MB, Wykład 6
7. Obliczanie przemieszczeń ustrojów statycznie wyznaczalnych (USW)
7.1. Zasada pracy wirtualnej
Zajmujemy się wyznaczaniem uogólnionych przemieszczeń w USW wywołanych przez 3
przyczyny (działania):
p) obciążenia statyczne (statycznie przykładane) którymi są wszelkiego rodzaju siły
uogólnione,
t) zmiany temperatury, dla równomiernych lub nierównomiernych ogrzewań prętów,
g) wstępne przemieszczenia więzów , np. osiadania podpór, niedokładności montażu itp.
7.1.1 Praca wirtualna uogólnionych siłprzekrojowych
Korzystamy z zasady prac wirtualnych dla pól sił przekrojowych w stanie i-tym
Mi (x), Ni (x), Qi (x) . (44)
W stanie j-tym działają 3 wymienione przyczyny wywołujące przemieszczenia
"M , "N , "Q . (45)
j j j
Praca wirtualna obciążeń
Uogólnione przemieszczenia wirtualne sił przekrojowych wynoszą:
M N Ç Qp
p p
"M = ds, "N = ds, "Q = . (46)
p p p
EI EA GA
i dają elementarna pracę wirtualna dla elementu długości pręta dx:
Mi M Ni N º Qi Qp
ëÅ‚ öÅ‚
p p
w
ìÅ‚ ÷Å‚
dWip = (Mi "M + Ni "N + Qi "Q)= + + dx (48)
p p p
ìÅ‚ ÷Å‚
EI EA GA
íÅ‚ Å‚Å‚
Całkowita praca wirtualna jest określona wzorem
Mi M Ni N º Qi Qp
p p
w
Wip = dx + dx + dx . (49)
" " "
+" +" +"
EI EA GA
u u u
(l) (l) (l)
Praca wirtualna od zmian temperatury
Zakładamy liniową zmianę temperatury T (y) wzdłuż wysokości przekroju. Dalej pola
temperatury dla wybranych brzegów prętów oznaczamy przez:
Td (x) =T (x; yd ), Tg (x) =T (x; yg ), "T (x) = Td (x) - Tg (x), T0(x) =T (x;0). (50)
Oznaczamy temperatury zaznaczono na Rys. 28a
Rys. 28
Z przyrostów temperatur i współczynnika rozszerzalności liniowej wynikają uogólnione
przemieszczenia wirtualne:
Tg - Td Ä… "T
M N Q
"T = Ä… ds = ds, "T = Ä… T0 ds, "T = 0 . (52)
h h
Całkowita praca wirtualna sił przekrojowych od zmiany temperatury jest określona wzorem:
Ä… "T
w
WiT = Mi ds + NiÄ… T0ds (53)
" "
+" +"
h
u u
(l) (l)
Praca wirtualna od zadanych przemieszczeń więzów
Przemieszczenia więzów USW wywołują przemieszczenia ustroju jako ciała sztywnego.
Stąd wynika brak przemieszczeń przekrojów od znanych przemieszczeń więzów:
N
"M = 0, " = 0, "Q = 0, (54)
g g g
A więc praca wirtualna USW jest równa zeru:
w
Wig = 0 . (55)
Zasada pracy wirtualnej (ZPW)
Jeśli ustrój znajduje się w równowadze pod działaniem czynników zewnętrznych, to dla
każdego pola przemieszczeń wirtualnych praca uogólnionych sił zewnętrznych jest równa
pracy sił wewnętrznych (sił przekrojowych).
z w
Wij = Wij . (56)
ZPW jest jedną z najogólniejszych zasad mechaniki i obowiązuje zarówno w układach
liniowych jak też nieliniowych (w tym sprężystych i niesprężystych). ZPW obowiązuje zarówno
dla obciążeń potencjalnych (np. ciężar własny) jak też niepotencjalnych (np. parcie wiatru),
nazywanych problemami konserwatywnymi lub niekonserwatywnymi.
ZPZ stosuje się do wyprowadzenia równań równowagi dla dowolnych ustrojów (nie tylko
prętów, ale też płyt i powłok). Zasada pozwala też wyprowadzić spójne równanie równowagi i
warunki brzegowe.
2. Wzór Maxwella-Mohra
ZPW stosujemy do obliczania przemieszczeń USW. Pokazujemy to na przykładzie ramy
płaskiej, Rys. 2.
Rys. 29
Rozważamy 2 stany. W stanie i-tym USW jest poddany działaniu czynników zewnętrznych
(obciążenia, zmiany temperatury i osiadaniu podpór; na Rys. 29 podpora B osiada o wartość
"B = "3 ). W stanie j- tym występuje tylko jedna uogólniona siła Pi = 1, przyłożona w punkcie C
i działająca w punkcie przyłożenia i po kierunku poszukiwanego przemieszczenia i-tego.
Uogólniony charakter siły Pi odpowiada uogólnionemu przemieszczeniu (siła skupiona
odpowiada przemieszczeniu przesuwnemu, moment, kÄ…towi obrotu).
