WykÅ‚ad 9. 6 grudnia 2010 Funkcja wykÅ‚adnicza. n 1 CiÄ…g an = 1 + jest rosnÄ…cy i ograniczony z góry, a stÄ…d zbieżny. Jego granicÄ™ n oznaczamy przez e n 1 lim 1 + = e. n" n * Można wykazać, że dla dowolnego ciÄ…gu xn takiego, że lim |xn| = +" mamy n" xn 1 lim 1 + = e. n" xn Wynika stÄ…d na przykÅ‚ad, że n 1 1 lim 1 - = . n" n e I Nierówność Bernoulliego : (1 + x)n 1 + nx, x > -1; 1 II Nierówność Bernoulliego : (1 + x)n 1 + nx + n(n - 1)x2, x 0. 2 5) Niech x > 0. n x an(x) = an = 1 + . n Przy pomocy nierównoÅ›ci Bernoulliego sprawdzamy, że jest to ciÄ…g rosnÄ…cy i ogra- niczony z gór. x n n x 1 + an+1 x x n(n+1) n+1 = 1 + = 1 + 1 - x x an n + 1 1 + n + 1 1 + n n x x 1 + x x n(n+1) n+1 1 + 1 - = 1 + 1 x x n + 1 1 + n + 1 1 + n n bo x x x x x2 x x2 1 + 1 + = 1 + + + = 1 + + n + 1 n(n + 1) n n(n + 1) n(n + 1)2 n n(n + 1)2 x 1 + . n îÅ‚ Å‚Å‚k kn ïÅ‚ śł x 1 1 ïÅ‚ śł an akn = 1 + = n x ðÅ‚ ûÅ‚ x kn 1 1 - x k 1+ kn dla k > x bo n n 1 x nx nx x = 1 - 1 - 1 - = 1 - x 1 + kn + x kn + x kn k kn 46 Zatem (an) jest zbieżny i definiujemy n x exp x = exp(x) = lim 1 + , x 0. n" n n n x x x2 n 1 + 1 - = 1 - < 1, n > x, n n n2 x2 n x2 1 - 1 - . n2 n Z twierdzenia o 3 ciÄ…gach wynika, że n x x n lim 1 + 1 - = 1 Ò! n" n n n x 1 exp(-x) = lim 1 - = Ò! exp x > 0 dla x " . n" n exp x Z nierównoÅ›ci Bernoulliego wynika, że jeżeli x > -1 to exp x 1 + x.
Twierdzenie. "x, y " exp(x + y) = exp(x) · exp(y). n n n x+n x y Dowód. Niech bn = 1 + 1 - 1 - . Mamy n n n x + n x y x + n x y xy 1 + 1 - 1 - = 1 + 1 - - + n n n n n n n2 x y xy x + y (x + y)2 (x + y)xy = 1 - - + + - + n n n2 n n2 n3 x2 + y2 + xy (x + y)xy = 1 - + < 1 dla n N1, n2 n3 skÄ…d, korzystajÄ…c z nierównoÅ›ci Bernoulliego, x2 + y2 + xy (x + y)xy 1 > bn 1 - + n n2 i wreszcie z twierdzenia o 3 ciÄ…gach mamy lim bn = 1. n" Uwaga. SkorzystaliÅ›my w dowodzie z faktu, że dla xy = 0 mamy
(1) "x " exp x > 0 Ò! exp( ) ‚" ; + (2) "x " exp x = ex. Również dla innych wartoÅ›ci x bÄ™dziemy pisali exp x = ex. Zatem ex+y = ex · ey. 47 (3) Funkcja f(x) = ex jest rosnÄ…ca bo jeżeli x < y to ey - ex = ex(ey-x - 1) ex(y - x) > 0. 1 1 (4) Jeżeli x < y to ey - ex = ey 1 - ey(1 - ) = ey y-x . StÄ…d mamy ey-x 1+y-x 1+y-x oszacowania przy x < y y - x (y - x)ex ey - ex ey . 1 + y - x
X, Y ‚" , f : X - Y bijekcja Ô! "g : Y - X f ć% g = idX, g ć% f = idY , g =: f-1 -1 -1 f1 : X - Y, f2 : Y - Z bijekcje Ò! f2 ć% f1 : X - Z bijekcja i (f2 ć% f1)-1 = f1 ć% f2 f : X - Y injekcja to Ò! f : X - f(X) bijekcja f : X - Y rosnÄ…ca Ò! f-1 : f(X) - X rosnÄ…ca f : X - Y malejÄ…ca Ò! f-1 : f(X) - X malejÄ…ca
Twierdzenie. Funkcja exp : jest surjekcjÄ… a stÄ…d bijekcjÄ…. FunkcjÄ™ od- + wrotnÄ… nazywamy logarytmem naturalnym i zonaczamy ln lub log. Zatem
ln = log = exp-1 : . + W szczególności ln e = 1, ln 1 = 0. Definicja funkcji potęgowych, wykładniczych, logarytmicznych.
