Część 1 6. PODSTAWY ENERGETYCZNE 1
6.

PODSTAWY ENERGETYCZNE
6.1. PRACA SIA
ZEWN
TRZNYCH
Rozważmy ruch ciała po szorstkiej płaszczyz
nie z uwzględnieniem siły tarcia. Ruch ten jest wywo-
łany siłą P wzrastającą od zera do pewnej wartości. Siła tarcia
T = µN, gdzie µ oznacza współczynnik tarcia, a N - siÅ‚Ä™ normalnÄ… do pÅ‚aszczyzny tarcia. JeÅ›li P < T, ciaÅ‚o
pozostaje w spoczynku. Gdy P = Pk = T, rozpoczyna się ruch jednostajny. Z kolei jeśli P. > T, obserwu-
jemy ruch przyspieszony, a siÅ‚a P jest równoważona przez siÅ‚Ä™ tarcia T i siÅ‚Ä™ bezwÅ‚adnoÅ›ci B = - mü,
gdzie m oznacza masÄ™ ciaÅ‚a, a ü przyspieszenie. Omówione przypadki ilustruje rys. 6.1.
Rys. 6.1
Gdy w ruchu jednostajnym (P = Pk= T) droga przebyta przez ciało osiągnie wartość uk , to pracę
siły Pk wyraża wzór*):
L = P(k) u(k) . (6.1)
PracÄ™ L przedstawia zakreskowane pole na rys. 6.1d.
Obliczymy teraz pracę, jaką wykona siła P rozciągająca sprężynę (rys. 6.2a). Ponieważ w miarę wzro-
stu przemieszczenia u rośnie i siła P, więc aby obliczyć pracę, musimy znać zależność P(u). Zależność tę
przedstawia rys. 6.2b. Przyrost pracy dL przy wzroście przemieszczenia o bardzo małą wartość du jest
następujący:
dL = P(u) du . (6.2)
Gdy przemieszczenie sprężyny osiągnie wartość uk, to całkowitą pracę siły P, stosownie do wzoru
(6.2), wyraża zależność:
uk uk
L = = P(u) du . (6.3)
+"dL +"
0 0
Praca ta jest równa zakreskowanemu polu z rys. 6.2b.
*)
Uwaga: jeżeli indeksy są umieszczone w nawiasach, to nie należy sumować.
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 1 6. PODSTAWY ENERGETYCZNE 2
Rys. 6.2 Rys. 6.3
Jeśli wykres P(u) jest liniowy, to całkowita praca siły P rosnącej od zera do wartości końcowej P od-
powiada polu zakreskowanego trójkąta na rys. 6.3:
uk
1
L = P(u) du = P(k)u(k) . (6.4)
+"
2
0
Współczynnik 1/2 występujący we wzorze (6.4) jest znamienny dla sprężyny o charakterystyce liniowej.
Dalej będziemy rozważać przede wszystkim tzw. układy (ciała) Clapeyrona, charakteryzujące się
następującymi cechami:
- materiał jest liniowo-sprężysty i zależności P(u) są liniowe,
- w trakcie odkształcenia nie występują nowe punkty podparcia,
- nie ma naprężeń i odkształceń wstępnych oraz zmian temperatury.
Rys. 6.4
Przykładem, który nie spełnia drugiego postulatu, jest belka przedstawiona na rys. 6.4. Podpora B
przejmuje reakcję dopiero wtedy, gdy uB = ".. Po dalszym wzroście siły P wykres P(u) załamuje się i
obserwujemy skokowy wzrost sztywności układu.
Z uwagi na nieliniową zależność P(u) przypadek z rys. 6.2 również nie stanowi układu Clapeyrona .
6.2. TWIERDZENIE CLAPEYRONA
Rozważmy ciało Clapeyrona o objętości V, ograniczone powierzchnią S oraz obciążone siłami po-
wierzchniowymi i masowymi. Siły te wzrastają od zera do swych końcowych wartości oznaczonych
przez pdS i GdV. KoÅ„cowy stan obciążeÅ„ wywoÅ‚uje naprężenia Ãij oraz przemieszczenia ui i odksztaÅ‚ce-
nia µij.
Rys. 6.5
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 1 6. PODSTAWY ENERGETYCZNE 3
Stosownie do wzoru (6.4) pracę sił powierzchniowych i masowych na przemieszczeniach u wyraża
wzór:
1 1
L = Å" u dS + Å" u dV . (6.5)
+"p 2 +"G
2
S V
Po rozpisaniu iloczynów skalarnych za pomocą współrzędnych i zastosowaniu konwencji sumacyjnej
otrzymujemy:
1 1
L = pudS + (6.6)
i i i i
+"+"Gu dV .