W stanie j-tym obliczamy pola sił wewnętrznych M (x), N (x), Q (x) od obciążeń
j j j
działających na USN. W stanie i-tym są obliczane reakcje Rk oraz pola sił wewnętrznych
M (x), N (x), Q (x) od siły jednostkowej Pi = 1. Przyjmujemy, że wykonują one pracę na
j j j
przemieszczeniach stanu j-tego, które traktujemy jako wirtualne. Dla takich stanów piszemy
ZPW:
z w
Wij a" Pi"ij + Rk"k = Wij , (57)
"
k
która dla Pi = 1daje:
1 ëÅ‚W w - Rk "k öÅ‚
"ij = . (58)
ìÅ‚ " ÷Å‚
Pi íÅ‚ ij k Å‚Å‚
W ten sposób jest wyprowadzony wzór Maxwella-Mohra (MM), który w postaci ogólnej
ma postać:
Mi M Ni N Ç Qi Q
j j j
"ij = dx + dx + dx +
" " "
+" +" +"
EI EA GA
u u u
(l) (l) (l)
Ä… "T
Mi dx + Ni Ä… T0 dx -"
Rk "k.
" "
+" +"
(59)
h
u u k
(l) (l)
Wzór podaje uogólnione przemieszczenie w kierunku i-tym od wszystkich zewnętrznych
przyczyn występujących w stanie j. We wzorze (8) wielkości z nadkreśleniami odnoszą się do i-
tego stanu jednostkowego, w którym ustrój jest obciążony tylko jedną jednostkową i
bezwymiarową uogólnioną siłą Pi = 1.
W zależności od przyczyn i typu USN wzór może zawierać tylko wybrane człony. Np. w
przypadku niepodatnych więzów wszystkie "k = 0 i znika ostatni człon w (8). Jeśli ustrój typu
ramowego jest złożony ze smukłych prętów to zachowujemy tylko człony z polami elementów.
Jeśli pręty będą krepe to uwzględniamy człon z siłami poprzecznymi. W kratownicach
zachowujemy tylko człony z siłami podłużnymi itd.
Przykład 1. Jako prostą ilustrację rozpatrujemy obliczanie ugięć belki przegubowo podpartej,
Rys.30. ZakÅ‚adamy, że belka jest o przekroju prostokÄ…tnym b×h i moduÅ‚ Å›cinania G = (3/ 8)E.
Zajmujemy się dwoma przypadkami obciążenia: a) obciążenie równomiernie rozłożone q , b) siła
skupiona P , Rys. 30a,b. Celem obliczenia ugięcia w środku belki przykładamy siłę P1 = 1 , Rys.
30c.
Rys. 30
Dla przypadków a, b, c) piszemy pola momentów i sił poprzecznych:
q l
ëÅ‚
a) M = (lx - x2), Qq = q - xöÅ‚ dla 0 d" x d" l
ìÅ‚ ÷Å‚
q
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
x l
Å„Å‚P
P l
Å„Å‚
dla 0 d" x d"
dla 0 d" x d"
ôÅ‚
ôÅ‚
2 2
ôÅ‚ ôÅ‚
2 2
b) M = , QP =
òÅ‚ òÅ‚
P
ôÅ‚PëÅ‚ l - x öÅ‚ dla l d" x d" l ôÅ‚- P dla l < x d" l
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
2 2 2
ół 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
ół
x l 1 l
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚2 dla 0 d" x d" 2 ôÅ‚2 dla 0 d" x < 2
ôÅ‚ ôÅ‚
c) Mi = Qi =
òÅ‚ òÅ‚
l x l
ôÅ‚ ôÅ‚- 1 dla l < x d" l
ôÅ‚2 - 2 dla 2 d" x d" l, ôÅ‚
ół ół 2 2 2
We wzorze (59) M-M zachowujemy wyrazy odpowiadajÄ…ce momentowi zginajÄ…cemu i sile
poprzecznej
l l
M1M Ç Q1 Qp
p
"1p = dx + dx (60)
+" +"
EI GA
0 0
Dalej maksymalne ujęcie oznaczymy przez "1p = f i obliczamy je dla przypadków
a) i b):
l / 2 l
îÅ‚
q x l x x x2 ÷Å‚dxśł
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚ Å‚Å‚ +
a) f = (lx - x2)dx + - ÷Å‚ìÅ‚ -
ïÅ‚ ìÅ‚
+" +"
EI 4 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ìÅ‚ 2 2 ÷Å‚ śł
ïÅ‚ 0 l / 2
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
l
îÅ‚l / 2 ëÅ‚ Å‚Å‚
1.2q 1 l
ëÅ‚- 1 l
öÅ‚ëÅ‚
ìÅ‚ - xöÅ‚ dx +
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ - xöÅ‚dxśł =
÷Å‚
+" +"
ïÅ‚
3
