Z. KÄ…kol-Notatki do WykÅ‚adu z Fizyki WykÅ‚ad 20 20. Elektrostatyka II 20.1 Obliczanie potencjaÅ‚u Rozważmy np. różnicÄ™ potencjałów (napiÄ™cie) pomiÄ™dzy Å›rodkiem i powierzchniÄ… naÅ‚adowanej powÅ‚oki kulistej. B Ponieważ E = 0 (wzdÅ‚uż drogi caÅ‚kowania) wiÄ™c VB -VA = - E d r = 0 tzn. w Å›rodku +" A i na powierzchni jest ten sam potencjaÅ‚. Z powyższego wzoru wynika, że dV E = - (20.1) d r PrzykÅ‚ad 1 Obliczyć potencjaÅ‚ V i pole E w odlegÅ‚oÅ›ci r od dipola ustawionego wzdÅ‚uż osi x. Moment dipolowy p = qL i dodatkowo r >> L. P y r ¸ -q +q x L Jeżeli r >> L to punkt P jest odlegÅ‚y od Å‚adunku +q o: r (1/2)Lcos¸ oraz od q o: r + (1/2)Lcos¸ CaÅ‚kowity potencjaÅ‚ jest sumÄ… q (-q) qL cos¸ V = k + k = k 1 1 L2 2 r - L cos¸ r + L cos¸ r - cos2 ¸ 2 2 4 20-1 Z. KÄ…kol-Notatki do WykÅ‚adu z Fizyki Dla r >> L otrzymujemy ostatecznie p cos¸ x V H" k = kp 2 r r3 "V kp Ex = - = (3cos2 ¸ -1) " x r3 "V kp Ey = - = 3cos¸ sin¸ " y r3 Teraz rozpatrzmy pole i różnicÄ™ potencjałów dla dwóch przeciwnie naÅ‚adowanych pÅ‚yt o polu powierzchni S znajdujÄ…cych siÄ™ w odlegÅ‚oÅ›ci d od siebie. Jeżeli Å‚adunki na pÅ‚y- tach wynoszÄ… odpowiednio +Q i Q to gÄ™stoÅ›ci Å‚adunków wynoszÄ… Q/S i Q/S. "V = Ed Zgodnie z naszymi obliczeniami "V = Ãd/µ0 Qd "V = (20.2) µ0S Na zakoÅ„czenie zaznaczmy, że powierzchnia każdego przewodnika jest powierzchniÄ… staÅ‚ego potencjaÅ‚u (powierzchniÄ… ekwipotencjalnÄ…). 20.2 Pojemność Kondensator - ukÅ‚ad przewodników, który może gromadzić Å‚adunek elektryczny. Definicja pojemnoÅ›ci Q Q C = = (20.3) "V U Jednostka farad. 1F = 1C/1V. Powszechnie stosuje siÄ™ µF, nF, pF. Dla kondensatora pÅ‚askiego na podstawie (20.3) i (20.2) Q µ0S C = = (20.4) U d 20-2 Z. KÄ…kol-Notatki do WykÅ‚adu z Fizyki 20.3 Energia pola elektrycznego PoczÄ…tkowo nie naÅ‚adowany kondensator Å‚aduje siÄ™ od 0 do napiÄ™cia U. Wtedy Å‚a- dunek wzrasta od 0 do Q, gdzie Q = CU. Praca zużyta na przeniesienie Å‚adunku dq z okÅ‚adki " " na "+" wynosi dW = Udq CaÅ‚kowita praca wynosi wiÄ™c Q Q q 1 Q2 ëÅ‚ öÅ‚d W = d q = (20.5) +"U +"ìÅ‚ C ÷Å‚ q = 2 C íÅ‚ Å‚Å‚ 0 0 Dla kondensatora pÅ‚askiego Q E = , czyli Q = µ0ES µ0S Podstawiamy to do wzoru na energiÄ™ i otrzymujemy 2 (µ0ES) W = 2C PodstawiajÄ…c wyrażenie na C dostajemy 2 µ0E W = Sd 2 Sd - objÄ™tość kondensatora, wiÄ™c gÄ™stość energii w = W/Sd 1 2 w = µ0E (20.6) 2 Jeżeli w jakimÅ› punkcie przestrzeni jest pole E to możemy uważać, że jest tam zmagazy- 1 2 nowana energia w iloÅ›ci µ0E na jednostkÄ™ objÄ™toÅ›ci. 2 20.4 Dielektryki RozważaliÅ›my pole elektryczne od przewodników w próżni. Stwierdzamy, że umieszczenie materiaÅ‚u nieprzewodzÄ…cego (dielektryka) miÄ™dzy okÅ‚ad- kami kondensatora powoduje zwiÄ™kszenie pojemnoÅ›ci od wartoÅ›ci C do wartoÅ›ci C'. C' º = C gdzie º jest wzglÄ™dnÄ… przenikalnoÅ›ciÄ… elektrycznÄ… (staÅ‚Ä… dielektrycznÄ…). 