2 2
S V
Przemieszczenia ui(x1, x2, x3) i odksztaÅ‚cenia µij( x1, x2, x3) sÄ… kinematycznie dopuszczalne, bo speÅ‚niajÄ…
równania geometryczne. Z kolei obciążenia ciała pi(x1, x2, x3) i Gi(x1, x2, x3) oraz rzeczywiste naprężenia
Ãij( x1, x2, x3) tworzÄ… ukÅ‚ad statycznie dopuszczalny, ponieważ speÅ‚niajÄ… warunki na powierzchni (1.7b) i
równania różniczkowe równowagi (1.9). Jeśli wykorzystamy twierdzenie Greena-Ostogradskiego-
Gaussa i postąpimy tak, jak przy wyprowadzeniu równania pracy wirtualnej (3.1), to wyrażenie (6.6)
przekształcimy do postaci:
1 1 1
pudS + (6.7)
ìÅ‚ ÷Å‚
i i i i
+" +"GudV = +"ëÅ‚ 2 ÃijµijöÅ‚dV ,
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
S V V
stanowiącej treść twierdzenia Clapeyrona. Lewa strona równania (6.7) przedstawia pracę obciążeń (tzw.
sił zewnętrznych) L. Prawa strona oznacza pracę wykonaną przez naprężenia, czyli energię sprężystą U,
zmagazynowaną wewnątrz ciała.
Twierdzenie Clapeyrona głosi, że praca obciążeń równa się energii sprężystej zmagazynowanej we-
wnątrz ciała:
L = U . (6.7a)
Równanie (6.7) jest szczególnym przypadkiem zasady pracy wirtualnej, w którym zarówno pole wielko-
ści statycznych, jak i pole kinematyczne, jako pola rzeczywiste, są polami dopuszczalnymi. Istotna różni-
ca polega na tym, że równanie (6.7) odnosi się do ciał Clapeyrona, tzn. do ciał charakteryzujących się
liniową sprężystością. Dlatego, stosownie do zależności (6.4), przy wszystkich członach tego równania
pojawił się mnożnik 1/2.
6.3. ENERGIA SPR
ŻYSTA WA
AÅšCIWA
Zgodnie ze wzorem (6.7) całkowita wewnętrzna energia sprężysta U wynosi:
1
U = ÃijµijöÅ‚dV. (6.8)
ìÅ‚
+"ëÅ‚ 2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
V
Wyrażenie podcałkowe jest energią sprężystą przypadającą na jednostkę objętości. Energię tę nazywamy
energią sprężystą właściwą lub gęstością energii sprężystej i oznaczymy symbolem W:
1
W = Ãijµij. (6.9)
2
Gęstość energii jest skalarem i jest oczywiście niezmiennikiem.
Tensory Ãij i µij wystÄ™pujÄ…ce w definicji energii sprężystej wyrazimy jako sumÄ™ aksjatorów i dewiato-
rów:
1 1
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (d ) (
W = Ãijo) + Ãijd ) µijo) + µijd ) = [Ãijo) Å"µijo) + Ãijd ) Å"µijd ) + Ãijo) Å"µijd ) + Ã Å"µijo)].
( )( ) ij
2
2
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 1 6. PODSTAWY ENERGETYCZNE 4
( ( ( ( ( (
Wykażemy, że Ãijd ) Å"µijo) = Ãijo) Å"µijd ) = 0 . Obliczymy na przykÅ‚ad Ãijd ) Å"µijo):
1 1 1
1 1 1
( (
Ãijd ) Å"µijo) = (Ãij - Ãkk Å"´ij ) µrr´ij = Ãijµrr´ij - Ã Å"µrr Å"´ij Å"´ij = Ã µrr - Ã µrr Å"3 = 0.
kk ii kk
3 3 3
9 3 9
( (
Analogicznie wykazuje siÄ™, żeÃijo) Å"µijd ) = 0 . Wobec powyższego możemy napisać:
1 1
(o) ( (d ) ( (o) (d )
W = Ã Å"µijo) + Ã Å"µijd ) = W +W . (6.10)
ij ij
2 2
Wykazaliśmy zatem, że energia W składa się z dwóch części: energii aksjatorów i energii dewiatorów, a
energie mieszane  aksjatorowo-dewiatorowe są równe zeru. Energia sprężysta właściwa jest funkcją
skÅ‚adowych tensora naprężenia Ãij i tensora odksztaÅ‚cenia µij . KorzystajÄ…c ze zwiÄ…zków fizycznych
(5.12) i (5.13) można jÄ… wyrazić albo tylko przez naprężenia (WÃ) albo tylko przez odksztaÅ‚cenia (Wµ).
