KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005) Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada Ćwiczenie 8 Zad. 8.1 Wyznaczyć siły wewnętrzne powstałe na skutek wmontowania pręta A-1 dłuższego o "l = 3[cm] . EI = 1400 [kNm2] Rys. 8.1.1 Stopień geometrycznej niewyznaczalności układu ng =1() Schemat geometrycznie wyznaczalny: Rys. 8.1.2 Momenty wyjściowe: 3" EI 3"1400 0 M1B =- " "l =- "0,03 =-14 [kNm] 32 32 Momenty przywęzłowe powstałe na skutek kąta obrotu =1: Rys. 8.1.3 Sumaryczne momenty przywęzłowe: 4 M1A = EI 3 M1B =-14 + EI 2 M = EI A1 3 C16-2005-cw08 64 KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005) Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada Równanie równowagi : ŁM1 = M1A + M1B = 0 76 Stąd: -14 + EI = 0 ! = 3 EI Wartości momentów przywęzłowych: 4 M1A = "6 = 8[kNm] 3 M1B =-14 + 6 =-8 [kNm] 2 M = "6 = 4 [kNm] A1 3 Rozwiązanie: Rys. 8.1.4 C16-2005-cw08 65 KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005) Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada Zad. 8.2 Wyznaczyć siły wewnętrzne powstałe na skutek równomiernego ogrzania jednego z elementów. 1 EI =10000 [kNm2], ąt =10-5 Ą# o ń# ó# Ą# C Ł# Ś# Rys. 8.2.1 Stopień geometrycznej niewyznaczalności układu ng = 1() Wydłużenie termiczne elementu 1-B: "lt = ąt "t0 "l =10-5 " 20"3 = 6"10-4 [m] Schemat geometrycznie wyznaczalny: Rys. 8.2.2 Momenty wyjściowe: 3" EI 3"10000 M10A =- ""lt =- "6"10-4 =-2 [kNm] 32 32 6E "2I 6" 20000 0 0 M1C = MC1 = " "lt = "6"10-4 = 4,5[kNm] 42 16 C16-2005-cw08 66 KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005) Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada Momenty przywęzłowe: 3EI M1A =-2 + =-2 + EI 3 3E " 2I M1B = = 2EI 3 4E " 2I M1C = 4,5 + = 4,5 + 2EI 4 2E " 2I MC1 = 4,5 + = 4,5 + EI 4 Równanie równowagi : ŁM1 = M1A + M1B + M1C = 0 1 Stąd: 2,5 + 5EI = 0 ! = - 2EI Wartości momentów przywęzłowych: M1A =-2 - 0,5 =-2,5 [kNm] M1B =-1[kNm] M1C = 4,5 -1 = 3,5 [kNm] MC1 = 4,5 - 0,5 = 4 [kNm] Rozwiązanie: Rys. 8.2.3 C16-2005-cw08 67 KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005) Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada Zad. 8.3 Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M.(pręty A-1 i 1-C mają jednakowy przekrój) Rys. 8.3.1 Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny. ng = 1() Brak momentów wyjściowych nie ma obciążenia przęsłowego. Wpływ kąta obrotu =1: Rys. 8.3.2 Momenty przywęzłowe pochodzące od kata obrotu =1: 1 M1A = EI M1B = 3EI M1C = EI MC1 = EI 2 Równanie równowagi : Rys. 8.3.3 ŁM1 = -M1A - M1B - M1C + M = 0 lub M1A + M1B + M1C = M Stąd: 7 5EI - 35 = 0 = EI C16-2005-cw08 68 KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005) Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada Inna interpretacja: Dodatkowy element 1-3 obciążony momentem skupionym M , powstaje moment wyjściowy M13 =-M Rys. 8.3.4 Wartości momentów przywęzłowych: M1A = 7[kNm] M1B = 21[kNm] M1C = 7[kNm] MC1 = 3,5 [kNm] Rys. 8.3.5 Rozwiązanie M, T: Rys. 8.3.6 C16-2005-cw08 69 KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005) Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada Siły normalne w elementach A-1 i 1-C: Przyjmujemy że siła N1A jest rozciągająca, zaś siła N1C ściskająca. Rys. 8.3.7 Równanie równowagi: " Py = 0 ! N1A + N1C = 7 (1) N1A "3 N1C " 4 Warunek zgodności przemieszczeń: "l1A = "l1C ! = 3N1A = 4N1C (2) EA EA Z (1) i (2) mamy: N1A = 4 kN [ ] N1C = 3[kN] N1B = 2,625 - 2,333 = 0, 2917 [kN] Rys. 8.3.8 C16-2005-cw08 70 KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005) Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada Zad. 8.4 Sporządzić wykresy sił wewnętrznych Rys. 8.4.1 Układ jest dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalny, przesuwny. ng = 2(,") Schemat geometrycznie wyznaczalny z obciążeniem zewnętrznym: Rys. 8.4.2 Momenty wyjściowe: 3" 42 0 M =- =-4[kNm] A1 12 0 M1A = 4[kNm] Momenty zginające wywołane jednostkowymi wymuszeniami = 1 i "= 1 Rys. 8.4.3 W obliczeniach przyjmujemy EI=1. Momenty przywęzłowe: 3 M =-4 + 0,5 - " A1 8 3 M1A = 4 + - " 8 M1B = Równania równowagi : 3 (1) ŁM1 = M1A + M1B = 0 ! 2 - " + 4 = 0 ! 16 - 3" = -32 (1) 8 (2) Równowaga sił w elemencie 1-B w kierunku przesuwu C16-2005-cw08 71 KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005) Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada Rys. 8.4.4 M + M1A A1 T1A =+ T10 , T10 = 6 A A 4 3 3 T1A = - " + 6 8 16 3 3 ŁPx = 0 ! T1A + 2 = 0 ! - " + 8 = 0 8 16 6 - 3" = -128 (2) Równanie (2) można otrzymać tworząc układ przegubowy (mechanizm) i zadając w nim przemieszczenie wirtualne "=1 Rys. 8.4.5 Równanie równowagi wyciętego elementu 1 B: "P = 0 ! T1A "1+ 2"1 = 0 (T1A - od strony węzła) x M1A + M A1 Po podstawieniu T1A =+ 6 otrzymujemy (2) 4 1 Do tego samego rezultatu można dojść wprowadzając kąt obrotu pręta A-1: A-1 = i zapisując 4 równanie pracy wirtualnej: 1 A-1 "(M1A + M ) + 2"1+ 3" "1" 4 = 0 ! (2) A1 2 Z (1) i (2) ! = 9,6 " = 61,8667 Wartości momentów przywęzłowych: M =-4 + 4,8 - 23, 2 =-22, 4 [kNm] A1 M1A = 4 + 9,6 - 23,2 = -9,6 [kNm] M1B =-9,6 [kNm] Rys. 8.4.6 C16-2005-cw08 72 KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005) Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada Rozwiązanie: Rys. 8.4.7 Zad. 8.5 Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M Rys. 8.5.1 Układ jest trzykrotnie geometrycznie niewyznaczalny. ng = 3(1,2, ") Rys. 8.5.2 Momenty wyjściowe: 12" 4 0 M =- =-6[kNm] A1 8 0 M1A = 6[kNm] Momenty przywęzłowe wywołane stanami: 1 = 1, 2 =1, " = 1: Rys. 8.5.3 C16-2005-cw08 73 KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005) Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada Momenty przywęzłowe: M =-6 + 0,41 - 0,3" A1 M1A = 6 + 0,81 - 0,3" M12 = 21 +2 + 0,75" M21 = 1 + 22 + 0,75" 3 M2B = 0,752 - " 16 Równania równowagi : (1) ŁM1 = M1A + M12 = 0 ! 2,81 +2 + 0,45" = -6 (1) 9 (2) ŁM2 = M21 + M2B = M = 24 ! 1 + 2,752 + " = 24 (2) 16 (3) Tworzymy układ przegubowy i zadajemy przemieszczenie wirtualne "= 1 Rys. 8.5.4 M1A + M A1 T1A =+ 4,8 = 0, 241 - 0,12" + 4,8 5 M12 + M21 T12 == 1 +2 + 0,5" 3 M2B 3 3 T2B = = 2 - " 4 16 64 5 3 Równanie pracy wirtualnej: T1A " -T12 " + T2B "1 = 0 4 4 (zwrot sił od strony węzłów, w przypadku braku obciążenia węzłowego można podstawić siły T od strony elementów) Po podstawieniu otrzymujemy: 9 183 0, 451 + 2 + " = 6 (3) 16 320 Inny wariant: obliczamy kąty obrotu poszczególnych prętów układu przegubowego (mechanizmu) Rys. 8.5.4 C16-2005-cw08 74 KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005) Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada Równanie pracy wirtualnej: 111 (M + M1A) - (M21 + M12) + M2B +12"0,5 = 0 A1 444 1 (M + M1A - M21 - M12 + M2B ) + 6 = 0 A1 4 9 183 0, 451 + 2 + " = 6 (3) 16 320 Po rozwiązaniu układu równań (1), (2), (3) otrzymujemy: 1 =-6,64506, 2 = 9,92489, "= 5,95861 Momenty przywęzłowe: M =-10, 4456 [kNm] A1 M1A =-1,1036 [kNm] M12 = 1,1036 [kNm] M21 =17,6736 [kNm] M2B = 6,3264 [kNm] Rozwiązanie: Rys. 8.3.6 C16-2005-cw08 75