R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
4. nodarb%2łba
Nodarb%2łbas saturs: Noteikt integr<a defin%2łcija. Noteikt integr<a
%2łpaa%2łbas. Ektona-Leibnica formula. Substitkcijas metode un parcil
integraana noteiktajam integrlim.
4.1. L%2łkl%2łniju trapeces laukuma apr7inaana
Defin%2łcija. Par l%2łkl%2łniju trapeci sauc plaknes figkru, kuru ierobe~o tr%2łs taisnes, divas no
kurm ir perpendikulras treaajai, un l%2łka l%2łnija.
L%2łkl%2łniju trapeces vienas vai abu snu malu garumi var bkt viendi ar nulli.
L%2łkl%2łniju trapeces piemri pard%2łti 1. z%2łmjum.
1. z%2łm.
Apr7insim l%2łkl%2łniju trapeces laukumu. Vispirms izvlsimies koordintu
sistmu. To izvietosim t, lai l%2łkl%2łniju trapeces apakaj mala atrastos uz Ox ass un visa
figkra atrastos pirmaj kvadrant (2. z%2łm.).
y
y = f (x)
O a x1 x2 xi-1 ti xi b x
2. z%2łm.
4. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Tad l%2łkl%2łniju trapeci no augaas ierobe~o l%2łnija y = f (x), no apakaas taisne y = 0 , no
sniem taisnes x = a un x = b . Intervlu [a; b] ar punktiem x1, x2, & , xn patva<%2łg
veid sadal%2łsim n gabalos. Mintos punktus Femsim t, lai
a = x0 < x1 < x2 < K < xn = b .
Caur aiem punktiem novilksim taisnes, parallas Oy asij. Ar a%2łm taisnm l%2łkl%2łniju trapeci
sadal%2łjm n plaknes apgabalos. `o apgabalu laukumus apz%2łmsim atbilstoai ar S1, S2, & ,
Sn . Tad l%2łkl%2łniju trapeces laukums
n
S = S1 + S2 + K + Sn = .
"Si
i=1
Apskat%2łsim i-to figkru, kuru ierobe~o l%2łnijas y = f (x), y = 0 , x = xi-1 un x = xi
(iesv%2łtrot figkra 2. z%2łmjum). `%2łs figkras laukumu aptuveni varam apr7int k
taisnstkra laukumu. `%2ł taisnstkra platums ir "xi = xi - xi-1 . Lai noteiktu taisnstkra
augstumu, no intervla [xi-1, xi ] izvlsimies patva<%2łgu punktu ti un apr7insim
funkcijas vrt%2łbu aaj punkt f (ti ). `o vrt%2łbu varam uzskat%2łt par taisnstkra augstumu.
Tad i-ts figkras laukums Si H" f (ti )"xi un l%2łkl%2łniju trapeces laukums
"
S H" f (ti )"xi .
"
i=1
Jo s%2łkk sadal%2łsim da<s intervlu [a; b], jo prec%2łzk dabksim rezulttu. Prec%2łzu laukumu
dabksim, ja intervla [a; b] sadal%2łjums da<s bks tik s%2łks, ka maksimlais attlums starp
jebkuriem diviem blakus esoaiem punktiem xi-1 un xi tieksies uz nulli, t.i,
"
S = lim f (ti )"xi ,
"
0
i=1
kur = max "xi .
1d"id"n
Tikko aplkkotais uzdevums faktiski ar%2ł defin noteikto integrli.
4.2. Noteikt integr<a defin%2łcija
PieFemsim, ka intervl [a,b] ir definta neprtraukta funkcija y = f (x).
Intervlu [a,b] sadal%2łsim n da<s ar punktiem a = x0 < x1 < x2 < K < xn = b . Katr no
intervliem [xi-1, xi ] patva<%2łgi izvlsimies punktu ti un apr7insim funkcijas vrt%2łbu
aaj punkt f (ti ). Apr7insim "xi = xi - xi-1 un sastd%2łsim summu
4. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
n
= f (ti )"xi . (1)
"
i=1
`o summu sauc par funkcijas f (x) integrlsummu intervl [a,b].