(o) (d)
Obliczmy teraz W i W jako funkcje składowych stanu naprężenia. Energia aksjatorów
1 1 1- 2v
(o) (o) ( ( (
W = Ã Å"µijo) = Ãijo) Å" Å"Ãijo) =
ij
2 2 E
1- 2½ Ã Ã 1- 2½ 1- 2½ 1- 2½
kk rr
= Å" ´ij Å" ´ij = Ã Ã ´ii = (Ã )2 Å"3 = (Ã )2.
kk rr kk kk
2E 3 3 18E 18E 6E
Po rozwiniÄ™ciu wyrażenia Ãkk
1- 2½
(
WÃo) = (Ã11 + Ã22 + Ã33)2 . (6.11)
6E
Ponieważ pierwszy niezmiennik tensora naprężenia I1 = Ãrr = Ã11 + Ã22 + Ã33 , wzór (6.11) można
zapisać następująco:
1- 2½ 1
( 2 2
WÃo) = Å" I1Ã = Å" I1Ã . (6.11a)
6E 18K
Gęstość energii dewiatorów wynosi:
1 1 1 1
( ( ( ( ( ( (
(a) WÃd ) = Ãijd ) Å"µijd ) = Ãijd ) Å" Ãijd ) = Ãijd )Ãijd )
2 2 2G 4G
Stosownie do równania (1.20)2 drugi niezmiennik dewiatora naprężenia wyraża się następująco:
1 1
(d (d (d ) ( ( ( ( (d
(b) I2Ã) = Ãrr )Ã - Ãijd )Ãijd ) = - Ãijd )Ãijd ), bo Ãrr ) = 0.
( pp )
2 2
Po porównaniu wzorów (a) i (b) gęstość energii dewiatorów można przedstawić jako funkcję drugiego
niezmiennika dewiatora naprężenia:
1
( (d
WÃd ) =- I2Ã). (6.12)
2G
Doprowadzimy teraz wzór(6.12) do postaci bardziej przydatnej w obliczeniach.
( ( (
- 2I2d ) = Ãijd )Ãijd ) = (Ãij - Ã0´ij )(Ãij - Ã0´ij ) =
Ã
2 2 2
= ÃijÃij - Ã0(Ãij + Ã ) + Ã0´ii = ÃijÃij - 6Ã0 + 3Ã0 =
jj
1 1
2
= ÃijÃij - Ãkk = Ã1 jÃ1 j + Ã2 jÃ2 j + Ã3 jÃ3 j - (Ã11 + Ã22 + Ã33)2 =
3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
= Ã11 + Ã22 + Ã33 + Ã12 + Ã23 + Ã31 + Ã21 + Ã32 + Ã13 =
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 1 6. PODSTAWY ENERGETYCZNE 5
1
2 2 2
= (Ã11 + Ã22 + Ã33 + 2Ã11Ã22 + 2Ã22Ã33 + 2Ã33Ã11) =
3
1
2 2
= (Ã11 - Ã22 )2 + (Ã22 - Ã33)2 + (Ã33 - Ã11)2 + 3Å"(Ã12 + Ã21 +
[
3
2 2 2 2
+ Ã23 + Ã32 + Ã13 + Ã31) .
]
Wobec tego
1
2 2 2 2 2 2
WÃ(d ) = [(Ã11 -Ã )2 + (Ã -Ã )2 + (Ã -Ã11)2 + 3Å"(Ã12 +Ã +Ã +Ã +Ã13 +Ã )]. (6.12a)
22 22 33 33 21 23 32 31
12G
Wzór (6.12a) można uproÅ›cić uwzglÄ™dniajÄ…c, że Ãij = Ãji:
1
2 2 2
WÃ( d ) = [(Ã - Ã )2 + (Ã - Ã )2 + (Ã - Ã )2 + 6(Ã + Ã + Ã )].(6.12b)
11 22 22 33 33 11 12 23 31
12G
Analogiczne wzory można zapisać dla gęstości energii wyrażającej się wyłącznie przez odkształcenia.
Podamy dla przykładu wzór na sumaryczną energię sprężystą właściwą składającą się z energii aksjato-
rów i dewiatorów:
½
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Wµ = GîÅ‚ (µ11 + µ22 + µ33)2 + µ11 + µ22 + µ33 + (µ23 + µ31 + µ12 + µ32 + µ13 + µ21)Å‚Å‚.
ïÅ‚1- 2½ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Najistotniejszą cechą gęstości energii jest to, że przybiera ona zawsze wartości dodatnie (nieujemne).
