Prof. P. Domański
Poznań, 09.06.2004
Egzamin z analizy funkcjonalnej ANF 311  grupa A
Prosze si¸ koniecznie podpisać. Prosz¸ pisać czytelnie!!!! Przy każdym punkcie
e e
w zadaniach zamkni¸ prosz¸ napisać drukowanymi literami TAK lub NIE
etych e
(uwaga liczba odpowiedzi TAK waha si¸ od 0 do 3). Zadania otwarte prosz¸
e e
rozwiazywać na pozostawionym pod zadaniem miejscu lub na odwrocie. Å»ycz¸
¸ e
Państwu sukcesu.
ZADANIA:
1. 2 punkty Podaj przyklad ciagu niezerowych elementów w c0, który d¸Å¼y do
¸ a
zera w tej przestrzeni z jej zwykla norm¸ Uzasadnij zbieżność do zera.
¸ a.
2. 1 punkt Podaj definicj¸ ciagloÅ›ci (dowolnej) funkcji zdefiniowanej na przes-
e ¸
trzeni metrycznej (X, d) o wartościach rzeczywistych.
1
3. 1 punkt Niech X b¸ przestrzenia Banacha. Wówczas:
edzie ¸
a) istnieje wektor x " X, x = 0, taki, że f(x) = 0 dla każdego f " X ;

b) dla każdego x " X istnieje f " X taki, że f(x) = 0;
c) istnieje f " X taki, że dla każdego x " X zachodzi f(x) = 0.
4. 1 punkt Prosz¸ podać przyklad niezerowego odwzorowania liniowego h :
e
R2 R2,
h(x, y) =
5. 1 punkt Która z poniżej zdefiniowanych funkcji jest norm¸ w R2:
a
a) p(x, y) = |x + y|;
b) p(x, y) = 2|x| + |y|;
c) p(x, y) = |x| - |y|.
6. 1 punkt Odwzorowanie liniowe A : X Y (X, Y przestrzenie Banacha) jest
ciagle. Wówczas zachodzi:
¸
a) dla każdego C > 0, x " X spelniona jest nierówność Ax d" C x ;
b) istnieje x " X i istnieje C > 0 takie, że Ax d" C x ;
c) Ax = cx dla każdego x i pewnego skalara c.
7. 1 punkt Podaj przyklad normy zdefiniowanej na R6 tak aby ta przestrzeń ze
zdefiniowan¸ norm¸ byla przestrzenia Banacha.
a a ¸
2
8. 1 punkt Oblicz odleglość funkcji f, f(x) := x2, od funkcji g, g(x) := x, w
przestrzeni C[0, 1] z jej zwykla norm¸
¸ a.
9. 1 punkt Podaj, o ile istnieje, przyklad ciagu liczb rzeczywistych, który tworzy
¸
zbiór II kategorii  uzasadnij.
10. 3 punkty Niech V b¸ otwartym wieloÅ›cianem wypuklym w R3 nie zaw-
edzie
ieraj¸ punktu (0, 0, 0). Udowodnij, że istnieja liczby rzeczywiste a, b, c takie,
acym ¸
że dla każdego (x, y, z) " V zachodzi:
ax + by + cz > 0.
3
11. 1 punkt Wyposażmy R3 w iloczyn skalarny zdefiniowany wzorem:
(x, y, z), (a, b, c) := x(a - c) + y(b - c) + z(3c - a - b)
i utwórzmy w ten sposób przestrzeÅ„ Hilberta. Który wektor należ¸ do pod-
acy
przestrzeni liniowej
Y := {(x, y, 0) : x, y " R}
jest najbliższy punktowi (1, 1, 1) w zdefiniowanej przestrzeni:
a) (1, 1, 0);
b) (0, 0, 0);
c) (2, 2, 0).
12. 3 punkty Sformuluj i udowodnij zasad¸ jednostajnej ograniczonoÅ›ci.
e
13. 2 punkty Niech x = (xn)n" " c0. Udowodnij, że istnieje f " (c0) , f d"
1, taki, że f(x) = supn" |xn|. Uwaga: wolno korzystać w dowodzie tylko z
tw. Baire a, twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, twierdzenia o domkni¸
etym
wykresie, tw. Hahna-Banacha o rozszerzaniu, zasady jednostajnej ograniczoności,
ogólnej postaci funkcjonalów na c0.
14. 5 punktów Niech (aij) b¸ nieskoÅ„czon¸ macierz¸ trójk¸ a, tj. aij " R
edzie a a atn¸
dla i, j " N oraz aij = 0 dla j > i. Zdefiniujmy operator A mnożenia przez tak¸
a
macierz:
i
Ax := aijxj dla x " l1.
j=0
i"
Udowodnić, że jeśli A(l1) ą" l1, to A : l1 l1 jest ciagly.
