Ćwiczenie 14
Przykłady analizy płyt  zadania z płyt prostokątnych
Hipotezy wytrzymałościowe
PA
YTA PROSTOK
TNA, SWOBODNIE PODPARTA,
OBCI
ŻONA FRAGMENTARYCZNIE
Przykład: Wyznaczyć powierzchnię ugięcia płyty swobodnie
podpartej, obciążonej równomiernie na prostokÄ…cie u × v
(wypadkowa z obciążenia wynosi: P = q Å"u Å" v )
a
Rzut z góry:
x1
u
·
E,½ ,h
v
b
q = const
¾
x2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 1
Obciążenie:
" "
q x1, x2 =
( )
""a sin mĄ x1 sin nĄ x2
mn
ab
m=1 n=1
u v
¾ + ·+
2 2
4 mĄ x1 nĄ x2
gdzie: amn = q x1, x2 sin sin
+" +"( )
ab a b
u v
¾ - ·-
2 2
u v
¾ + ·+
2 2
P 4P mĄ x1 nĄ x2
Dla q = zachodzi: amn = sin sin dx1dx2
+" +"
u Å" v abuv a b
u v
¾ - ·-
2 2
uv
¾ + ·+
4P a b mĄ x1 2 mĄ x1 2
Zatem: amn = cos cos
uv
abuv mĄ nĄ a a
¾ - ·-
22
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 2
Ostatecznie:
ëÅ‚ uu öÅ‚ëÅ‚
ëÅ‚¾ öÅ‚mÄ„ - vv öÅ‚
ëÅ‚¾ öÅ‚ ëÅ‚· öÅ‚ ëÅ‚· öÅ‚
mĄ + mĄ +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚mÄ„ -
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
4P
22 22
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
amn = ìÅ‚ - cos ÷Å‚ìÅ‚ - cos ÷Å‚
cos cos
2
Ä„ mnuv a a b b
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
Ä… + ² Ä… - ²
PrzywoÅ‚ujÄ…c z trygonometrii: cosÄ… - cos ² = -2sin sin
22
uu
ëÅ‚¾ öÅ‚ëÅ‚¾ öÅ‚
mĄ + + mĄ -
ìÅ‚÷Å‚ìÅ‚÷Å‚
2mÄ„¾
22
íÅ‚Å‚Å‚íÅ‚Å‚Å‚
mamy: Ä… + ² = =
i podobnie
aa
dla drugiej
uu
ëÅ‚¾ öÅ‚ëÅ‚¾ öÅ‚
mĄ + - mĄ - pary
ìÅ‚÷Å‚ìÅ‚÷Å‚
mĄu
22
íÅ‚Å‚Å‚íÅ‚Å‚Å‚
argumentów
oraz: Ä… - ² = =
aa
16P mÄ„¾ nÄ„· mÄ„u nÄ„ v
StÄ…d: amn = sin sin sin sin
2
Ä„ mnuv a b 2a 2b
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 3
a b
Sprawdzenie w przypadku: ¾ = , · = , u = a, v = b, P = qab:
2 2
22
16PmĄ nĄ 16q
ëÅ‚sin öÅ‚ ëÅ‚sin öÅ‚
Wówczas: amn = = , gdy:mn =1,3,5...
,
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
22
Ä„ mnab 22 Ä„ mn
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
lub: amn = 0, gdy któraś z wartości: m lub n jest parzysta!
Uwaga: Można porównać to rozwiązanie z zadaniem dla płyty
prostokątnej obciążonej równomiernie na całej powierzchni!
Ostatecznie:
" "
1 amn mĄ x1 nĄ x2
w x1, x2 = sin sin
( )
""îÅ‚ëÅ‚ m öÅ‚2 ëÅ‚ n öÅ‚2 Å‚Å‚ b
4 2
Ä„ D a
m=1 n=1
+
ïłśł
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚íÅ‚ a Å‚Å‚ íÅ‚ b Å‚Å‚ śł
gdzie: mn  liczby całkowite nieparzyste: 1,3,5...