Wynika to z postaci równań (6.11) i (6.12a), w których energia W jest kwadratową jednorodną funkcją
składowych stanu naprężenia. Dalsza bardzo ważna własność gęstości energii polega na tym, że jest ona
potencjałem dla odkształceń lub naprężeń. Oznacza to, że
"WÃ
= µij (6.13)
"Ãij
lub
"Wµ
= Ãij . (6.14)
"µij
Sprawdzimy przykÅ‚adowo zależnoÅ›ci (6.13) dla współrzÄ™dnych µ22 i µ13:
( (
"WÃ "(WÃo) + WÃd ) )
= =
"Ã22 "Ã22
1- 2½ 1
= 2 (Ã11 + Ã22 + Ã33) +
[2(Ã - Ã33) - 2(Ã11 - Ã22)]=
22
6E 12G
1
= 1- 2½ (Ã11 + Ã22 + Ã33) + 1+ ½ (2Ã22 - Ã11 - Ã33)
( ) ( )
[]=
3E
Ã22 ½
= - (Ã11 + Ã33) = µ22.
E E
(
Do obliczenia pochodnej wzglÄ™dem Ã13 trzeba użyć wzoru na WÃd ) w postaci (6.12)'', która jeszcze
nie uwzględnia symetrii tensora naprężenia:
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 1 6. PODSTAWY ENERGETYCZNE 6
(
"WÃ "WÃd ) 1 Ã13
== Å"3Å"2Ã13 = = µ13.
"Ã13 "Ã13 12G 2G
Dodatnie wartości gęstości energii i własności potencjału obowiązują również w ciałach anizotropowych.
Warto tutaj wspomnieć, że wzory (6.11) i (6.12a), wyrażające gęstość energii sprężystej przez naprę-
żenia, są słuszne tylko dla ciał izotropowych. W odniesieniu do ciał anizotropowych nie da się zapisać
osobno związków fizycznych dla aksjatorów, analogicznych do równań (5.12) i (5.13), gdyż w ogólnym
przypadku anizotropii wszechstronne równomierne ściskanie powoduje oprócz zmian objętościowych
również zmiany postaciowe, natomiast czyste ścinanie powoduje także zmiany objętości.
6.4. ZASADA WZAJEMNOÅšCI
DLA CIAA
LINIOWO-SPR
ŻYSTYCH
Rozważmy pręt liniowo-sprężysty rozciągany siłą P1 (rys. 6.6a). Pod wpływem tej siły pręt ulega
wydÅ‚użeniu ´1. Ponieważ siÅ‚a P1 roÅ›nie od zera do swej wartoÅ›ci koÅ„cowej, wiÄ™c praca wykonana przez
tę siłę
1
(a) L11 = P1´1.
2
Przyłóżmy teraz jeszcze dodatkowo siłę P2 (siła P1 działa nadal). Wówczas praca siły P2
1
(b) L22 = P2´2.
2
a praca siÅ‚y P1 na przemieszczeniu ´2 wywoÅ‚anym przez siÅ‚Ä™ P2
(c) L12 = P1´2.
Nie ma tu mnożnika 1/2, bo siła P1 działa cały czas w swej końcowej wartości. Sumaryczna praca sił P1 i
P2 (rys. 6.6b):
(d) L = L11 + L22 + L12.
Przyjmujemy teraz, że najpierw działa siła P2, a potem siła P1. Odpowiednie prace tych sił są następujące
(por. rys. 6.6c):
1 1
(e) L22 = P2´ , L11 = P1´1, L21 = P2´1,
2
2 2
a praca sumaryczna
(f) L = L22 + L11 + L21.
Jest oczywiste, że prace (d) i (f) są równe. Stąd
L12 = L21. (6.15)
W rozważanym zadaniu
(g) P1´2 - P2´1.
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 1 6. PODSTAWY ENERGETYCZNE 7
Rys. 6.6
Wzór (6.15) w teorii układów Clapeyrona ma bardzo duże znaczenie i wyraża treść twierdzenia
Bettiego czyli twierdzenia o wzajemności:
Praca pierwszego układu sił na przemieszczeniach wywołanych przez drugi układ sił L12 jest równa
pracy drugiego układu sił na przemieszczeniach wywołanych pierwszym układem sił L21.
Twierdzenie to wykazaliśmy na bardzo prostym przykładzie, w którym każdy z układów reprezento-
wał tylko jedną siłę skupioną, a punkt przyłożenia tych sił był ten sam. Analogiczne rozumowanie można
przeprowadzić dla dwóch dowolnych układów sił powierzchniowych i masowych. Jeśli pi2 , Gi2 oznacza-
ją I układ sił wywołujący przemieszczenia ui2 ,natomiast pi2 2 , Gi2 2 oznaczają II układ sił wywołujący prze-
mieszczenia ui2 2 , to wzór (g) przyjmuje postać:
pi2 ui2 2 + ui2 2 = pi2 2 ui2 dS + (6.16)
dS
i i i
+"+"G2 dV +"+"G2 2 u2 dV .
