Rozwiązywanie układów równań różniczkowych
liniowych pierwszego rzędu o stałych współczynnikach
Układy n równań, których macierz główna ma wszystkie wartości
własne rzeczywiste krotności 1
Szukamy rozwiązania ogólnego układu równań:

Y = AY, (1)
gdzie A " M(n, n, R), Y : R - Rn.
Wielomianem charakterystycznym macierzy A nazywamy wielomian
P () = det (A - In) .
P () jest wielomianem rzeczywistym stopnia n, który ma dokładnie n
pierwiastków rzeczywistych i zespolonych licząc z krotnościami. Wartościami
włąsnymi macierzy A nazywamy pierwiastki wielomianu charakterystycznego
macierzy A.
Macierz A ma n różnych wartości własnych 1, . . . , n, które są liczbami
rzeczywistymi.
Niech V oznacza przestrzeń własną dla wartości własnej i, t.j. zbiór
i
n
rozwiązań układu równań: (A - i I)v = 0R .
Rodzina funkcji:
1 2 n
Y1 = w1e x, Y2 = w2e x, . . . , Yn = wne x,
gdzie dla i " {1, . . . , n}, wi jest dowolnym niezerowym wektorem własnym
wi " V \ {0} jest układem fundamentalnym rozwiązań układu (1).
i
Układy trzech równań, których macierz główna ma wielokrotne
wartości własne
Szukamy rozwiązania ogólnego układu równań:

Y = AY, (2)
gdzie A " M(3, 3, R), Y : R - R3.
1
W tym przypadku wszystkie wartości własne macierzy A są liczbami rze-
czywistymi.
Niech V oznacza przestrzeń własną dla wartości własnej i, t.j. zbiór
i
rozwiązań układu równań:
(A - i I)v = 0R3. (3)
Przypuśćmy, że A ma jedną wartość własną 1 krotności 1 i jedną wartość
własną 2 krotności 2.
Jeżeli zbór rozwiązań (3) zależy od dwóch parametrów, to wybieramy
dwa wektory w1, w2 " V \ {0R3} generujące ten zbiór oraz rodzina funkcji:
2
2 2 1
Y1 = w1e x, Y2 = w2e x, Y3 = ue x,
gdzie u jest dowolnym niezerowym wektorem własnym u " V \ {0R3},
1
jest układem fundamentalnym rozwiązań układu (2).
Jeżeli zbór rozwiązań (3) zależy od jednego parametru to istnieje nieze-
3
rowy wektor w " V \ {0R } generujacy ten zbiór taki, że układ równań:
2
(A - 2 I)k = w, ma niezerowe rozwiązanie k.
Rodzina funkcji:
2 2 1
Y1 = we x, Y2 = (wx + k)e x, Y3 = ue x,
gdzie u jest dowolnym niezerowym wektorem własnym u " V \ {0R3},
1
który nie jest proporcjonalny z wektorem w, jest układem fundamentalnym
rozwiązań układu (2).
Przypuśćmy, że A ma jedną wartość własną 1 krotności 3.
Jeżeli zbór rozwiązań (3) zależy od trzech parametrów, to istnieją trzy
3
wektory w1, w2, w3 " V \ {0R } generujące ten zbiór oraz rodzina funkcji:
1
1 1 1
Y1 = w1e x, Y2 = w2e x, Y3 = w3e x,
jest układem fundamentalnym rozwiązań układu (2).
Jeżeli zbór rozwiązań (3) zależy od dwóch parametrów, to istnieje nieze-
3
rowy wektor w " V \ {0R } taki, że układ równań: (A - 1 I)k = w, ma
1
niezerowe rozwiązanie k. Rodzina funkcji:
1 1 1
Y1 = we x, Y2 = (wx + k)e x, Y3 = ve x,
gdzie v jest dowolnym niezerowym wektorem własnym v " V \ {0R3}
1
który nie jest proporcjonalny z w, jest układem fundamentalnym rozwiązań
układu (2).
2
Jeżeli zbór rozwiązań (3) zależy od jednego parametru,to istnieje nieze-
rowy wektor w " V \ {0R3} taki, że układ równań: (A - 1 I)k = w, ma
1
niezerowe rozwiązanie k, oraz istnieje niezerowy wektor k spełniający równa-
nie (A - 1 I)k = w, taki, że układ równań: (A - 1 I)p = k, ma niezerowe
rozwiązanie p.
Rodzina funkcji:
x2
1 1 1
Y1 = we x, Y2 = (wx + k)e x, Y3 = (w + kx + p)e x,
2
jest układem fundamentalnym rozwiązań układu (2).
3
Układy trzech równań, których macierz główna ma zespoloną
wartością własną
Szukamy rozwiązania ogólnego układu równań:

Y = AY, (4)
gdzie A " M(3, 3, R), Y : R - R3.
Jeżeli 1 " C\R jest zespoloną wartością własną macierzy A, to wielomian
charakterystyczny macierzy A jest postaci W (p) = a(p - 1)(p - 1)(p - 2),
gdzie wartość własna 2 " R i a " R.
Niech V oznacza przestrzeń własną dla wartości własnej i, t.j. zbiór
i
3
rozwiązań układu równań: (A - i I)v = 0R . (V jest przestrzenią zespo-
1
loną.)
W tym przypadku istnieje niezerowy zespolony wektor własny w " V \
1
3
{0R }.
1
Niech ł = we x.
Rodzina funkcji:
2
Y1 = Reł , Y2 = Imł , Y3 = ve x,
3
gdzie v jest dowolnym niezerowym wektorem własnym v " V \ {0R },
2
jest układem fundamentalnym rozwiązań układu (4).
Układy dwóch równań, których macierz główna ma wielokrotne
wartości własne
Szukamy rozwiązania ogólnego układu równań:

Y = AY, (5)
gdzie A " M(2, 2, R), Y : R - R2.
W tym przypadku wszystkie wartości własne macierzy A są liczbami rze-
czywistymi, a wielomian charakterystyczny macierzy A jest postaci W (p) =
a(p - 1)2, gdzie a " R.
Niech V oznacza przestrzeń własną dla wartości własnej i, t.j. zbiór
i
rozwiązań układu równań:
(A - i I)v = 0R2. (6)
4
Jeżeli zbór rozwiązań (6) zależy od dwóch parametrów, to istnieją dwa
wektory w1, w2 " V \ {0R2} generujące ten zbiór oraz rodzina funkcji:
1
1 1
Y1 = w1e x, Y2 = w2e x
jest układem fundamentalnym rozwiązań układu (5).
Jeżeli zbór rozwiązań (6) zależy od jednego parametru, to istnieje nieze-
rowy wektor w " V \ {0R2} taki, że układ równań: (A - 1 I)k = w, ma
1
niezerowe rozwiązanie k. Rodzina funkcji:
1 1
Y1 = we x, Y2 = (wx + k)e x,
jest układem fundamentalnym rozwiązań układu (5).
Układy dwóch o równań, których macierz główna ma zespoloną
wartością własną
Szukamy rozwiązania ogólnego układu równań:

Y = AY, (7)
gdzie A " M(2, 2, R), Y : R - R2.
Jeżeli 1 " C\R jest zespoloną wartością własną macierzy A, to wielomian
charakterystyczny macierzy A jest postaci W (p) = a(p - 1)(p - 1), gdzie
a " R.
Niech V oznacza przestrzeń własną dla wartości własnej i, t.j. zbiór
i
rozwiązań układu równań: (A - i I)v = 0R2. (V jest przestrzenią zespo-
1
loną.)
W tym przypadku istnieje niezerowy zespolony wektor własny w " V \
1
2
{0R }.
1
Niech ł = we x.
Rodzina funkcji:
Y1 = Reł , Y2 = Imł
jest układem fundamentalnym rozwiązań układu (7).
5