Jeżeli a " to definiujemy dla x > 0 df xa = ea ln x = (exp ć%(y ay) ć% ln) (x). Dla a > 0 przyjmujemy df ax = ex ln a = (exp ć%(x - x ln a)) (x). Mamy ln ax = ln ć% (exp ć%(x - x ln a)) (x) = x ln a. Jeżeli a = 1 to funkcja ax jest bijekcją. Funkcję odwrotną nazywamy logarytmem o
podstawie a i oznaczamy loga. Mamy loga x = (exp ć%(x - x ln a))-1 (x) = (x - x ln a)-1 ć% exp-1 (x) 1 1 ln x = (y - y) ć% ln (x) = ln x = . ln a ln a ln a 48 WÅ‚asnoÅ›ci. x1 a xa 1 (x1x2)a = xaxa, = , (xa)b = xab 1 2 x2 xa 2 1 1 2 1-x2 ax1 1 2 1 ax +x2 = ax · ax , ax = , (ax )x = ax ·x2 ax2 loga(x1 · x2) = loga x1 + loga x2, loga x1 = loga x1 - loga x2, loga bx = x loga b. x2 logb x loga x = - wzór na zamianÄ™ podstawy logb a
f : X - , x " X Ô! -x " X f jest parzysta jeÅ›li "x " X f(-x) = f(x). f jest nieparzysta jeÅ›li "x " X f(-x) = -f(x). Na przykÅ‚ad funkcje f(x) = x2, f(x) = |x|, f(x) = |x|3 sÄ… parzyste, a funkcje 1 f(x) = x, f(x) = x3, f(x) = sÄ… nieparzyste. x Twierdzenie.
JeÅ›li X = -X (x " X Ô! -x " X) f : X - to istniejÄ… wyznaczone jednoznacznie funkcje g i h takie, że g jest parzysta, h nieparzysta i "x " X f(x) = g(x) + h(x).
Funkcje g i h są dane wzorami f(x) + f(-x) f(x) - f(-x) g(x) = , h(x) = . 2 2 Przykład. Jeśli f(x) = 2x4 - 7x3 + 21x2 - 13x + 6 to g(x) = 2x4 + 21x2 + 6, h(x) = -7x3 - 13x. Funkcje hiperboliczne. 1 1 f(x) = ex, g(x) = (ex + e-x), h(x) = (ex - e-x) 2 2 1 cosinus hiperboliczny - cosh x = (ex + e-x); 2 49 1 sinus hiperboliczny - sinh x = (ex - e-x); 2 sinh x ex - e-x tangens hiperboliczny - tgh x = = ; cosh x ex + e-x cosh x ex + e-x cotangens hiperboliczny - ctgh x = = . sinh x ex - e-x Własności. cosh x jest funkcją parzystą, pozostałe są nieparzyste.
Dcosh = Dsinh = Dtgh = , Dctgh = \ {0}. cosh2(x) - sinh2(x) = 1 - jedynka hiperboliczna x + y x - y cosh x + cosh y = 2cosh cosh wzór cosinusów hiperbolicznych 2 2 cosh(x + y) = cosh x · cosh y + sinh x · sinh y sinh(x + y) = sinh x · cosh y + cosh x · sinh y tgh x · ctgh x = 1.