S V S V
Zastosujemy zasadę wzajemności do belek, przedstawionych na rysunku 6.7. Siły P1 i P2 mają charak-
ter bÄ…dz
sił, bądz
momentów skupionych. Ponieważ oba układy są dowolne, więc i punkty przyłożenia sił
P1 i P2 są różne. W obu przypadkach belek, zgodnie z twierdzeniem Bettiego, zachodzi zależność:
(h) P1 "12 = P2 "21 ,
gdzie "ik (i,k = 1,2) oznacza przemieszczenie punktu i w kierunku działania siły P1 wywołane przez siłę
Pk, działającą w punkcie k.
Rys. 6.7
Gdy siły P1 i P2 są równe jedności, to na podstawie (h) otrzymujemy:
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 1 6. PODSTAWY ENERGETYCZNE 8
"12 = "21 (P1 = P2 = 1)
lub ogólnie:
"ik = "ki, (Pi = Pk = 1). (6.17)
Równanie (6.17) przedstawia treść twierdzenia Maxwella. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że zależ-
ność (6.17) zawiera błąd, ponieważ z przypadku b) na rys. 6.7 wynika, że kąt obrotu jest równy ugięciu i
występuje niezgodność wymiarów. Należy jednak pamiętać, że siła P1 i moment P2 są bezwymiarowe.
Wówczas "12 (tzn. ugiÄ™cie punktu 1 wywoÅ‚ane przez moment P2 = 1) ma wymiar [m/(kN·m)] = [1/kN], a
"21 (kąt obrotu punktu 2 wywołany przez siłę P1 = 1) ma również wymiar [1/kN]. Widzimy więc, że
niezgodność wymiarów "12 i "21 jest pozorna, a wzór (6.17) jest poprawny.
Twierdzenie Maxwella, będące szczególnym przypadkiem twierdzenia Bettiego, ma bardzo duże za-
stosowanie zarówno w obliczeniach jak i badaniach doświadczalnych konstrukcji sprężystych.
6.5. TWIERDZENIA ENERGETYCZNE DLA CIAA
SPR
ŻYSTYCH
6.5.1. Zasada minimum energii potencjalnej
Rozważmy ciało sprężyste będące w stanie równowagi statycznej pod działaniem sił masowych i po-
wierzchniowych. Na skutek dziaÅ‚ania tych siÅ‚ w ciele pojawiÅ‚y siÄ™ przemieszczenia ui odksztaÅ‚cenia µij
oraz stowarzyszone z nimi naprężenia Ãij. PowierzchniÄ™ ograniczajÄ…cÄ… ciaÅ‚o S można podzielić na dwie
części Sp i Su. Na powierzchni Sp są dane siły powierzchniowe pidS, a na powierzchni Su są dane prze-
mieszczenia ui , przy czym S = Sp + Su. Przyjmijmy, że przemieszczenia ui doznają przyrostów (wariacji)
´ui, speÅ‚niajÄ…cych warunki ciÄ…gÅ‚oÅ›ci oraz kinematyczne warunki brzegowe (por. rys. 6.8). Zatem ´ui jest
zawsze równe zeru na powierzchni Su , lecz jest dowolne na powierzchni Sp. Wariacje ´ui - jak widać -
spełniają wymagania stawiane przemieszczeniom wirtualnym. Obliczymy pracę sił powierzchniowych i
masowych na wariacjach przemieszczeń:
(a) ´L = pi´udS + ´udV .
ii i
+"+"G
S V
Rys. 6.8
Po zastosowaniu dobrze znanych przekształceń zależność (a) można wyrazić przez pracę naprężeń na
wariacjach odksztaÅ‚ceÅ„: ´µij = (´ui, j + ´u ) / 2 . Otrzymujemy wiÄ™c równanie:
j,i
(b) pi´uidSp + ´uidV = ´µijdV .
i ij
+"+"Ã
+"G
S V V
p
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 1 6. PODSTAWY ENERGETYCZNE 9
Po lewej stronie wystÄ™puje tylko praca siÅ‚ pi.dS na powierzchni Sp, gdyż na powierzchni Su wariacja ´ui =
0. Jeżeli istnieje taka funkcja energii odkształcenia:
W = Wµ = W(µkl), że:
"Wµ
= Ãij , (6.18)
"µij
to prawą stronę równania (b) można zapisać następująco:
"Wµ
(c) ´µijdV = ´ dV .
ij µ
+"Ã ´µijdV = +" +"W
"µij
V V V
Symbol ´ oznacza wariacjÄ™ wzglÄ™dem skÅ‚adowych pola odksztaÅ‚cenia. Po wykorzystaniu zwiÄ…zków geo-
metrycznych funkcję W można wyrazić przez przemieszczenia. Wówczas
(d)
ij u
+"Ã ´µijdV = ´ +"W dV ,
V V
gdzie Wu = W [µij(uk)], a symbol ´ dotyczy skÅ‚adowych pola przemieszczenia.
