PROBLEM NIEPEWNOÅšCI W DZIAA
ALNOÅšCI
INŻYNIERSKIEJ
Niepewność wyników rozumowania, obliczeń inżynierskich,
trafności decyzji
" Niedoskonałość człowieka
Åšwiadome pomijanie mniej istotnych
" Ograniczona wiedza
czynników, np. uproszczenia w
modelach obliczeniowych
Nierozpoznanie niektórych czynników,
w szczególności - ważnych
Np. niepewność dotyczÄ…ca naprężeÅ„ à i naprężeÅ„ krytycznych Ãkr
à d" Ãdop
gdzie Ãdop= Ãkr /nwym
Ãkr Re , Rm , Z, &
1
Niepewność dotycząca obliczeń, zwłaszcza wytrzymałościowych,
jest szczególnie istotna . Może być przyczyną uszkodzeń, awarii i
katastrof strat.
Zajście niesprawności, gdy
T d" twym
niesprawność, np. uszkodzenie
t
twym
T
Im większa niepewność, tym może być większe prawdopodobieństwo
Q(twym) zajścia niesprawności
Q(twym) = P(T d" twym)
2
f
R(t) = P{T > t }
Q(t) = P{T t }
Ä
t ET
R(t) = P{ T > t} - funkcja niezawodności
Q(t) = P{ T d" t} - funkcja zawodności
3
f
R(t) = P{T > t }
Q(t) = P{T t }
Ä
t ET
R(t) = P{ T > t} - funkcja niezawodności
Q(t) = P{ T d" t} - funkcja zawodności
4
f
R(t) = P{T > t }
Q(t) = P{T t }
!
Ä
t ET
R(t) = P{ T > t} - funkcja niezawodności
Q(t) = P{ T d" t} - funkcja zawodności
5
f
R(t) = P{T > t }
Q(t) = P{T t }
!
Ä
t ET
R(t) = P{ T > t} - funkcja niezawodności
Q(t) = P{ T d" t} - funkcja zawodności
Powód : nierozpoznanie istotnego czynnika (np. zjawiska
zmęczenia wywołanego nieprzewidzianymi drganiami)
6
Zmniejszanie niepewności
w procesie projektowania
" stosowanie w obliczeniach współczynników
bezpieczeństwa
" wykorzystywanie do obliczeń dokładniejszych modeli,
w tym modeli probabilistycznych, np. naprężeń
i naprężeń krytycznych
" przeprowadzanie badań prototypu i serii informacyjnej
7
Obliczenia probabilistyczne
Probabilistyczna forma warunków ograniczających
Ãsup d" Re
Ãsup , Ãmax , Re ,
Z, &
Ãmax d" Z
X(t) d" Xkr
zmienne losowe
y d" ykr
P{ & } a" R(t) - funkcja niezawodności
Np. R = P{Ãsup d" Re }
8
. . .
Probabilistyczny opis naprężeń
Ã
Ãmax,i
Ãm,i
Ãsup
Ãmin,i
t
Do probabilistycznych obliczeń na wytrzymałość doraz
nÄ…
rozkÅ‚ad prawdopodobieÅ„stwa Ãsup w postaci na przykÅ‚ad
gÄ™stoÅ›ci prawdopodobieÅ„stwa f (Ãsup )
Do probabilistycznych obliczeń na wytrzymałość zmęczeniową
rozkÅ‚ady prawdopodobieÅ„stwa Ãmax i Ãm
9
Probabilistyczny opis właściwości mechanicznych
Duże rozrzuty cech, właściwości także właściwości
obiektów technicznych mechanicznych
Re , Rm , Z , H , h , trw , & ,wymiary
Np. probabilistyczny opis wytrzymałości doraz
nej
f
P{Re > Re min } H" 0,98- 0,99
d"
P{Re d" Remin}
Remin ERe Re 10
Re
Uwzględnianie losowości w obliczeniach
inżynierskich
" operowanie opisami probabilistycznymi naprężeń (lub obciążeń)
oraz cech i właściwości (np.mechanicznych)
P{war. ograniczajÄ…cy} a" R(t)
R(t) = 1- Q(t)
Np.