¸
4
Prof. P. Domański
Poznań, 09.06.2004
Egzamin z analizy funkcjonalnej ANF 311 - grupa B
Prosze si¸ koniecznie podpisać. Prosz¸ pisać czytelnie!!!! Przy każdym punkcie
e e
w zadaniach zamkni¸ prosz¸ napisać drukowanymi literami TAK lub NIE
etych e
(uwaga liczba odpowiedzi TAK waha si¸ od 0 do 3). Zadania otwarte prosz¸
e e
rozwiazywać na pozostawionym pod zadaniem miejscu lub na odwrocie. Å»ycz¸
¸ e
Państwu sukcesu.
ZADANIA:
1. 2 punkty Niech x = (xn)n" " l1. Udowodnij, że istnieje f " (l1) , f d"
"
1, taki, że f(x) = |xn|. Uwaga: wolno korzystać w dowodzie tylko z
n=0
tw. Baire a, twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, twierdzenia o domkni¸
etym
wykresie, tw. Hahna-Banacha o rozszerzaniu, zasady jednostajnej ograniczoności,
ogólnej postaci funkcjonalów na l1.
2. 1 punkt Podaj, o ile istnieje, przyklad ciagu liczb zespolonych, który tworzy
¸
zbiór II kategorii  uzasadnij.
3. 3 punkty Sformuluj i udowodnij zasad¸ jednostajnej ograniczonoÅ›ci.
e
5
4. 3 punkty Niech W b¸ otwartym wieloÅ›cianem wypuklym w R3 nie zaw-
edzie
ieraj¸ punktu (0, 0, 0). Udowodnij, że istnieja liczby rzeczywiste a, b, c takie,
acym ¸
że dla każdego (x, y, z) " W zachodzi:
ax + by + cz > 0.
5. 1 punkt Wyposażmy R3 w iloczyn skalarny zdefiniowany wzorem:
(x, y, z), (a, b, c) := x(a - c) + y(b - c) + z(3c - a - b)
i utwórzmy w ten sposób przestrzeÅ„ Hilberta. Który wektor należ¸ do pod-
acy
przestrzeni liniowej
Z := {(x, y, 0) : x, y " R}
jest najbliższy punktowi (3, 3, 3) w zdefiniowanej przestrzeni:
a) (5, 4, 0);
b) (3, 3, 0);
c) (0, 0, 0).
6. 1 punkt Prosz¸ podać przyklad niezerowego odwzorowania liniowego p :
e
R2 R2,
p(x, y) =
7. 1 punkt Która z poniżej zdefiniowanych funkcji jest norm¸ w R2:
a
a) p(x, y) = |x + y|;
b) p(x, y) = |x| - |y|;
c) p(x, y) = 2|x| + 3|y|;
6
8. 1 punkt Podaj definicj¸ ciagloÅ›ci (dowolnej) funkcji zdefiniowanej na przes-
e ¸
trzeni metrycznej (X, d) o wartościach rzeczywistych.
9. 1 punkt Odwzorowanie liniowe A : X Y 9X, Y przestrzenie Banacha)
jest ciagle. Wówczas zachodzi:
¸
a) istnieje x " X i istnieje C > 0 takie, że Ax d" C x ;
b) Ax = dx dla każdego x i pewnego skalara d;
c) dla każdego C > 0, x " X spelniona jest nierówność Ax d" C x .
10. 1 punkt Podaj przyklad normy zdefiniowanej na R5 tak aby ta przestrzeń
ze zdefiniowan¸ norm¸ byla przestrzenia Banacha.
a a ¸
11. 1 punkt Niech X b¸ przestrzenia Banacha. Wówczas:
edzie ¸
a) istnieje wektor x " X, x = 0, taki, że f(x) = 0 dla każdego f " X ;

b) istnieje f " X taki, że dla każdego x " X zachodzi f(x) = 0;
c) dla każdego x " X istnieje f " X taki, że f(x) = 0.
7
12. 2 punkty Podaj przyklad ciagu niezerowych elementów w l1, który d¸Å¼y do
¸ a
zera w tej przestrzeni z jej zwykla norm¸ Uzasadnij zbieżność do zera.
¸ a.
13. 1 punkt Oblicz odleglość funkcji h, h(x) := x2, od funkcji g, g(x) := x, w
przestrzeni L1[0, 1] z jej zwykla norm¸
¸ a.