,
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 4
PA
YTA PROSTOK
TNA, SWOBODNIE PODPARTA,
OBCI
ŻONA SIA

SKUPION

Przykład: Wyznaczyć powierzchnię ugięcia i ugięcie maksymalne
płyty swobodnie podpartej, obciążonej siłą skupioną P,
przyÅ‚ożonÄ… w punkcie o współrzÄ™dnych: x1 = ¾ i x2 =·
Rzut z góry:
a
x1
·
E,½ ,h
b
P
¾
x2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 5
Z poprzedniego zadania otrzymamy wyrazy amn dla: u 0, v 0:
mĄu
sin
mĄ mĄu mĄ
2a
1) lim = lim cos =
u0 u0
u 2a2a 2a
mĄv
sin
nĄ nĄv nĄ
2b
2) lim = lim cos =
u0 v0
v 2b 2b 2b
4P mÄ„¾ mÄ„·
Zatem: amn = sin sin
ab a b
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 6
Powierzchnia ugięcia:
mÄ„¾ nÄ„·
sin sin
" "
4P mĄ x1 nĄ x2
ab
w x1, x2 = sin sin
( )
""îÅ‚ëÅ‚ m öÅ‚2 ëÅ‚ n öÅ‚2 Å‚Å‚ b
4 2
Ä„ abD a
m=1 n=1
+
ïłśł
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚íÅ‚ a Å‚Å‚ íÅ‚ b Å‚Å‚ śł
Szereg ten również jest szybkozbieżny!
Obliczamy ugięcie w środku płyty (od siły położonej centrycznie),
a b
tj. dla: ¾ = x1 = , · = x2 = :
2 2
" "
4P 1
max w = , gdzie: mn =1,3,5...
""îÅ‚ëÅ‚ m öÅ‚2 ëÅ‚ n öÅ‚2 Å‚Å‚,
4 2
Ä„ abD
m=1 n=1
+
ïłśł
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚íÅ‚ a Å‚Å‚ íÅ‚ b Å‚Å‚ śł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 7
Dla płyty kwadratowej (a = b ):
4Pa2 " " 1
max w = , gdzie: mn =1,3,5...
,
""
4 2
Ä„ D
m=1 n=1
m2 + n2
( )
BiorÄ…c pod uwagÄ™ jedynie pierwsze cztery wyrazy szeregu
otrzymamy (dla mn =1,3):
,
Å‚Å‚
4Pa2 3 îÅ‚ 11
max w =
"ïÅ‚ m2 +1 + n2 + 9 śł
4 22
Ä„ D ïłśł
m=1
( ) ( )
ðÅ‚ûÅ‚
4Pa2 1 1 1 1 Pa2
ëÅ‚
max w = + + +öÅ‚ = 0,01121
ìÅ‚÷Å‚
4
Ä„ D 4 100 100 324 D
íÅ‚Å‚Å‚
Jeśli przyjmie się, iż P = qa2 to w porównaniu z ugięciem dla
q = const na całej powierzchni płyty jest to ugięcie 3 razy większe!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 8
Porównanie ugięć pÅ‚yty a × a pod rozważanymi obciążeniami:
a a
a a
q = const
P = qa2
Pa2 qa4 qa4
max w = 0,01121 = 0,01121 max w = 0,00406
DD D
Dyskusja! Przypadek szczególny: ścianki działowe na stropie
a a
u = a u 0
b b
q
v 0
v = b
q
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 9
Zbigniew KÄ…czkowski   PÅ‚yty. Obliczenia statyczne.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 10
Zbigniew KÄ…czkowski   PÅ‚yty. Obliczenia statyczne.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 11
HIPOTEZY WYTRZYMAA
OÅšCIOWE
Zadanie 1: Określić, czy dany stan jest bezpieczny wg dwóch
hipotez wytrzymałościowych: Treski i HMH.
18 6 0
îÅ‚Å‚Å‚
ïłśł
à = 6 2 0 MPa
[ ]
ïłśł
%ð
ïÅ‚ 0 0 -5śł
ðÅ‚ûÅ‚
W przypadku, gdy stan jest bezpieczny, określić wymagany zapas
bezpieczeństwa stosownie dla obu hipotez wytrzymałościowych,
zakładając jednoparametrowy wzrost wszystkich składowych
tensora naprężenia. Przyjąć Ã0 = 28MPa .