R = P{Ãsup d" Re }, gdzie à a" Ãsup albo R = P{Ãmax k d" Z }
Ãkr a" Re
11
Gdy probabilistyczny opis à i Ãkr
Prawdopodobieństwo uszkodzenia
Q = P{Ã  Ãkr > 0}
Q = f(n)
12
13
f
à -zdeterminowane
(² = 0)
Q
Re
Ã
² = 0 ²kr = 0,05
ykr = 2,0
14
Zadanie
Wspornik przedstawiony na rysunku jest zespawany z ceowników.
" Zdefiniuj współczynnik bezpieczeństwa ze względu na doraz
ne rozciÄ…ganie
pręta a.
" Wyznacz siłę rozciągającą ten pręt, a następnie oblicz wartość współczynnika
bezpieczeÅ„stwa, gdy Ä… = 30° i gdy Ä… = 35°.
" Opierając się na wykresie Q = f(n), oszacuj dla obu przypadków wartości
prawdopodobieństwa uszkodzenia pręta.
a
Dane: F = 140kN, Re = 185MPa,
pole przekroju pręta a A = 7,1cm2.
Ä…
F
Odp.: n = 1,62 Q H" 10-11
n = 1,34 Q H" 10-8 !!
15
Zadanie
Na wykresie jest przedstawiona gęstość
f
prawdopodobieństwa granicy plastyczności Re
materiału, z którego wykonano pręt obciążony
siÅ‚Ä… wzdÅ‚użnÄ… wywoÅ‚ujÄ…cÄ… w nim naprężenia Ã.
Posługując się wykresem, należy określić, jaki
wpływ na prawdopodobieństwo uszkodzenia
pręta mogłoby mieć zmniejszenie wartości
współczynnika bezpieczeństwa w stosunku do
wartości wynikającej z wykresu.
Re
Remin ERe
Ã
RozwiÄ…zanie
Uszkodzenie, gdy à > Re
à  wielkość zdeterminowana (okreÅ›lona
wartość)
Re  zmienna losowa o gęstości f
Prawdopodobieństwo uszkodzenia Q = P{à > Re }
16
 f
Remin
Re
ERe
Ã
Ã1
17
 f
Prawdopodobieństwo
uszkodzenia
Q = P{ Re < Ã }
Q1 = P{Re < Ã1 }
Remin
Re
ERe
Ã
Ã1
18
Q1 > Q
Zadanie
Belka wspornikowa wystająca z konstrukcji jest pełnym prętem o przekroju
kwadratowym wykonanym ze stali konstrukcyjnej o granicy plastyczności Re .
" Zdefiniuj współczynnik bezpieczeństwa ze względu
na doraz
ne zginanie pręta.
" Uzależnij ten współczynnik, określany dla przekroju
a
K, od wielkości podanych w temacie.
" Przedstaw w postaci poglądowej wykres gęstości
K prawdopodobieństwa granicy plastyczności wspom-
nianej stali konstrukcyjnej. Zaznacz na nim położenie
F
granicy plastyczności stosowanej w obliczeniach
l
deterministycznych, a także  prawdopodobieństwo
uszkodzenia wspornika w przypadku, gdy
współczynnik bezpieczeństwa n > 1 i w przypadku,
gdy n = 1.
19
Uwzględnianie losowości w obliczeniach
inżynierskich
" operowanie opisami probabilistycznymi naprężeń (lub obciążeń)
oraz cech i właściwości (np.mechanicznych)  obliczenia
probabilistyczne
Częściej
" stosowanie w obliczeniach deterministycznych współczynników
uwzględniających rozrzuty losowe właściwości materiału lub
elementu (wymagany poziom  niezawodności ), np.
- cr w obliczeniach zmęczeniowych
- aR w obliczeniach łożysk tocznych
oraz kwantyli wytrzymałości materiału określanych dla
- r = 0,99 w obliczeniach zmęczeniowych kół zębatych
- r H" 0,98 (Re , Rm ) w obliczeniach ze względu na
20
wytrzymałość doraz
nÄ…
Probabilistyczny opis wytrzymałości zmęczeniowej
Z"cr
Podawana i stosowana w obliczeniach deterministycznych granica
zmęczenia Z = EZ .
P{Z < Z} = 0,50 , a współcz.  niezawodności cr = 1.
r 0,5000 0,9000 0,9900 0,9990 0,9999
21
cr 1,000 0,897 0,814 0,753 0,702
Inna ilustracja graficzna rozrzutów losowych granicy zmęczenia Z
Jedna ze stali
węglowych do
ulepszania cieplnego
Z =
Z =
F = P{Z < Z}  dystrybuanta zmiennej losowej Z
Zmniejszenie naprężeÅ„ Ãmaxk z 305 MPa do 275 MPa powoduje
wzrost prawdopodobieństwa przeżycia Ngr
P{N > Ngr} = P{Ãmaxk < Z} = 1-F
z wartości 0,10 do 0,90.
