WYKA
AD 4
OGRANICZENIA RÓWNOŚCIOWE
W URZ
DZENIACH ELEKTRYCZNYCH
Wstęp
Ograniczenia równościowe występujące w procedurze optymalizacyjnej wynikają
z zastosowania wybranych fizykalnych praw teorii elektromagnetyzmu do konkretnych typów
urządzeń. Zastosowania te mogą być różne w zależności od obiektu, jednak można znalez
ć
pewne typowe przykłady wynikające z topologii budowy obszernej klasy urządzeń. Oprócz
wymienionych relacji wiążących wielkości związane z badanym obiektem i opisujące dane
prawo, należy także wymienić tu czysto geometryczne zależności wynikające z kształtu
urzÄ…dzenia.
Prawo Faraday a w płasko-równoległych rdzeniach magnetycznych.
Okazuje się, że w praktycznie wszystkich urządzeniach wyposażonych
w zblachowany rdzeń wykonany z blach elektrotechnicznych można przyjąć identyczny
rozkład indukcji w każdej blasze, co także oznacza, że składowa indukcji w kierunku
prostopadłym do powierzchni blachy jest pomijalnie mała. Strumień magnetyczny w
przekroju rdzenia wyniesie więc
d
Åš = B Å" dS = L B( x ) dx
+"+" +"
S 0
gdzie d  wymiar w płaszczyz
nie blachy,
L  wymiar prostopadły do płaszczyzny blachy.
a siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu o powierzchni cewki równej S jest równa
d
îÅ‚ Å‚Å‚
d¨ ( t ) d
-e( t ) = N = NL (B( d ,t ) - B( 0,t ))dx +
ïÅ‚
+"B( x,t ) dxśł
d t dt dt
ïÅ‚ śł
0
ðÅ‚ ûÅ‚
Pierwszy składnik jest nazywany SEM rotacji a drugi SEM transformacji. Wyrażenie to jest
wykorzystywane do wzajemnego dopasowywania napięcia fazowego, liczby zwojów
szeregowych i grubości (długości) pakietu blach.. Na rys.30 pokazano przykłady pola płasko-
równoległego w silniku indukcyjnym i dławiku.
L
a.
L
b.
Rys.30. Przykładowe pola płasko-równoległe w pakietach blach
a. silnik indukcyjny (bez skosu żłobków),
b. dławik jednofazowy
Wyznaczanie punktu pracy magnesu trwałego za pomocą prawa Ampere a
Rozpatrzmy hipotetyczny rdzeń z dwoma szczelinami  rys.31, w jednej z nich
umieszczony został magnes trwały, zaś w drugiej znajduje się środowisko niemagnetyczne.
Model numeryczny obejmuje ½ obiektu, magnes zaznaczono na rys.31.a., na którym
pokazano linie strumienia magnetycznego na tle modułu indukcji magnetycznej. Na rys.31.b.
przedstawiono rozkład modułu natężenia pola magnetycznego.
l
a. b.
Rys.31. Rozkłady pól magnetycznych w rdzeniu wzbudzanym magnesem trwałym
a. izolinie potencjału wektorowego na tle modułu indukcji,
b. rozkład modułu natężenia pola magnetycznego
Prawo Ampere a w badanym obiekcie jest w postaci
+"H Å" dl = 0
l
a po pominięciu spadków napięć magnetycznych w żelazie przekształca się do
H ´ = - HPM "
gdzie ´ - grubość szczeliny niemagnetycznej,
" - grubość magnesu,
H, HPM  natężenie pola magnetycznego odpowiednio w szczelinie oraz magnesie
trwałym.
Na podstawie charakterystyki odmagnesowania przedstawionej na rys.32. można napisać
B HC + HPM
=
BR HC
We wzorze tym HPM jest liczbÄ… ujemnÄ….
B
BR
B
HPM
H
0
- HC
Rys.32. Ustalenie punktu pracy magnesu trwałego
W obszarze niemagnetycznym zachodzi
B = µ0 H
A
ącząc powyższe zależności otrzymuje się
BR ´
(HC + HPM ) = - HPM "
HC µ0
BR ´
µ0 ´
HPM = - = - HC
µPM µ0
´ + " ´ + "
µ0 µPM
Biorąc pod uwagę, że przenikalność magnetyczna magnesów
BR
µPM = = µ0 µrPM
HC
otrzymuje siÄ™ ostatecznie
µrPM ´
HPM = - HC
µrPM´ + "
"
B = BR
µrPM´ + "
Dla magnesów NdFeB wartość przenikalności magnetycznej względnej jest bliska jedności
i równa jest µrPM=1.1. Należy pamiÄ™tać, że wynikowe wzory otrzymano przy zaÅ‚ożeniu na
tyle dużego rozmiaru szczeliny, iż zaniedbane być mogą reluktancje ferromagnetyka.
Bezz
ródłowość strumienia magnetycznego.
Warunek bezz
ródłowości strumienia magnetycznego zapisywany różniczkowo
divB = 0
można, po scałkowaniu w pewnej objętości V o powierzchni zewnętrznej S zapisać jako
+"+"+"divBdV = +"+"B Å" dS
V ( S ) S( V )
Jeżeli rozpatrywane pole indukcji B jest płasko równoległe, to zależność daje się sprowadzić
do całki liniowej nieskierowanej po zamkniętym konturze l
n
+"B dl = 0
l
gdzie Bn jest składową normalną zewnętrzną indukcji do konturu l. Przykładowe
zastosowanie tego równanie do tworzenia ograniczenia równościowego przedstawiono na
rys.33.
n
n
l
BPM
Bk=4
a. b.
Rys.33. Przykładowy rozkład linii strumienia magnetycznego w maszynie z magnesami
trwałymi.
Wykorzystując kontur l pokazany na rys.33.b. można napisać
kmax
2
BPM bPM = bz = bz kmax Bśr E" bz kmax Bmax
"Bk
Ä„
k=1
gdzie bPM  szerokość magnesu,
bz  szerokość zęba stojana,
Bmax  amplituda indukcji w zębie stojana.