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 12
RozwiÄ…zanie zadania 1:
Ad 1) Hipoteza Treski
1) Obliczenie naprężeÅ„ głównych: Ã1, Ã2 i Ã3
Ponieważ Ä = Ä = Ä = Ä = 0MPa
xz yz zx zy
mamy: Ã3 = -5MPa
2
à + à Ã
2
ëÅ‚ -Ã
öÅ‚
x y x y
Wówczas: Ã1/2 = Ä…+ Ä
( )
ìÅ‚÷Å‚ xy
22
íÅ‚Å‚Å‚
podstawiając wartości liczbowe:
2
18 + 2 18 - 2
2
ëÅ‚öÅ‚
Ã1/2 = Ä…+ 6 [MPa] = 10 Ä…10[MPa]
( )
ìÅ‚÷Å‚
22
íÅ‚Å‚Å‚
Zatem: Ã1 = 20MPa oraz Ã2 = 0MPa
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 13
2) Ekstremalne naprężenia styczne: Ämax
Ã1 -Ã3
Ämax =
2
podstawiając wartości liczbowe:
20 -(-5
)
25
Ämax = MPa = MPa = 12,5MPa
[ ]
22
3) Ocena bezpieczeństwa stanu naprężeń:
Stan jest bezpieczny, gdyż:
Ã0 28MPa
Ämax = 12,5MPa d" Ä0 = = = 14MPa
22
4) Obliczenie zapasu bezpieczeństwa wg Treski: zbezp,T
zbezp,T Å"Ämax = Ä0 zbezp,T Å"12,5MPa = 14MPa
Zatem: zbezp,T = 14MPa /12,5MPa = 1,120
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 14
Ad 2) Hipoteza HMH (Hubera Misesa Hencky ego)
1) Sprawdzenie warunku obszaru bezpiecznego, wyrażonego
w naprężeniach głównych:
2
Ã2
( -Ã1 2 + Ã3 -Ã2 2 + Ã1 -Ã3 2 d" 2 Å"Ã0
) ( ) ( )
podstawiając wartości liczbowe:
22
2 22
0
) (-5 + 252 =1050
)
( - 20 +
) (-5 - 0 + 20 -(-5 =
( ) ) ( ) (-20 +
)
2
2
2 Å"Ã0 = 2 Å" 28 =1568
( )
Zatem: 1050 d" 1568, tak więc stan jest bezpieczny!
Uwaga: Warunek stanu bezpiecznego można także wyrazić
w układzie Oxyz :
222
22
à -à + à -à + à -à + 6 Å"Ä d" 2 Å"Ã0
( )
( ) ( )
y x z y x z xy
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 15
222
22
à -à + à -à + à -à + 6 Å"Ä d" 2 Å"Ã0
( )
( ) ( )
y x z y x z xy
podstawiając wartości liczbowe:
22
22
L = 2 -18 +
( ) (-5 - 2 + 18 -(-5 + 6 Å" 6 = 1050
( ) ) ( ) ( )
)
2
2
P = 2 Å"Ã0 = 2 Å" 28 = 1568
( )
Zatem: 1050 d"1568, tak więc stan jest bezpieczny!
2) Obliczenie zapasu bezpieczeństwa wg HMH: zbezp,HMH
2 2
zbezp,HMH Å" L = P zbezp,HMH Å"1050 = 1568
( ) ( )
2
Zatem: zbezp,HMH = 1568 /1050 = 1,49333
( )
Tak więc: zbezp,HMH = 1,49333 = 1,22202
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 16
Uwaga: Można wg hipotezy HMH zastępczo wprowadzić pojęcie
naprężeÅ„ zredukowanych à :
z
1
2 22
îÅ‚
à = Å" Ã2 -Ã1 + Ã3 -Ã2 + Ã1 -Ã3 Å‚Å‚
( ) ( ) ( )
z
ðÅ‚ûÅ‚
2
222
1
2
îÅ‚Å‚Å‚
lub: Ã = Å" Ã -Ã + Ã -Ã + Ã -Ã + 6 Å"Ä
( )
( ) ( )
z y x z y x z xy
ïłśł
ðÅ‚ûÅ‚
2
Wówczas warunek stanu bezpiecznego można zapisać w postaci:
à d" Ã0
z
W niniejszym przypadku, mamy:
11
à = Å" L = Å"1050 = 22,913MPa d" Ã0 = 28MPa
z
22
Zapas bezpieczeństwa wg HMH zbezp,HMH policzymy wg wzoru:
zbezp,HMH Å"Ã = Ã0 zbezp,HMH Å" 22,913MPa = 28MPa
z
Zatem: zbezp,T = 28MPa / 22,913MPa = 1,22202
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 17
Zadanie 2: Ile powinny wynosić naprężenia Ã12 = Ã21 = k MPa ,
[ ]
aby spełnione były warunki plastyczności wg dwóch hipotez
wytrzymałościowych: Treski i HMH.