Defin%2łcija. Ja eksist integrlsummas (1) robe~a, kad maksimlais no "xi tiecas uz nulli,
un a%2ł robe~a nav atkar%2łga ne no intervla [a,b] sadal%2łaanas da<s, ne ar%2ł no punktu ti
izvles, tad ao robe~u sauc par funkcijas f (x) noteikto integrli intervl [a,b] un
apz%2łm ar simbolu
b
f (x)dx .
+"
a
Ttad pc defin%2łcijas
b
n
f (x)dx = lim f (ti )"xi ,
"
+"
"x0
i=1
a
kur "x = max("xi ).
1d"id"n
Noteiktaj integrl%2ł x sauc par integraanas main%2łgo; f (x) - par zemintegr<a funkciju;
f (x)dx - par zemintegr<a izteiksmi; a par integraanas apakajo robe~u; b par
integraanas augajo robe~o.
Defin%2łcija. Ja funkcijai dotaj intervl eksist noteiktais integrlis, tad to sauc par
integrjamu aaj intervl.
Uz jautjumu, kdas funkcijas ir integrjamas, atbildi sniedz sekojoa teorma.
Teorma. Ja intervl [a,b] funkcija f (x) ir neprtraukta vai gabaliem neprtraukta (t.i.
tai ir gal%2łgs skaits pirm veida prtraukuma punktu), tad aaj intervl funkcija f (x) ir
integrjama.
4.3. Noteikt integr<a %2łpaa%2łbas
1. Noteiktais integrlis no divu funkciju summas (vai starp%2łbas) ir viends ar ao funkciju
integr<u summu (vai starp%2łbu):
b b b
f1(x)dx ą f2(x)dx .
+"( f1(x)ą f2(x))dx = +" +"
a a a
2. Konstantu reizintju dr%2łkst iznest pirms integr<a z%2łmes:
b b
f (x)dx.
+"cf (x)dx = c+"
a a
4. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
3. Mainot vietm integraanas robe~as, mains integr<a z%2łme:
b a
f (x)dx = - f (x)dx.
+" +"
a b
4. Ja integraanas robe~as sakr%2łt, integrlis ir viends ar nulli:
a
f (x)dx = 0.
+"
a
5. Eemot punktu c "(a,b), noteikto integrli var sadal%2łt divu integr<u summ:
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.
+" +" +"
a a c
Formula ir spk ar%2ł tad, ja c "(a,b).
6. Ja visiem x "[a,b] izpilds neviend%2łba f (x) e" 0 , tad
b
f (x)dx e" 0.
+"
a
(L%2łdz%2łga %2łpaa%2łba ir spk ar%2ł pie f (x) d" 0 ).
7. Ja f (x) = 1, tad
b b
f (x)dx = = b - a.
+" +"dx
a a
8. Ja visiem x "[a,b] ir spk neviend%2łba f1(x) d" f2(x), tad
b b
f1(x)dx d" f2(x)dx.
+" +"
a a
9. Ja visiem x "[a,b] ir spk neviend%2łbas m d" f (x) d" M , tad
b
m(b - a) d" f (x)dx d" M (b - a).
+"
a
10. Vidjs vrt%2łbas teorma. Ja funkcija f (x) intervl [a,b] ir neprtraukta, tad
eksist tds punkts c "[a,b], ka
b
f (x)dx = f (c)(b - a).
+"
a
4. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
b
1
Vrt%2łbu f (c) = f (x)dx sauc par funkcijas f (x) vidjo vrt%2łbu intervl [a,b].