22
Zadanie
Wspornik przedstawiony na rysunku jest zespawany z ceowników wykononych ze
stali niskowęglowej C22R. Siła F obciążająca wspornik zmienia się w czasie w
zakresie wartości od 0 do 140 MPa. W okresie przewidywanej jego trwałości
liczba obciążeń jest duża, mianowicie N H" 8"105 .
" Zdefiniuj współczynnik bezpieczeństwa ze względu na zmęczenie pręta a.
" Oblicz wartość współczynnika bezpieczeństwa ze względu na zmęczenie w
przekroju tego prÄ™ta oddalonego od zamocowaÅ„, gdy Ä… = 30° i gdy Ä… = 35°.
Pozostałe dane: Re = 390 MPa, Rm = 470 MPa, pole
a
przekroju pręta a A = 7,1cm2.
Ä…
F
23
RozwiÄ…zanie
" Naprężenia w pręcie  rozciągające, odzerowo tętniące.
Ã
&
Ãmax
t
Zatem współcz. bezpiecz.
Wykres Smitha
(Haigha, Goodmana)
- zbędny
= Ãmax
gdzie
Zrj H" 0,60Rm , Rm  na poziomie prawdopodobieństwa ~ 0,98,
zatem także cr na poziomie r = 0,98, czyli cr H" 0,820 .
24
Zadanie
Zdefiniuj matematycznie, a następnie wyznacz współczynnik
bezpieczeństwa n ze względu na zginanie doraz
ne i ze względu na
zginanie zmęczeniowe w przekroju A wałka pośredniego przekładni
zębatej, pokazanego na rysunku. Znane są między innymi wartości
wielkości: siły F, odległości l i L, średnic D i d, a także  Rm , Re , Zgo ,
Zgj materiału wałka.
A
F
d
D
É
l
L
25
Probabilistyczny opis trwałości łożyska tocznego
gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej L
funkcja niezawodności łożyska
26
Probabilistyczny opis trwałości łożyska tocznego
gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej L
R(L) = P{ L e" L}
F(L) = 1- R(L)
rozkład Weibulla zm. L
funkcja niezawodności łożyska
a = 10/9 dla łoż. kulk.;
a = 9/8 dla łoż.wałeczk.
27
R(L)
R(L)
1,00
1,00
0,90
0,90 L 68 H" 10 L 10
0,32
0,32
L10 L68 L[mln obr.]
Trwałość umowna ( katalogowa)
ą = 3 dla łoż. kulk.;
ą = 10/3 dla łoż. wałeczk.
C  nośność dynamiczna (ruchowa)
P  obciążenie zastępcze
28
aw = 0,1  50 współczynnik warunków pracy (temperatura, lepkość i
czystość smaru, obciążenie itd.)
R(L)
1,00
0,90
Lwym
0,60
L10 L10
L
29
aw = 0,1  50 współczynnik warunków pracy (temperatura, lepkość i
czystość smaru, obciążenie itd.)
R(L)
1,00
0,90
Lwym
0,60
L10 L10
L
30
aw = 0,1  50 współczynnik warunków pracy (temperatura, lepkość i
czystość smaru, obciążenie itd.)
R(L)
1,00
R(Lwym)
0,90
Lwym
0,60
L10 L10
L
R(Lwym ) e" Rwym , - warunek doboru wielkości łożyska (C,& )
gdzie Rwym = & . (np. Rwym = 0,98 )
31
Deterministyczny opis trwałości łożyska tocznego
uwzględniający jej rozrzut losowy (wg FAG, SKF )
R(L)
Jeśli R(L),to L(R)
1,00
Rwym
0,70
Lwym
L10
L
L(Rwym )
L(Rwym ) e" Lwym
R(Lwym ) e" Rwym
gdzie L(Rwym ) = aRL10
32
R(L)
1,00
R
0,90
L
L10
L(R)
aR = L(R) " L10
Funkcja  niezawodności R 0,90 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99
Współczynnik aR 1 0,62 0,53 0,44 0,33 0,21
33
Zadanie
Do podparcia wałka przekładni zębatej (p. rysunek) użyto dwóch jednakowych łożysk
poprzecznych kulkowych zwykłych 6208 o nośnościach ruchowych każdego z nich
C = 32,5 kN. W strefie zazębienia występuje obciążenie poprzeczne o dwóch składowych,
związanych relacją Fr = 0,364 Fw , przy czym Fw = 8 kN. Przewidywana trwałość
pojedynczego łożyska Lwym = 120 mln obr., a wymagana wartość funkcji jego niezawodności
w tym okresie powinna być nie mniejsza niż Rwym = 0,98. Sprawdzić prawidłowość doboru
łożysk do tych warunków.