14. 5 punktów Niech (aij) b¸ nieskoÅ„czon¸ macierz¸ trójk¸ a, tj. aij " R
edzie a a atn¸
dla i, j " N oraz aij = 0 dla j > i. Zdefiniujmy operator A mnożenia przez tak¸
a
macierz:
i
Ax := aijxj dla x " l1.
j=0
i"
Udowodnić, że jeśli A(l1) ą" l1, to A : l1 l1 jest ciagly.
¸
8
29.04.2005
Kolokwium z analizy funkcjonalnej ANF 311, grupa A,
Prosimy rozwi¸ każde zadanie na innej podpisanej kartce. Zach¸ do
azywać ecamy
rozwi¸ 4 zadaÅ„ ale można rozwi¸ ich wi¸ - do zaliczenia na pewno
azania azać ecej
wystarcz¸ 3 punkty, do oceny bardzo dobrej 4 zadania za dwa punkty - zadania
a
s¸ za 1 lub dwa punkty
a
Zad.1 (1 pt) Podaj przyk ciagu (xn) w przestrzeni l1 d¸Å¼¸ do zera i
lad ¸ a acego
sk acego si¸ z elementów niezerowych.
ladaj¸ e
Zad.2 (1 pt) Oblicz norm¸ odwzorowania liniowego T : (R2, · ) (R3, · )
e
" 1
T ((x, y)) = (x, x + y, x - y).
Zad.3 (1 pt) Czy nast¸ ace odwzorowanie liniowe jest ciag
epuj¸ ¸ le
"
xn
T : l" R, T (x) = ?
(2n)2
n=0
Zad.4 (1 pt) Czy nast¸ acy zbiór ma niepuste wn¸
epuj¸ etrze
A ‚" l1, A = {x = (xn) : x2005 = 0 } ?
Zad.5 (2 pt) Udowodnij, że odwzorowanie liniowe T : C1[0, 1] C[0, 1] dane
wzorem T (f) = f jest nieciag odwzorowaniem o domkni¸ wykresie, gdzie
¸ lym etym
C1[0, 1] oznacza przestrzeń funkcji różniczkowalnych w sposób ciag i zarówno
¸ ly
C1[0, 1] jak i C[0, 1] wyposażone s¸ w norm¸ supremaln¸ Czy nie przeczy to
a e a.
twierdzeniu o domkni¸ wykresie?
etym
n n
Zad.6 (2 pt) Oblicz norm¸ operatora M: l" l", gdzie
e
ëÅ‚ öÅ‚
1 12 · · · 1n ëÅ‚
x1 öÅ‚
1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
· · ·
ìÅ‚ x2 ÷Å‚
2 22 2n
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
M((x1, . . . , xn)) =
ìÅ‚ ÷Å‚ .
. . .
.
íÅ‚ Å‚Å‚
.
. . . .
íÅ‚ Å‚Å‚
. .
. . .
1 1 1
xn
. . .
n n2 nn
Zad.7 (2 pt) Udowodnij, że zbiór ciagów o prawie wszystkich wyrazach równych
¸
zero jest g¸ w c0.
esty
Zad.8 (2 pt) Udowodnij zupe przestrzeni unormowanej
lność
l"(Z) = {x = (xn)n"Z : x : = sup |xn| < "}
"
n"Z
z norm¸ · , gdzie Z oznacza zbiór liczb ca
a lkowitych.
"
29.04.2005
Kolokwium z analizy funkcjonalnej ANF 311, grupa B,
Prosimy rozwi¸ każde zadanie na innej podpisanej kartce. Zach¸ do
azywać ecamy
rozwi¸ 4 zadaÅ„ ale można rozwi¸ ich wi¸ - do zaliczenia na pewno
azania azać ecej
wystarcz¸ 3 punkty, do oceny bardzo dobrej 4 zadania za dwa punkty - zadania
a
s¸ za 1 lub dwa punkty
a
Zadania
Zad.1 (1 pt) Podaj przyk ciagu (xn) w przestrzeni l2 d¸Å¼¸ do zera i
lad ¸ a acego
sk acego si¸ z elementów niezerowych.
ladaj¸ e
Zad.2 (1 pt) Oblicz norm¸ odwzorowania liniowego T : (R2, · ) (R3, · )
e
" 1
T ((x, y)) = (x - y, x + y, y).
Zad.3 (1 pt) Czy nast¸ ace odwzorowanie liniowe jest ciag
epuj¸ ¸ le
"
xn
T : l" R, T (x) = (-1)n ?
n2
n=0
Zad.4 (1 pt) Czy nast¸ acy zbiór ma niepuste wn¸
epuj¸ etrze
A ‚" c0, A = {x = (xn) : x2n = 0, n " N } ?
Zad.5 (2 pt) Udowodnij zupe przestrzeni unormowanej
lność
l"(Z) = {x = (xn)n"Z : x : = sup |xn| < "}
"
n"Z
z norm¸ · , gdzie Z oznacza zbiór liczb ca
a lkowitych.
"
Zad.6 (2 pt) Udowodnij, że odwzorowanie liniowe T : C1[0, 1] C[0, 1] dane
wzorem T (f) = f jest nieciag odwzorowaniem o domkni¸ wykresie, gdzie
¸ lym etym
C1[0, 1] oznacza przestrzeń funkcji różniczkowalnych w sposób ciag i zarówno
¸ ly
C1[0, 1] jak i C[0, 1] wyposażone s¸ w norm¸ supremaln¸ Czy nie przeczy to
a e a.
twierdzeniu o domkni¸ wykresie?
etym
n n
Zad.7 (2 pt) Oblicz norm¸ operatora M: l" l", gdzie
e
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
x1 öÅ‚
1 12 · · · 1n
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ x2 ÷Å‚
2 22 · · · 2n ÷Å‚ ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
M((x1, . . . , xn)) = . . . .
. .
íÅ‚ . . . . Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
.
.
. . .
.
n n2 . . . nn
xn
Zad.8 (2 pt) Udowodnij, że zbiór ciagów o prawie wszystkich wyrazach równych
¸
zero jest g¸ w l1.
esty
2
Zagadnienia do egzaminu z analizy funkcjonalnej (2007/8)
1. Kryteria ciagłości odwzorowania liniowego w przestrzeniach unormowanych i semiunormowanych.
Norma operatora.
2. Izomorficzność skończenie-wymiarowych przestrzeni wektorowych topologicznych Hausdorffa z prze-
strzenią euklidesową i automatyczna ciągłość odwzorowań liniowych (dowód może być dla norm)
3. Domkniętość podprzestrzeni skończenie wymiarowych, wymiar algebraiczny przestrzeni Banacha.
4. Twierdzenie o funkcjonale Minkowskiego dla zbioru wypukłego, pochłaniającego.
5. WÅ‚asnoÅ›ci normy ilorazowej, definicja Lp(µ) dla 1 p < ".
6. Szeregi w (X, ): rodzaje zbieżności, kryterium  szeregowe zupełności.
7. Twierdzenie o zupełności przestrzeni B(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych.
8. Szereg Carla Neumanna i otwartość zbioru operatorów odwracalnych w algebrze B(X).
.
Przestrzenie Hilberta
9. Nierówność Cauchy ego - Buniakowskiego - Schwarza i zastosowanie do nierówności trójkąta
10. Twierdzenie o rzucie na zbiór wypukły domknięty w przestrzeni Hilberta (istnienie i jednoznaczność)
11. Twierdzenie charakteryzujące rzut przez nierówności dla iloczynów skalarnych (odp. -ortogonalność)
12. Rozkład ortogonalny w przestrzeni Hilberta i własności rzutu ortogonalnego jako operatora
13. Tw. Riesza -Frécheta o postaci funkcjonaÅ‚u
"
14. Definicja i elementarne własności operatora sprzężonego T
15. Nierówność Bessela i tożsamość Parsevala, bazy ortonormalne, układ trygonometryczny.
.
Przestrzenie funkcji całkowalnych, szeregi Fouriera
16. Własności seminormy ilorazowej, wzór na odległość wektora od ker Ć
17. Kryteria ciągłości funkcjonału liniowego.
18. Definicje przestrzeni Lebesgue a Lp(µ) NierównoÅ›ci: Höldera i Minkowskiego.
19. ZupeÅ‚ność Lp(µ).
20. Regularność miar, gÄ™stość funkcji ciÄ…gÅ‚ych w Lp(µ) w przypadku zwykÅ‚ej miary Lebesgue a.
21. Układ trygonometryczny w postaci rzeczywistej i zespolonej, lemat Riemanna - Lebesgue a
22. Sformułowanie 2-3 twierdzeń o sumowaniu szeregu Fouriera, wybrany dow. (poza przyp. 2)
23. Twierdzenie Banacha-Steinhausa, zastosowanie do szeregów Fouriera
.
 Klasyka
24. Twierdzenia Banacha o odwzorowaniu otwartym, o izomorfizmie i o wykresie domkniętym
25. Tw. Hahna-Banacha. Wzór dualny na normę wektora, zanurzenie kanoniczne j : X X
26. Zastosowanie tw. Hahna-Banacha: rozdzielanie zbiorów wypukłych.