+"
b - a
a
"eometriski vidjs vrt%2łbas teorma noz%2łm, ka eksist tds taisnstkris, kura pamats
sakr%2łt ar l%2łkl%2łniju trapeces taisno pamatu, augstums ir viends ar l%2łknes y = f (x)
ordintu punkt c un kura laukums ir viends ar a%2łs l%2łkl%2łniju trapeces laukumu.
4.4. Noteikt integr<a apr7inaana. Ektona-Leibnica formula
x
Aplkkosim noteikto integrli I(x) = f (t)dt ar main%2łgu augajo robe~u.
+"
a
Atrad%2łsim funkcijas I(x) atvasinjumu. Pc atvasinjuma defin%2łcijas
x+"x x
f (t)dt - f (t)dt
+" +"
"I(x) I(x +"x)- I(x)
a a
2
I (x)= lim = lim = lim =[izmantosim 5.%2łpaa%2łbu]=
"x0 "x "x0 "x "x0 "x
x x+"x x x+"x
f (t)dt + f (t)dt - f (t)dt f (t)dt
+" +" +" +"
a x a x
= lim =[pc vidjs vrt%2łbas teormas
= lim
"x0 "x "x0 "x
x+"x
eksist tds punkts c "[x, x + "x], ka f (t)dt = f (c)(x + "x - x) = f (c)"x] =
+"
x
f (c)"x
= lim = lim f (c) = [t k "x 0 un c "[x, x + "x], varam secint, ka
"x0 "x0
"x
c x ]= lim f (c) = f (x).
cx
2
Ttad I (x) = f (x) jeb funkcija I(x) ir funkcijas f (x) primit%2łv funkcija. K zinms,
dots funkcijas primit%2łvs funkcijas sav starp var ata7irties tikai par konstanti. Tas
noz%2łm, ka eksist tda konstante C, ka I(x) = F(x)+ C , kur F(x) ir funkcijas f (x)
primit%2łv funkcija. Ttad
x
f (t)dt = F(x)+ C .
+"
a
Iepriekaj formul ievietosim x = a , tad iegksim
4. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
a
f (t)dt = F(a)+ C .
+"
a
a
Pc noteikt integr<a 4. %2łpaa%2łbas f (t)dt = 0 , ttad
+"
a
0 = F(a)+ C ! C = -F(a)
un
x
f (t)dt = F(x)- F(a).
+"
a
Pdj formul Femot x = b , iegksim noteikt integr<a apr7inaanas formulu:
b
f (t)dt = F(b)- F(a).
+"
a
Esam ieguvuai integrlr7inu pamatteormu.
Integrlr7inu pamatteorma. Ja funkcija f (x) ir integrjama intervl [a,b] un F(x)
ir funkcijas f (x) primit%2łv funkcija, tad ir spk sakar%2łba
b
f (x)dx = F(b)- F(a),
+"
a
kuru sauc par Ektona-Leibnica formulu.
Ektona-Leibnica formula izsaka sakar%2łbu starp noteikto un nenoteikto integrli. Lai
apr7intu noteikto integrli pc Ektona-Leibnica formulas:
1) tas ir jnointegr k nenoteiktais integrlis;
2) japr7ina iegkts funkcijas vrt%2łbas punktos a un b;
3) no funkcijas vrt%2łbas punkt b jatFem funkcijas vrt%2łba punkt a.
Apr7inot noteikto integrli, lieto adu pierakstu:
b
b
f (x)dx = F(x) = F(b)- F(a).
+"
a
a
Piemri:
3
3 3
(x - 2)3 (3 - 2)3 (1- 2)3 1 1 2
# ś#
1) - 2)2 dx = - 2)2 d(x - 2) = = - = - ś# - ź#
= .
+"(x +"(x
3 3 3 3 3 3
# #
1 1
1
`o paau integrli varam nointegrt savdk:
4. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
3
3 3
#
x3 x2 ś# 33
ś#
(x2 - 4x + 4)dx = - 4 " + 4xź# = - 2 " 32 + 4 " 3 -
+"(x - 2)2 dx = +"
ś# ź#
3 2 3
# #
1 1
1
#13 ś#
1 1 2
ś#
- - 2 "12 + 4 "1ź# = 9 -18 +12 - + 2 - 4 = 1- = .
