Prof. P. Domański Poznań, 09.06.2004 Egzamin z analizy funkcjonalnej ANF 311 grupa A Prosze si� koniecznie podpisać. Prosz� pisać czytelnie!!!! Przy każdym punkcie e e w zadaniach zamkni� prosz� napisać drukowanymi literami TAK lub NIE etych e (uwaga liczba odpowiedzi TAK waha si� od 0 do 3). Zadania otwarte prosz� e e rozwiazywać na pozostawionym pod zadaniem miejscu lub na odwrocie. Życz� � e Państwu sukcesu. ZADANIA: 1. 2 punkty Podaj przyklad ciagu niezerowych elementów w c0, który d�ży do � a zera w tej przestrzeni z jej zwykla norm� Uzasadnij zbieżność do zera. � a. 2. 1 punkt Podaj definicj� ciaglości (dowolnej) funkcji zdefiniowanej na przes- e � trzeni metrycznej (X, d) o wartościach rzeczywistych. 1 3. 1 punkt Niech X b� przestrzenia Banacha. Wówczas: edzie � a) istnieje wektor x " X, x = 0, taki, że f(x) = 0 dla każdego f " X ;
b) dla każdego x " X istnieje f " X taki, że f(x) = 0; c) istnieje f " X taki, że dla każdego x " X zachodzi f(x) = 0. 4. 1 punkt Prosz� podać przyklad niezerowego odwzorowania liniowego h : e R2 R2, h(x, y) = 5. 1 punkt Która z poniżej zdefiniowanych funkcji jest norm� w R2: a a) p(x, y) = |x + y|; b) p(x, y) = 2|x| + |y|; c) p(x, y) = |x| - |y|. 6. 1 punkt Odwzorowanie liniowe A : X Y (X, Y przestrzenie Banacha) jest ciagle. Wówczas zachodzi: � a) dla każdego C > 0, x " X spelniona jest nierówność Ax d" C x ; b) istnieje x " X i istnieje C > 0 takie, że Ax d" C x ; c) Ax = cx dla każdego x i pewnego skalara c. 7. 1 punkt Podaj przyklad normy zdefiniowanej na R6 tak aby ta przestrzeń ze zdefiniowan� norm� byla przestrzenia Banacha. a a � 2 8. 1 punkt Oblicz odleglość funkcji f, f(x) := x2, od funkcji g, g(x) := x, w przestrzeni C[0, 1] z jej zwykla norm� � a. 9. 1 punkt Podaj, o ile istnieje, przyklad ciagu liczb rzeczywistych, który tworzy � zbiór II kategorii uzasadnij. 10. 3 punkty Niech V b� otwartym wielościanem wypuklym w R3 nie zaw- edzie ieraj� punktu (0, 0, 0). Udowodnij, że istnieja liczby rzeczywiste a, b, c takie, acym � że dla każdego (x, y, z) " V zachodzi: ax + by + cz > 0. 3 11. 1 punkt Wyposażmy R3 w iloczyn skalarny zdefiniowany wzorem: (x, y, z), (a, b, c) := x(a - c) + y(b - c) + z(3c - a - b) i utwórzmy w ten sposób przestrzeń Hilberta. Który wektor należ� do pod- acy przestrzeni liniowej Y := {(x, y, 0) : x, y " R} jest najbliższy punktowi (1, 1, 1) w zdefiniowanej przestrzeni: a) (1, 1, 0); b) (0, 0, 0); c) (2, 2, 0). 12. 3 punkty Sformuluj i udowodnij zasad� jednostajnej ograniczoności. e 13. 2 punkty Niech x = (xn)n" " c0. Udowodnij, że istnieje f " (c0) , f d" 1, taki, że f(x) = supn" |xn|. Uwaga: wolno korzystać w dowodzie tylko z tw. Baire a, twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, twierdzenia o domkni� etym wykresie, tw. Hahna-Banacha o rozszerzaniu, zasady jednostajnej ograniczoności, ogólnej postaci funkcjonalów na c0. 14. 5 punktów Niech (aij) b� nieskończon� macierz� trójk� a, tj. aij " R edzie a a atn� dla i, j " N oraz aij = 0 dla j > i. Zdefiniujmy operator A mnożenia przez tak� a macierz: i Ax := aijxj dla x " l1. j=0 i" Udowodnić, że jeśli A(l1) ą" l1, to A : l1 l1 jest ciagly. � 4 Prof. P. Domański Poznań, 09.06.2004 Egzamin z analizy funkcjonalnej ANF 311 - grupa B Prosze si� koniecznie podpisać. Prosz� pisać czytelnie!!!! Przy każdym punkcie e e w zadaniach zamkni� prosz� napisać drukowanymi literami TAK lub NIE etych e (uwaga liczba odpowiedzi TAK waha si� od 0 do 3). Zadania otwarte prosz� e e rozwiazywać na pozostawionym pod zadaniem miejscu lub na odwrocie. Życz� � e Państwu sukcesu. ZADANIA: 1. 2 punkty Niech x = (xn)n" " l1. Udowodnij, że istnieje f " (l1) , f d" " 1, taki, że f(x) = |xn|. Uwaga: wolno korzystać w dowodzie tylko z n=0 tw. Baire a, twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, twierdzenia o domkni� etym wykresie, tw. Hahna-Banacha o rozszerzaniu, zasady jednostajnej ograniczoności, ogólnej postaci funkcjonalów na l1. 2. 1 punkt Podaj, o ile istnieje, przyklad ciagu liczb zespolonych, który tworzy � zbiór II kategorii uzasadnij. 3. 3 punkty Sformuluj i udowodnij zasad� jednostajnej ograniczoności. e 5 4. 3 punkty Niech W b� otwartym wielościanem wypuklym w R3 nie zaw- edzie ieraj� punktu (0, 0, 0). Udowodnij, że istnieja liczby rzeczywiste a, b, c takie, acym � że dla każdego (x, y, z) " W zachodzi: ax + by + cz > 0. 5. 1 punkt Wyposażmy R3 w iloczyn skalarny zdefiniowany wzorem: (x, y, z), (a, b, c) := x(a - c) + y(b - c) + z(3c - a - b) i utwórzmy w ten sposób przestrzeń Hilberta. Który wektor należ� do pod- acy przestrzeni liniowej Z := {(x, y, 0) : x, y " R} jest najbliższy punktowi (3, 3, 3) w zdefiniowanej przestrzeni: a) (5, 4, 0); b) (3, 3, 0); c) (0, 0, 0). 6. 1 punkt Prosz� podać przyklad niezerowego odwzorowania liniowego p : e R2 R2, p(x, y) = 7. 1 punkt Która z poniżej zdefiniowanych funkcji jest norm� w R2: a a) p(x, y) = |x + y|; b) p(x, y) = |x| - |y|; c) p(x, y) = 2|x| + 3|y|; 6 8. 1 punkt Podaj definicj� ciaglości (dowolnej) funkcji zdefiniowanej na przes- e � trzeni metrycznej (X, d) o wartościach rzeczywistych. 9. 1 punkt Odwzorowanie liniowe A : X Y 9X, Y przestrzenie Banacha) jest ciagle. Wówczas zachodzi: � a) istnieje x " X i istnieje C > 0 takie, że Ax d" C x ; b) Ax = dx dla każdego x i pewnego skalara d; c) dla każdego C > 0, x " X spelniona jest nierówność Ax d" C x . 10. 1 punkt Podaj przyklad normy zdefiniowanej na R5 tak aby ta przestrzeń ze zdefiniowan� norm� byla przestrzenia Banacha. a a � 11. 1 punkt Niech X b� przestrzenia Banacha. Wówczas: edzie � a) istnieje wektor x " X, x = 0, taki, że f(x) = 0 dla każdego f " X ;
b) istnieje f " X taki, że dla każdego x " X zachodzi f(x) = 0; c) dla każdego x " X istnieje f " X taki, że f(x) = 0. 7 12. 2 punkty Podaj przyklad ciagu niezerowych elementów w l1, który d�ży do � a zera w tej przestrzeni z jej zwykla norm� Uzasadnij zbieżność do zera. � a. 13. 1 punkt Oblicz odleglość funkcji h, h(x) := x2, od funkcji g, g(x) := x, w przestrzeni L1[0, 1] z jej zwykla norm� � a. 14. 5 punktów Niech (aij) b� nieskończon� macierz� trójk� a, tj. aij " R edzie a a atn� dla i, j " N oraz aij = 0 dla j > i. Zdefiniujmy operator A mnożenia przez tak� a macierz: i Ax := aijxj dla x " l1. j=0 i" Udowodnić, że jeśli A(l1) ą" l1, to A : l1 l1 jest ciagly. � 8 29.04.2005 Kolokwium z analizy funkcjonalnej ANF 311, grupa A, Prosimy rozwi� każde zadanie na innej podpisanej kartce. Zach� do azywać ecamy rozwi� 4 zadań ale można rozwi� ich wi� - do zaliczenia na pewno azania azać ecej wystarcz� 3 punkty, do oceny bardzo dobrej 4 zadania za dwa punkty - zadania a s� za 1 lub dwa punkty a Zad.1 (1 pt) Podaj przyk ciagu (xn) w przestrzeni l1 d�ż� do zera i lad � a acego sk acego si� z elementów niezerowych. ladaj� e Zad.2 (1 pt) Oblicz norm� odwzorowania liniowego T : (R2, � ) (R3, � ) e " 1 T ((x, y)) = (x, x + y, x - y). Zad.3 (1 pt) Czy nast� ace odwzorowanie liniowe jest ciag epuj� � le " xn T : l" R, T (x) = ? (2n)2 n=0 Zad.4 (1 pt) Czy nast� acy zbiór ma niepuste wn� epuj� etrze A �" l1, A = {x = (xn) : x2005 = 0 } ? Zad.5 (2 pt) Udowodnij, że odwzorowanie liniowe T : C1[0, 1] C[0, 1] dane wzorem T (f) = f jest nieciag odwzorowaniem o domkni� wykresie, gdzie � lym etym C1[0, 1] oznacza przestrzeń funkcji różniczkowalnych w sposób ciag i zarówno � ly C1[0, 1] jak i C[0, 1] wyposażone s� w norm� supremaln� Czy nie przeczy to a e a. twierdzeniu o domkni� wykresie? etym n n Zad.6 (2 pt) Oblicz norm� operatora M: l" l", gdzie e �ł �ł 1 12 � � � 1n �ł x1 �ł 1 1 1 �ł �ł � � � �ł x2 �ł 2 22 2n �ł �ł �ł �ł M((x1, . . . , xn)) = �ł �ł . . . . . �ł łł . . . . . �ł łł . . . . . 1 1 1 xn . . . n n2 nn Zad.7 (2 pt) Udowodnij, że zbiór ciagów o prawie wszystkich wyrazach równych � zero jest g� w c0. esty Zad.8 (2 pt) Udowodnij zupe przestrzeni unormowanej lność l"(Z) = {x = (xn)n"Z : x : = sup |xn| < "} " n"Z z norm� � , gdzie Z oznacza zbiór liczb ca a lkowitych. " 29.04.2005 Kolokwium z analizy funkcjonalnej ANF 311, grupa B, Prosimy rozwi� każde zadanie na innej podpisanej kartce. Zach� do azywać ecamy rozwi� 4 zadań ale można rozwi� ich wi� - do zaliczenia na pewno azania azać ecej wystarcz� 3 punkty, do oceny bardzo dobrej 4 zadania za dwa punkty - zadania a s� za 1 lub dwa punkty a Zadania Zad.1 (1 pt) Podaj przyk ciagu (xn) w przestrzeni l2 d�ż� do zera i lad � a acego sk acego si� z elementów niezerowych. ladaj� e Zad.2 (1 pt) Oblicz norm� odwzorowania liniowego T : (R2, � ) (R3, � ) e " 1 T ((x, y)) = (x - y, x + y, y). Zad.3 (1 pt) Czy nast� ace odwzorowanie liniowe jest ciag epuj� � le " xn T : l" R, T (x) = (-1)n ? n2 n=0 Zad.4 (1 pt) Czy nast� acy zbiór ma niepuste wn� epuj� etrze A �" c0, A = {x = (xn) : x2n = 0, n " N } ? Zad.5 (2 pt) Udowodnij zupe przestrzeni unormowanej lność l"(Z) = {x = (xn)n"Z : x : = sup |xn| < "} " n"Z z norm� � , gdzie Z oznacza zbiór liczb ca a lkowitych. " Zad.6 (2 pt) Udowodnij, że odwzorowanie liniowe T : C1[0, 1] C[0, 1] dane wzorem T (f) = f jest nieciag odwzorowaniem o domkni� wykresie, gdzie � lym etym C1[0, 1] oznacza przestrzeń funkcji różniczkowalnych w sposób ciag i zarówno � ly C1[0, 1] jak i C[0, 1] wyposażone s� w norm� supremaln� Czy nie przeczy to a e a. twierdzeniu o domkni� wykresie? etym n n Zad.7 (2 pt) Oblicz norm� operatora M: l" l", gdzie e �ł �ł �ł x1 �ł 1 12 � � � 1n �ł �ł �ł x2 �ł 2 22 � � � 2n �ł �ł �ł �ł M((x1, . . . , xn)) = . . . . . . �ł . . . . łł �ł łł . . . . . . n n2 . . . nn xn Zad.8 (2 pt) Udowodnij, że zbiór ciagów o prawie wszystkich wyrazach równych � zero jest g� w l1. esty 2 Zagadnienia do egzaminu z analizy funkcjonalnej (2007/8) 1. Kryteria ciagłości odwzorowania liniowego w przestrzeniach unormowanych i semiunormowanych. Norma operatora. 2. Izomorficzność skończenie-wymiarowych przestrzeni wektorowych topologicznych Hausdorffa z prze- strzenią euklidesową i automatyczna ciągłość odwzorowań liniowych (dowód może być dla norm) 3. Domkniętość podprzestrzeni skończenie wymiarowych, wymiar algebraiczny przestrzeni Banacha. 4. Twierdzenie o funkcjonale Minkowskiego dla zbioru wypukłego, pochłaniającego. 5. Własności normy ilorazowej, definicja Lp(�) dla 1 p < ". 6. Szeregi w (X, ): rodzaje zbieżności, kryterium szeregowe zupełności. 7. Twierdzenie o zupełności przestrzeni B(X, Y ) operatorów liniowych ciągłych. 8. Szereg Carla Neumanna i otwartość zbioru operatorów odwracalnych w algebrze B(X). . Przestrzenie Hilberta 9. Nierówność Cauchy ego - Buniakowskiego - Schwarza i zastosowanie do nierówności trójkąta 10. Twierdzenie o rzucie na zbiór wypukły domknięty w przestrzeni Hilberta (istnienie i jednoznaczność) 11. Twierdzenie charakteryzujące rzut przez nierówności dla iloczynów skalarnych (odp. -ortogonalność) 12. Rozkład ortogonalny w przestrzeni Hilberta i własności rzutu ortogonalnego jako operatora 13. Tw. Riesza -Fr�cheta o postaci funkcjonału " 14. Definicja i elementarne własności operatora sprzężonego T 15. Nierówność Bessela i tożsamość Parsevala, bazy ortonormalne, układ trygonometryczny. . Przestrzenie funkcji całkowalnych, szeregi Fouriera 16. Własności seminormy ilorazowej, wzór na odległość wektora od ker Ć 17. Kryteria ciągłości funkcjonału liniowego. 18. Definicje przestrzeni Lebesgue a Lp(�) Nierówności: H�ldera i Minkowskiego. 19. Zupełność Lp(�). 20. Regularność miar, gęstość funkcji ciągłych w Lp(�) w przypadku zwykłej miary Lebesgue a. 21. Układ trygonometryczny w postaci rzeczywistej i zespolonej, lemat Riemanna - Lebesgue a 22. Sformułowanie 2-3 twierdzeń o sumowaniu szeregu Fouriera, wybrany dow. (poza przyp. 2) 23. Twierdzenie Banacha-Steinhausa, zastosowanie do szeregów Fouriera . Klasyka 24. Twierdzenia Banacha o odwzorowaniu otwartym, o izomorfizmie i o wykresie domkniętym 25. Tw. Hahna-Banacha. Wzór dualny na normę wektora, zanurzenie kanoniczne j : X X 26. Zastosowanie tw. Hahna-Banacha: rozdzielanie zbiorów wypukłych.