Lewą stronę równania (b) można również przedstawić w postaci wariacji względem pola przemiesz-
czeń ui, jeżeli siły powierzchniowe i objętościowe są zachowawcze (konserwatywne), czyli wtedy, gdy
praca tych sił zależy tylko od konfiguracji pierwotnej i konfiguracji aktualnej (po odkształceniu), a nie
zależy od drogi, na której nastąpiło przejście z jednej konfiguracji do drugiej. Oznacza to, że
"q "Q
pi =- , Gi =- , (6.19)
"ui "ui
przy czym funkcje q(u1, u2, u3) i Q(u1, u2, u3) są, odpowiednio, potencjałami sił powierzchniowych i
objętościowych. Wówczas
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
(e) pi´uidSp + ´uidV = -´ qdSp +
i
ïÅ‚ śł
+"+"G +" +"QdV śł.
ïÅ‚S p V śł
S V
p
ðÅ‚ ûÅ‚
Po wprowadzeniu zależności (d) i (e) do równania (b) otrzymujemy warunek:
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
´
p u
ïÅ‚ śł
+"qdS ++"(W + Q)dV śł = 0
ïÅ‚S p V śł
ðÅ‚ ûÅ‚
lub
´  (ui ) = 0, (6.20)
gdzie
 =  (ui ) =p u (6.21)
+"qdS + +"(W + Q)dV .
S V
p
Funkcjonał  (ui ) nazywa się energią potencjalną układu.
Najczęściej spotyka się pewien szczególny przypadek obciążeń konserwatywnych, w którym obciąże-
nia pi oraz Gi w ogóle nie zależą od deformacji ciała. Wówczas siły powierzchniowe i masowe nie podle-
gają wariacji i słuszne są zależności:
(f) pi´ui = ´ ( piui ), Gi´ui = ´ (Giui ).
Wobec powyższego znak wariacji można wyłączyć przed całki występujące po lewej stronie równania
(b), czyli
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 1 6. PODSTAWY ENERGETYCZNE 10
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
(g) pi´uidSp + ´uidV = ´ piuidSp + uidV
i i
ïÅ‚ śł
+"+"G +" +"G śł.
ïÅ‚Sp śł
S V V
p
ðÅ‚ ûÅ‚
Po wykorzystaniu tej zależności, wzór na energię potencjalną układu w przypadku, gdy wielkości pi oraz
Gi nie zależą od przemieszczeń, przybiera postać:
 (e) = piuidSp - dV . (6.22)
µ i i
+"WdV - +" +"Gu
V S V
p
Energia potencjalna jest liczbą, której wartość zależy od przyjętego pola przemieszczeń ui(x1, x2, x3).
Z warunku (6.22) wynika, że w stanie równowagi energia potencjalna osiąga ekstremum.
Pozostaje rozstrzygnąć, czy jest to maksimum czy minimum. W tym celu porównamy energię
potencjalnÄ…  dla rzeczywistych wartoÅ›ci przemieszczeÅ„ ui z energiÄ… ´ dla innego ukÅ‚adu
przemieszczeÅ„, ui + ´ui, speÅ‚niajÄ…cego warunek: ´ui = 0 na Su
2
(h) ´  =  '-  = + ´µij ) -W(µij ) - pi´uidSp - ´uidV.
[W(µij ]dV +" i
+"+"G
V S V
p
RozwiniÄ™cie W(µij + ´µij ) w szereg Taylora prowadzi do wyniku:
2
"W 1 " W
W(µij + ´µij ) = W(µij ) + ´µij + ´µij´µkl +...
"µij 2 "µij"µkl
Poprzestając tylko na trzech wyrazach tego szeregu oraz wykorzystując zależność (c) otrzymujemy:
2
1 " W
W(µij + ´µij ) - W(µij ) = Ãij´µij + ´µij´µkl.
2 "µij"µkl
Po podstawieniu powyższego do równania (h) oraz uwzględnieniu równania (b) uzyskujemy następujące
wyrażenie na drugą wariację energii potencjalnej:
2
"Ãij
1 " W 1
2
(i) ´  = ´µij´µkldV = ´µij´µkldV .