Pozostałe dane: d1 = 80 mm, l = 30 mm, L = 60 mm, oraz niektóre informacje potrzebne do
doboru z katalogu wartości współczynnika warunków pracy łożyska  Pu = 0,80 kN,
n = 1000 obr/min, t = 30o C, olej niefiltrowany o lepk. kinemat. ½z = 10 mm2/s (w 40o C),
d = 40 mm,
D = 80 mm.
34
RozwiÄ…zanie
Sprawdzenie przy użyciu warunku
L(Rwym ) e" Lwym
gdzie L(Rwym ) = aR L10 , L10 = aw
l L
P = XPp + YPw
P = Pp
F
Pp
Pp = F
35
RozwiÄ…zanie
Sprawdzenie przy użyciu warunku
L(Rwym ) e" Lwym
gdzie L(Rwym ) = aR L10 , L10 = aw
l L
P = XPp + YPw
P = Pp
F
Pp
Pp = F
Warunki pracy niedobre: lepkość oleju zbyt mała w stosunku do zalecanej
(SKF), łożyska niechronione przed zanieczyszczeniami itd. na
podstawie wykresów w SKF
aw H" 0,55 !
36
RozwiÄ…zanie
Sprawdzenie przy użyciu warunku
L(Rwym ) e" Lwym
gdzie L(Rwym ) = aR L10 , L10 = aw
l L
P = XPp + YPw
P = Pp
F
Pp
Pp = F
Warunki pracy niedobre: lepkość oleju zbyt mała w stosunku do zalecanej
(SKF), łożyska niechronione przed zanieczyszczeniami itd. na
podstawie wykresów w SKF
aw H" 0,55 !
37
Zmiana łożyska na uszczelnione (wewnętrznie) 6208-RS1 aw H" 12.
Zadanie
Narysować wykres funkcji niezawodności łożyska bardziej obciążonego
z dwóch łożysk, o których mowa w poprzednim zadaniu i funkcjonujących
w opisanych warunkach. Jakie sÄ… dwa dominujÄ…ce zjawiska fizyczne
prowadzące do uszkodzeń łożysk tocznych?
38
Zadanie
A
ożysko wałeczkowe walcowe, podpierające czop końcowy
wałka ma nośność ruchową równą C. Siła zastępcza P,
obciążająca to łożysko, jest równa jego nośności ruchowej.
Należy porównać prawdopodobieństwa nieuszkodzenia tego
łożyska w okresie Lwym = 106 obrotów dla dwóch następujących
przypadków:
" przedstawionego powyżej,
" gdy siła zastępcza jest równa 80% nośności ruchowej.
W obu przypadkach łożysko i warunki jego pracy są zbliżone
(współczynnik aw warunków pracy jest w przybliżeniu taki sam).
Wyniki zilustrować na wykresach funkcji niezawodności łożyska.
39
Zadanie
Wałek pośredni przekładni zębatej podparty jest dwoma jednakowymi łożyskami
kulkowymi poprzecznymi o nośności dynamicznej każdego z nich C = 5,85 kN.
Wałek jest obciążony siłą poprzeczną F = 4 kN wynikającą z oddziaływania
zamocowanego na nim koła zębatego. Koło może być usytuowane w stosunku do
wałka w dwóch wariantach:
1. l = 0,25 L,
2. l = 0,50 L.
W obu wariantach warunki pracy przyjąć jako zbliżone (aw H" 5) . Należy:
- dla obu tych wariantów narysować w jednym układzie współrzędnych
wykresy funkcji niezawodności zespołu łożysk podpierających wałek (przez co
najmniej trzy punkty),
- wskazać wariant lepszy ze względu na niezawodność podparcia wałka.
F
A
B
l
L
40