 pochodna r-tego
rzędu w i  tym
y
punkcie
yi
Przykład
x0 = 0, h = 0.1
xi
h
2
y (x0) = ?
y = 1- e-x
2 2
y y
y - y
µy2 = Å"100%
100%
BÅ‚ d l d
Błąd względny
2
y
Liczba punktów n
2 3 6
4 5 11
7
4.84 0.31 0.22 Å"10-1 0.17 Å"10-2 0.13Å"10-3
ilor. prawostr. 0.11Å"10-4 0.62 Å"10-9
11
- 0.17 0.50 Å"10-11
- -
ilor. central. 0.33Å"10-3 0.33Å"10-5
ilor. lewostr.
5.17 0.36 0.23Å"10-2 0.21Å"10-3 0.18Å"10-4 0.14 Å"10-8
0.28Å"10-1