+"+"
2 "µij"µkl 2 "µkl
V V
Zwróćmy uwagÄ™ na fakt, że wielkość ("Ãij / "µkl )´µkl jest równa liczbowo przyrostowi naprężeÅ„ wywo-
Å‚anemu przez zmianÄ™ odksztaÅ‚ceÅ„ o ´µkl. Dla podkreÅ›lenia, że skÅ‚adowe Ãij nie podlegajÄ… wariacji, przy-
*
rost ten oznaczamy symbolem ´Ãij . Wobec tego
1
2 *
(j) ´  = ´Ãij´µijdV ,
+"
2
V
gdzie
"Ãij
*
´Ãij = ´µkl.
"µkl
Dla izotropowego ciała liniowo-sprężystego wyrażenie podcałkowe jest energią sprężystą właściwą W po
*
zmianie odksztaÅ‚ceÅ„ i naprężeÅ„ o wartoÅ›ci ´µij oraz ´Ãij :
2 *
´  =
ij
+"W(´Ã ´µij )dV > 0.
V
Energia ta - niezależnie od poziomu rzeczywistych odkształceń i naprężeń - jest zawsze dodatnia. Wo-
bec tego funkcjonał w stanie równowagi osiąga absolutne minimum. Wynika stąd zasada minimum
energii potencjalnej:
Spośród wszystkich pól przemieszczeń spełniających warunki brzegowe na powierzchni Su równowa-
dze odpowiada to pole, które energii potencjalnej nadaje wartość minimalną.
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 1 6. PODSTAWY ENERGETYCZNE 11
Zasada minimum energii potencjalnej obowiązuje również dla materiałów nieliniowo-sprężystych*),
jez
eli tylko całka występująca w równaniu (i) jest większa od zera.
Należy zwrócić uwagę, że istnieją okoliczności, w których druga wariacja energii potencjalnej nie jest
większa od zera. Występują tu dwie możliwości:
*
- gdy iloczyn ´Ãij´µij nie jest dodatnio okreÅ›lony,
- gdy zachodzą zasadnicze zmiany w równaniach równowagi.
Pierwsza możliwość występuje, gdy materiał staje się niestateczny, czyli gdy dodatniemu przyrostowi
odkształcenia towarzyszy ujemny przyrost naprężenia. Rozważymy dla przykładu czyste rozciąganie
*
prÄ™ta o charakterystyce Ã(µ) przedstawione na rys. 6.9. Zauważmy, że znak iloczynu ´Ã ´µ odpowiada
2
znakowi moduÅ‚u stycznego Et = dÃ/dµ. Na krzywej OA moduÅ‚ styczny Et > 0, czyli ´  > 0 i obowiÄ…zuje
zasada minimum energii potencjalnej. W opadajÄ…cej części wykresu ÷(µ) , moduÅ‚
2
Et < 0 i energia potencjalna w stanie równowagi (niestatecznej) osiÄ…ga maksimum, bo ´  < 0 . Punkt A
2
jest punktem granicznym, w którym materiaÅ‚ traci stateczność (´  = 0), a funkcja (µ) ma punkt prze-
gięcia.
Rys. 6.9
Druga możliwość może zachodzić w różnych okolicznościach. Najczęściej pojawiają się one wskutek
występowania skończonych deformacji. Równanie równowagi lub naprężeniowe warunki brzegowe zale-
żą wówczas od przemieszczeń ciała, gdyż zawierają one oprócz wielkości statycznych również wielkości
2
kinematyczne. Równowaga ukÅ‚adu odpowiada warunkowi ´  = 0, ale wartość drugiej wariacji ´  nie
zawsze musi być dodatnia.
Ogólnie biorąc, energia potencjalna przyjmuje wartość minimalną wtedy, gdy równowaga układu jest
stateczna. Zasygnalizowane tutaj problemy omówimy bliżej w rozdziale 19., poświęconym stateczności
konstrukcji.
6.5.2. Zasada minimum energii dopełniającej
Rozważmy ciało sprężyste będące w stanie równowagi pod działaniem sił masowych
i powierzchniowych. Na skutek tych siÅ‚ w ciele pojawiÅ‚y siÄ™ naprężenia Ãij, przemieszczenia ui oraz
stowarzyszone z nimi odksztaÅ‚cenia µij.
Naprężenia Ãij speÅ‚niajÄ… równania równowagi wewnÄ™trznej w każdym punkcie objÄ™toÅ›ci ciaÅ‚a Ãij:
(a) Ã + Gi = 0, xk "V ,
ji, j
oraz warunki brzegowe na powierzchni Sp:
(b) Ã n = pi(n) , xk "Sp,
ji j
*)
Postać związków fizycznych określona jest zależnością (6.18) i wynika z postaci funkcji energii W.