12 k 0
îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚
à = k 8 0śł MPa
[ ]
ïłśł
%ð
ïÅ‚ 0 0 0śł
ðÅ‚ûÅ‚
Przyjąć Ã0 = 15MPa .
RozwiÄ…zanie zadania 2:
Ad 1) Hipoteza Treski
1) Obliczenie naprężeÅ„ głównych: Ã1, Ã2 i Ã3
Ponieważ Ã13 = Ã23 = Ã31 = Ã32 = 0MPa, mamy: Ã3 = 0MPa
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 18
2
Ã11 + Ã22 Ã11
2
ëÅ‚ -Ã22
öÅ‚
Wówczas: Ã1/2 = Ä…+ Ã12
( )
ìÅ‚÷Å‚
22
íÅ‚Å‚Å‚
podstawiając wartości liczbowe:
2
12 + 8 12 - 8
2
ëÅ‚öÅ‚
Ã1/2 = Ä…+ k [MPa] =10 Ä… 4 + k2 [MPa]
( )
ìÅ‚÷Å‚
22
íÅ‚Å‚Å‚
2) Ekstremalne naprężenia styczne: Ämax
Ekstremalnymi naprężeniami stycznymi mogą być wielkości:
Ã2 -Ã3 Ã3 -Ã1 Ã1 -Ã2
Ämax,1 = , Ämax,2 = , Ämax,3 =
2 2 2
podstawiając wartości liczbowe:
1
Ämax,1 = 5 - Å" 4 + k2 MPa
[ ]
2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 19
1
Ämax,2 = 5 + Å" 4 + k2 MPa
[ ]
2
Ämax,3 = 4 + k2 MPa
[ ]
W poszczególnych przypadkach granicznymi wartościami
bezwzględnymi naprężeń k MPa , przy których warunek
[ ]
plastyczności jest równością, są odpowiednio:
przypadek 1: k1 = 24,920MPa
przypadek 2: k2 = 4,583MPa
przypadek 3: k3 = 7,228MPa
3) Ocena bezpieczeństwa stanu naprężeń:
Stan jest bezpieczny wtedy, gdy: k " -4,583 ; 4,583 MPa
[ ]
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 20
Ad 2) Hipoteza HMH (Hubera Misesa Hencky ego)
1) Sprawdzenie warunku obszaru bezpiecznego:
Skorzystamy z warunku stanu bezpiecznego w układzie Ox1x2x3:
22
Ã22
( -Ã11 2 + Ã33 -Ã22 2 + Ã11 -Ã33 2 + 6 Å"Ã12 d" 2Å"Ã0
) ( ) ( )
podstawiając wartości liczbowe:
2 2 22
L = 8 -12 + 0 - 8 + 12 - 0 + 6Å" k = 224 + 6 Å" k2
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
P = 2 Å"Ã0 = 2 Å" 15 = 450
( )
Zatem: 224 + 6 Å" k2 d" 450 6 Å" k2 d" 450 - 224 = 226
Tak więc: k2 d" 226 / 6 = 6,137 MPa
[ ]
2) Ocena bezpieczeństwa stanu naprężeń:
Stan jest bezpieczny wtedy, gdy: k " -6,137 ; 6,137 MPa
[ ]
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 14 " KMBiM WILiŚ PG 21