ś# ź#
3 3 3 3
# #
K redzam, rezultts nav atkar%2łgs no integraanas metodes.
1 1 1 1 1
1
(6x - 5)dx 6xdx 5dx 1 d(x2 + 3)- 5+" dx
2) = - = 6 " = 3ln(x2 + 3) -
+" +" +" +"
0
2
x2 + 3 x2 + 3 x2 + 3 x2 + 3 x2 + 3
0 0 0 0 0
1
1 x 5 # 1 0 ś#
- 5 " arctg = 3(ln(12 + 3)- ln(02 + 3))- ś#arctg - arctg ź# = 3(ln 4 - ln 3)-
ś# ź#
3 3 3 3 3
# #
0
5 Ą 4 5Ą
#
- ś# - 0ś# = 3ln - .
ź#
6 3
3 # # 6 3
4. 5. Parcil integraana noteiktajam integrlim
Atcersimies parcils integraanas formulu nenoteiktajam integrlim:
+"udv = uv - +"vdu .
Atbilstoai noteiktajam integrlim parcils integraanas formula ir
b b
b
+"udv = uv - +"vdu .
a
a a
Piemrs:
2Ą u = x du = dx 2Ą 2Ą
Ą# ń#
x 1
ó# Ą#
xsin 5xdx = 1 = - cos5x +
+" +"cos5xdx =
5 5
ó#dv = sin 5xdx v = - cos5xĄ#
0
0 0
Ł# 5 Ś#
2Ą 2Ą
2Ą 0 1 1 2Ą 1
= - cos10Ą + " cos 0 + "
+"cos5xd(5x) = - "1+ 0 + 25 sin 5x =
5 5 5 5 5
0
0
2Ą 1 2Ą 1 2Ą
= - + (sin10Ą - sin 0) = - + (0 - 0) = - .
5 25 5 25 5
4. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
4.6. Substitkcijas metode noteiktajam integrlim
b
PieFemsim, ka japr7ina noteiktais integrlis f (x)dx , pie kam atbilstoao
+"
a
nenoteikto integrli f (x)dx atrod, pielietojot substitkciju g(x) = t . Analo#iski k
+"
2
nenoteiktajam integrlim no sakar%2łbas g(x) = t izsaka x = (t) un nosaka dx = (t)dt .
Ata7ir%2łba no nenoteikt integr<a apr7inaanas ir t, ka, prejot uz jauno main%2łgo ir
jmaina integraanas robe~as. Apr7inm t1 = g(a), t2 = g(b). Tad
b g(b)
2
f (x)dx = f ((t))" (t)dt .
+" +"
a g(a)
Kad iegktais integrlis ir nointegrts, nav jpriet uz skotnjo main%2łgo x, bet japr7ina
skaitliskais rezultts, izmantojot jauns integraanas robe~as.
Piemrs:
Ą#3 x + 4 = t, x = t3 4, dx = 3t 2dtń# 2
-
4 2
2
ó# Ą# - 4)" 3t dt
xdx (t3
4
3
= x = -3 ! t = - 3 + 4 = 1 = = 3 (t - 4t)dt =
ó# Ą#
+" +" +"
3
t
x + 4
3
ó# Ą#
-3 1 1
x = 4 ! t = 4 + 4 = 2
Ł# Ś#
2
2
# ś# # ś# #15 ś#
t5 t 25 32 1 31 1 3
ź#
= 3ś# - 4 " = 3ś# - 2 " 22 ź# - 3ś# - 2 "12 ź# = 3# - 8 - + 2ś# = 3# - 6ś# = 3" =
ś# ź# ś# ź#
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
5 2 5 5 5 5 5 5 5
# # # #
# # # # # #
1
4. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
Wyszukiwarka