sinh : - - bijekcja. 1 (ex - e-x) = y Ô! · · · Ô! x = ln y + y2 + 1 2 sinh-1 = Arsh, Arsh y = ln y + y2 + 1 50 Szeregi nieskoÅ„czone. " N Szereg nieskoÅ„czony o wyrazie an to para ((an)n" , (Sn)n" ) gdzie Sn = ak. 0 0 n=0 k=0 Zatem " N an = ((an)n" , (Sn)n" ) , Sn = ak 0 0 n=0 k=0 "
df szereg an jest zbieżny Ô! ciÄ…g (Sn) jest zbieżny Ô! "S " S = lim Sn n" n=0 Ó! " an = S n=0 Ważny przykÅ‚ad. " 1 |q| < 1 Ò! qn = . 1 - q n=0 Szereg nieskoÅ„czony, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym. Warunek konieczny zbieżnoÅ›ci. lim Sn = S Ò! lim Sn+1 = S Ò! lim an+1 = lim (Sn+1 - Sn) = S - S = 0 n" n" n" n" " szereg an jest zbieżny Ò! lim an = 0. n" n=0 PrzykÅ‚ad. " " " Å»aden z szeregów 1, (-1)n, n nie może być zbieżny. n=0 n=0 n=0 Warunek Cauchy ego dla szeregów. ëÅ‚ öÅ‚ " n íÅ‚ szereg an jest zbieżny Ô! "µ > 0 "N n > m N Ò! ak < µÅ‚Å‚ n=0 k=m+1 n n Ponieważ ak |ak| to wynika stÄ…d nastÄ™pujÄ…ce twierdzenie k=m+1 k=m+1 51 Twierdzenie. " " szereg |an| jest zbieżny Ò! szereg an jest zbieżny n=0 n=0 Ó! n |ak| - ograniczony. k=0 " an 0 an - szereg o wyrazach nieujemnych n=0 " an > 0 an - szereg o wyrazach dodatnich n=0 " sgn an+1 = -sgn an = 0 an - szereg naprzemienny
n=0 PrzykÅ‚ad. " " 1 1 = - szereg harmoniczny n+1 n n=0 n=1 Mamy 1 1 1 1 1 S2n - Sn = + + · · · + n2n = Ò! n+1 n+2 2n 2 n-2 n n n-1 n-1 S2 = (S2 - S2 ) + (S2 - S2 ) + · · · + S2 - S1 + S1 n1 + 1 Ò! 2 szereg harmoniczny jest rozbieżny. Kryterium porównawcze. Twierdzenie " " Niech an, bn bÄ™dÄ… szeregami o wyrazach dodatnich. JeÅ›li n=0 n=0 an an 1 0 < Ä… lim inf lim sup , bn n" bn Ä… n" bn n co jest równoważne, ze ciÄ…gi (a ), (a ) sÄ… ograniczone, bn n to obydwa szeregi sÄ… równoczeÅ›nie zbieżne lub rozbieżne. D. Wystarczy wykazać dwie implikacje, przy zaÅ‚ożeniu 0 an Ä…bn, Ä… > 0, " " bn zbieżny Ò! an zbieżny n=0 n=0 " " an rozbieżny Ò! bn rozbieżny n=0 n=0 Pierwsza implikacja wynika z warunku Cauchy ego dla szeregów, a druga implikacja " jest konsekwencjÄ… pierwszej (gdyby szereg bn byÅ‚by zbieżny to również zbieżny n=0 " bÄ™dzie szereg an, wbrew zaÅ‚ożeniu). n=0 52 " " Szereg bn w pierwszej implikacji nazywamy majorantÄ… zbieżnÄ… szeregu an, a n=0 n=0 " " szereg an w drugiej implikacji nazywamy minorantÄ… rozbieżnÄ… szeregu bn. n=0 n=0 "
1 PrzykÅ‚ad. Dla s " rozważmy szereg . (n+1)s n=0 " 1 1 s 0 to Ò! rozbieżny (nie jest speÅ‚niony warunek konieczny (n+1)s 1 (n+1)s n=0 zbieżnoÅ›ci) " " 1 1 1 1 0 < s 1 to Ò! rozbieżny (szereg harmoniczny (n+1)s n+1 (n+1)s (n+1) n=0 n=0 jest minorantÄ… rozbieżnÄ…). " 1 1 s = 2 Dla szeregu mamy Sn = 1 - 1n+2 1, czyli szereg ten jest (n+1)(n+2) n=0 " 1 1 1 zbieżny. Ponieważ lim : = 1 to szereg jest zbieżny (n+1)(n+2) (n+1)2 (n+1)2 n" n=0 Ó! " 1 s 2 Ò! zbieżny. (n+1)s n=0 1 < s < 2 ? 53