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 1 6. PODSTAWY ENERGETYCZNE 12
przy czym k = 1, 2, 3. Przyjmiemy teraz, że rzeczywiste naprężenia Ãij doznajÄ… przyrostów (wariacji)
´Ãij. Ponadto żądamy, aby funkcje Ãij +´Ãij speÅ‚niaÅ‚y równania równowagi i warunki na powierzchni
ciała:
(c) Ã + ´Ã + Gi = 0, xk "V ,
ji, j ji, j
(d) (Ã + ´Ã )n = pi(n) , xk "Sp.
ji ji j
Po odjęciu równania (a) od równania (c) oraz równania (b) od równania (d) otrzymujemy:
(e) ´Ã = 0, xk "V ,
ji, j
(f) ´Ã nj = 0, xk "Sp.
ji
(n)
Przyrosty wektora gÄ™stoÅ›ci siÅ‚ powierzchniowych ´pi na powierzchni Su sÄ… dowolne i wynoszÄ…:
(g) ´pi(n) = ´Ã n , xk "Su.
ji j
Pomnóżmy równanie (e) przez ui i scałkujmy po objętości ciała V:
(h)
ji j i
+"´Ã , udV = 0.
V
Jeżeli wykorzystamy wzór na pochodnÄ… iloczynu, wÅ‚asność symetrii tensora Ãij oraz równania
geometryczne, to możemy napisać:
´Ã ui = ui j -´Ã ui, j = (´Ã ui ),j - ´Ã µ .
(´Ã ),
ji, j ji ji ji ji ji
Otrzymujemy stąd równanie:
(i)
ji j ji ji
+"(´Ã ui ), dV - +"´Ã Å"µ dV = 0.
V V
Pierwszą z powyższych całek za pomocą wzoru Greena-Ostrogradskiego-Gaussa można zapisać następu-
jÄ…co:
ji j ji j
+"(´Ã ui ), dV = +"(´Ã ui )n dSu.
V Su
Ponieważ stosownie do wzorów (f) i (g):
´pi na Su,
Å„Å‚
´Ã n =
òÅ‚0 na Sp,
ji j
ół
więc
(j)
ji j i
+"(´Ã ui ), dV = +"´p uidSu.
V Su
Po podstawieniu zależności (j) do równania (i) otrzymujemy:
(k)
i ji
+"´p uidSu -+"´Ã Å"µijdV = 0.
Su V
Jeżeli istnieje funkcja W = W(Ãij) = WÃ taka, że:
"WÃ
= µij , (6.23)
"Ãij
to
"WÃ
(l) ´ÃijdV = ´ dV .
ij Ã
+"´Ã µijdV = +" +"W
"Ãij
V V V
Równanie (k) możemy zatem zapisać w postaci warunku:
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 1 6. PODSTAWY ENERGETYCZNE 13
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
´ dV - pudSu śł = 0
à i i
+"W +"
ïÅ‚ śł
ïÅ‚V Su śł
ðÅ‚ ûÅ‚
*
lub ´  (Ãij ) = 0 , (6.24)
gdzie symbol ´ oznacza wariacjÄ™ wzglÄ™dem pola naprężeÅ„, a
*
 (s) = dV - pudSu . (6.25)
à i i
+"W +"
V Su
"
FunkcjonaÅ‚  (Ãij) nazywa siÄ™ energiÄ… dopeÅ‚niajÄ…cÄ… (komplementarnÄ…) ukÅ‚adu. Energia dopeÅ‚niajÄ…ca
*
 jest liczbÄ…, której wartość zależy od przyjÄ™tego pola naprężeÅ„ Ãij(x1, x2, x3). Z warunku (6.24) wyni-
*
ka, że prawdziwe jest to pole naprężeÅ„, które nadaje energii dopeÅ‚niajÄ…cej  (Ãij) wartość ekstremalnÄ….
Podobnie jak dla energii potencjalnej wykazuje się, że wartość ta jest minimalna. Wynika stąd zasada
minimum energii dopełniającej:
Spośród wszystkich pól naprężeń, spełniających równania różniczkowe równowagi wewnętrznej i wa-
runki brzegowe na powierzchni Sp kinematycznej zgodności odpowiada to pole, które energii dopełniają-
cej nadaje wartość minimalną.
Zasada minimum energii dopełniającej obowiązuje również dla ciał sprężystych
o nieliniowej zależności między naprężeniami i odkształceniami. Musi jednak istnieć dodatnio określona
funkcja Wà , bÄ™dÄ…ca potencjaÅ‚em dla odksztaÅ‚ceÅ„. Konkretna postać fizyczna, okreÅ›lona zależnoÅ›ciÄ…
(6.23), zależy od postaci energii WÃ .
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater