Przykładowy zestaw tematów egzaminacyjnych z Mat_II
1. a) Sformułować twierdzenie o całkowaniu przez części dla całki nieoznaczonej lub
b) Podać definicjÄ™ caÅ‚ki niewÅ‚aÅ›ciwej dla funkcji f : (-ðÄ„ð,b] ®ð R .
2. Podać definicjÄ™ pochodnej czÄ…stkowej funkcji f : R2 Éð D ®ð R ( D -zbiór otwarty) w
punkcie P0 (x0 , y0 )Îð D wzglÄ™dem zmiennej x lub
b) Podać definicję zagadnienia początkowego (zagadnienia Cauchy ego) dla równania
różnicowego liniowego niejednorodnego pierwszego rzędu.
3. Obliczyć całki nieoznaczone:
a) x2 cos x dx , lub a ) x dx
òð òðln
dx 2 dx
b) lub b ) .
òð òð
2 x2 -ð x +ð1
3 -ð 2x -ð x2
4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji y =ð f (x) i osiÄ… Ox dla funkcji
2
2x dx
f (x) =ð arctg x i x Îð[-ð1,1] lub obliczyć caÅ‚kÄ™ .
òð
3
(x2 -ð 4)2
0
5a) Korzystając z własności różniczki zupełnej funkcji dwóch zmiennych obliczyć
przybliżonÄ… wartość wyrażenia (6,01)2 +ð (7,99)2 lub wyznaczyć ekstrema lokalne
funkcji g(x) =ð x2 +ð 3 x y +ð 4 y2 -ð 3 x -ð y +ð1 lub etc& .
2
5b) Zbadać, czy podana funkcja użytecznoÅ›ci u : R+ð ®ð R speÅ‚nia prawo Gossena:
u(x, y) =ð x +ð 33 y lub obliczyć kraÅ„cowÄ… wydajność pracy dla funkcji produkcji danej
wzorem f (k, z) =ð (3 k +ð 33 z )3 gdzie k to ilość kapitaÅ‚u a z to ilość pracy lub obliczyć
elastyczność & , etc& .
-ð 2x
6. RozwiÄ…zać równanie różniczkowe y'=ð lub rozwiÄ…zać zagadnienie poczÄ…tkowe
y
y'-ð3y =ð x2ex , y(0) =ð 1.
7. RozwiÄ…zać zagadnienie Cauchy ego dla równania różnicowego yn+ð1 -ð 4yn =ð n2 4n i
y1 =ð 1.
Przykładowe tematy teoretyczne na egzamin z Mat_II
1. Podać definicjÄ™ funkcji pierwotnej i caÅ‚ki nieoznaczonej dla funkcji f : (a,b) ®ð R .
2. Sformułować twierdzenie o całkowaniu przez części dla całki nieoznaczonej.
3. Sformułować twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie dla całki nieoznaczonej.
4. Podać definicjÄ™ caÅ‚ki oznaczonej dla funkcji f :[a,b] ®ð R .
5. Podać interpretację geometryczną całki oznaczonej.
6. Sformułować twierdzenie Newtona-Leibniza (podstawowe tw. rachunku całkowego).
7. Podać definicjÄ™ caÅ‚ki niewÅ‚aÅ›ciwej dla funkcji f : (-ðÄ„ð,b] ®ð R .
8. Podać definicjÄ™ caÅ‚ki niewÅ‚aÅ›ciwej dla funkcji f :[a,+ðÄ„ð) ®ð R .
9. Podać definicjÄ™ caÅ‚ki niewÅ‚aÅ›ciwej dla funkcji f : (a,b] ®ð R takiej, że
lim f (x) =ð +ðÄ„ð .
x®ða+ð
10. Podać definicjÄ™ caÅ‚ki niewÅ‚aÅ›ciwej dla funkcji f :[a,b) ®ð R takiej, że
lim f (x) =ð -ðÄ„ð .
x®ðb-ð
11. Podać definicjÄ™ granicy ciÄ…gu punktów Pn (xn , yn )Îð R2 do punktu P0 (x0 , y0 ) .
12. Podać definicjÄ™ granicy funkcji f : R2 Éð D ®ð R w punkcie skupienia dziedziny.
13. Podać definicjÄ™ ciÄ…gÅ‚oÅ›ci funkcji f : R2 Éð D ®ð R w punkcie skupienia dziedziny
P0 (x0 , y0 )Îð D .
14. Podać definicjÄ™ pochodnej czÄ…stkowej funkcji f : R2 Éð D ®ð R ( D -zbiór otwarty) w
punkcie P0 (x0 , y0 )Îð D wzglÄ™dem zmiennej x .
15. Podać definicjÄ™ pochodnej czÄ…stkowej funkcji f : R2 Éð D ®ð R ( D -zbiór otwarty) w
punkcie P0 (x0 , y0 )Îð D wzglÄ™dem zmiennej y .
16. Podać definicję użyteczności krańcowej konsumenta względem pierwszego towaru dla
funkcji użytecznoÅ›ci u =ð u(x, y) .
17. Podać definicję użyteczności krańcowej konsumenta względem drugiego towaru dla
koszyka składającego się z dwóch towarów.
18. Podać definicję popytu krańcowego konsumenta na dane dobro względem ceny tego
dobra.
19. Podać definicję popytu krańcowego konsumenta na dane dobro względem ceny
innego dobra.
20. Podać definicję popytu krańcowego konsumenta na dane dobro względem dochodu
konsumenta.
21. Podać definicję krańcowej produkcyjności kapitału dla skalarnej funkcji produkcji o
dwóch czynnikach produkcji (drugim czynnikiem produkcji jest praca).
22. Podać definicję krańcowej produkcyjności pracy dla skalarnej funkcji produkcji o
dwóch czynnikach produkcji (drugim czynnikiem produkcji jest kapitał).
23. Podać definicję krańcowej stopy substytucji jednego towaru względem drugiego w
danym koszyku towarów konsumenta i jej interpretację ekonomiczną.
24. Podać definicję krańcowej stopy substytucji jednego czynnika produkcji względem
innego i jej interpretacjÄ™ ekonomicznÄ….
25. Podać definicję elastyczności funkcji (użyteczności, popytu, produkcji,& ) względem
zmiennej&
26. Podać definicję równania różniczkowego pierwszego rzędu i definicję jego
rozwiązania szczególnego.
27. Podać definicję równania różniczkowego pierwszego rzędu i definicję jego
rozwiązania ogólnego.
28. Podać definicję zagadnienia początkowego (zagadnienia Cauchy ego) dla równania
różniczkowego pierwszego rzędu i twierdzenie o jego rozwiązaniu.
29. Podać definicję zagadnienia początkowego (zagadnienia Cauchy ego) dla równania
różniczkowego liniowego niejednorodnego pierwszego rzędu i twierdzenie o jego
rozwiÄ…zaniu.
30. Podać definicję zagadnienia początkowego (zagadnienia Cauchy ego) dla równania
różnicowego liniowego niejednorodnego pierwszego rzędu.