20-3 Z. KÄ…kol-Notatki do WykÅ‚adu z Fizyki 20.4.1 Dielektryki, poglÄ…d atomistyczny Dwie możliwoÅ›ci: " czÄ…steczki polarne np. H2O majÄ…ce trwaÅ‚e momenty dipolowe p " czÄ…steczki (atomy) majÄ… indukowany (przez zewnÄ™trzne pole E) moment dipolowy (przykÅ‚ad z atomem wodoru - WykÅ‚ad 19). PrzykÅ‚ad 2 Atom wodoru umieszczony w zewnÄ™trznym polu E0. SiÅ‚a F = eE0 przesuwa chmurÄ™ elektronowÄ… o x0 wzglÄ™dem rdzenia (protonu). Wów- czas atom ma moment indukowany p = ex0. Pole w miejscu protonu E = E0 + Echmura ke E = E0 - x0 R3 Ponieważ proton (rdzeÅ„) w poÅ‚ożeniu równowagi wiÄ™c E = 0, skÄ…d dostajemy R3 x0 = E0 ek Indukowany moment dipolowy jest zatem równy R3 p = ex0 = E0 k Elektryczne momenty dipolowe p dążą do ustawienia zgodnie z kierunkiem pola, a momenty indukowane sÄ… równolegÅ‚e do pola. MateriaÅ‚ w polu E zostaje spolaryzowany (rysunek). + - + - + - + - + - + - + - - + - + - + - + + - + - + - + - + - + - + - - + - + - + - + + - + - - + - + - + - + + - W rezultacie dodatni Å‚adunek gromadzi siÄ™ na jednej, a ujemny na drugiej powierzchni dielektryka. WewnÄ…trz nie pojawia siÄ™ żaden Å‚adunek. Indukowany Å‚adunek powierzch- 20-4 Z. KÄ…kol-Notatki do WykÅ‚adu z Fizyki niowy q' pojawia siÄ™ wiÄ™c gdy dielektryk umieÅ›cimy w polu elektrycznym. Wybieramy powierzchniÄ™ Gaussa (linia przerywana). ES=(q q')/µ0 E = (q q')/(µ0S) Pojemność takiego kondensatora q q q µ0S q C'= = = = C V Ed q - q' d q - q' DzielÄ…c przez C otrzymamy C' q = º = C q - q' 20.4.2 Dielektryki - rozważania iloÅ›ciowe. Jeżeli każda czÄ…steczka ma Å›redni moment dipolowy p skierowany zgodnie z po- lem E i jeżeli w dielektryku jest N czÄ…steczek to caÅ‚kowity moment dipolowy pcaÅ‚k = N p Z drugiej strony Å‚adunek (indukowany) jest na powierzchni wiÄ™c pcaÅ‚k = q'd AÄ…czÄ…c te wyrażenia q'd = N p q'd = (nSd) p gdzie n jest iloÅ›ciÄ… czÄ…steczek w jednostce objÄ™toÅ›ci. q' = nS p Podstawiamy to do wzoru na º q q º = = q - q' q - nS p ObliczyliÅ›my, że R3 p = ex0 = E0 k 20-5 Z. KÄ…kol-Notatki do WykÅ‚adu z Fizyki PodstawiajÄ…c E = (q q')/(µ0S) R3 (q - q') q - q' p = = 4Ä„R3 k µ0S S WstawiajÄ…c to do wyrażenia na º q 1 1 º = = = q - q' q - q' 1 q - 4Ä„R3n S 1- 4Ä„R3n 1- 4Ä„R3n S q º Obliczamy º º = 1 + 4Ä„nR3 20.5 Trzy wektory elektryczne Przypomnijmy, że: E0 = q/µ0S PokazaliÅ›my, że wprowadzenie dielektryka zmniejsza pole elektryczne (indukowany Å‚adunek daje pole przeciwne do E0) E = (q q')/(µ0S) lub E = E0/º = q/(µ0Sº) AÄ…czÄ…c te równania dostajemy q q q' = - µ0ºS µ0S µ0S Mnożąc przez µ0 i przenoszÄ…c wyrazy otrzymujemy q q q' = µ0 + S ºµ0S S Przepisujemy to równanie w postaci D = µ0E + P (20.8) D, E, P sÄ… wektorami odpowiednio: indukcji elektrycznej, natężenia pola, polaryzacji. Na rysunku pokazane sÄ… odpowiednie wektory. D - Å‚adunek swobodny µ0E - wszystkie Å‚adunki P - Å‚adunek polaryzacyjny 20-6 Z. KÄ…kol-Notatki do WykÅ‚adu z Fizyki + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - D E P 0 µ 20-7