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ 0 l / 2 ûÅ‚
EA
8
öÅ‚
5 ql4 385 6 I 5 ql4 ëÅ‚
ëÅ‚1+ Å" Å" öÅ‚
ìÅ‚1+ 2.56 h2 ÷Å‚
= =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
384 EI 384 EI
íÅ‚ 5l2 15 A Å‚Å‚ l2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
(61)
2
îÅ‚l / 2 Å‚Å‚ l
îÅ‚l / 2 Å‚Å‚
P x2 l l x 6 Å"8 P 6 Å"8 P 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
b) f = ïÅ‚ dx + - ÷Å‚
dx + + dx + dxśł =
śł
ìÅ‚
+" +" +" +"
ïÅ‚
EI 4 2 2 5Å"3 EA 5Å"3 EA 4 4
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ 0 l / 2 śł ðÅ‚ 0 l / 2 ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Pl3 48 48 I Pl3 ëÅ‚ h2 öÅ‚
ëÅ‚1+ Å" Å" öÅ‚
ìÅ‚1+ 3.2 ÷Å‚
=
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
48EI 48EI
íÅ‚ l2 15Å" 4 A Å‚Å‚ l2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
W obliczeniach zginanych PUP często zachowujemy we wzorach M-M tylko człon z
momentami zginającymi. W rozwiązaniach (61) widać, że błąd popełniony przez pomijanie
wpływu sił poprzecznych dla belki obciążonej siłą skupioną wynosi:
h2
B = 3.2 Å"100% (62)
2
l
a więc zależy od smukłości belki określanej stosunkiem wymiarów h / l . W tablicy 1 podano
wartości B(h / l). Widać, że dla h / l < 1/10 błąd wynosi B d" 3.2% . Dlatego iloraz l/h jest
oszacowaniem prętów smukłych (l / h > 10) od krępych(l / h < 8)
l/h 5 8 10 15 20
B [%] 12.8 5 3.2 1.42 0.8
Przykład 3. Przykłady stanów jednostkowych
Rys. 31
PrzykÅ‚ad 2. Obliczyć przemieszczenia uA, vA i Õ koÅ„ca smukÅ‚ego, pÅ‚askiego prÄ™ta koÅ‚owego o
A
sztywności na zginanie EI = const ., Rys. 32
Rys. 32
Pola momentów
M (Õ) = -P r sinÕ , M1(Õ) = 1× r sinÕ , M (Õ) = 1× r ×(1- cosÕ), M (Õ) = -1.
p 2 3
We wzorze MM uwzględniamy jedynie człon od zginania
Ä„ / 2
Mi M
1
p
"ip = ds = Mi M r dÕ
+" +"
p
EI EI
(l) 0
Ä„ / 2 Ä„ / 2
Ä„ / 2
1 1 Pr3 Õ sin 2Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
uA = M1(Õ)Å" M (Õ)r dÕ = r sinÕ Å"(- P r sinÕ)r dÕ == - ìÅ‚ - ÷Å‚
+" +"
p
0
EI EI EI 2 4
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
Pr3Ä„
-
EI
Ä„ / 2
Ä„ / 2
1 Pr3 Ä„ / 2 Pr3 cos 2Õ
ëÅ‚cosÕ öÅ‚
vA = M (Õ)Å" M (Õ)r dÕ = (1- cosÕ)(-sinÕ) dÕ = - ìÅ‚ - =
÷Å‚
+" +"
2 p
0
EI EI EI 4
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
P r3
-
EI
Ä„ / 2
Ä„ / 2
1 Pr3 Ä„ / 2 P r2
ëÅ‚cosÕ - cos 2Õ
öÅ‚
Õ = (-1)Å"(- Pr sinÕ)r dÕ = =
ìÅ‚ ÷Å‚
+" +"
A
0
EI EI 4 EI
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
Uwaga: Znaki obliczonych uogólnionych przemieszczeń są odnoszone do zwrotów sił Pi .
Przykłady do ćwiczeń
Przykład 3. Przykład 5.2 z [1], str.38
Przykład 4. Przykład 5.3 z [1], str. 3
gdzie: [1] Skrypt: B. Olsdzowski, Z. Stojek i Z. Waszczyszyn, Zarys mechaniki Budowli,
Politechnika Krakowska, Kraków 1978
4. Całkowanie graficzne
Zamiast całkowania analitycznego można posłużyć się tzw. całkowaniem graficznym.
Odnosi się to do przypadku gdy jeden z wykresów jest prostoliniowy. Rys.8.
Rys. 33
Obliczamy caÅ‚kÄ™ z iloczynu funkcji fi (x)Å" f (x)
j
l l
I = fi(x) f (x)dx = (a + x)tgÄ… Å" f (x)dx = (a + xc) tgÄ… Å" Aj = yci Å" Aj
+" +"
j j
0 0
Co piszemy w postaci wzoru całkowania graficznego
l
fi(x) f (x)dx = yci Å" Aj (63)
+"
j
0
Wzór (11) możemy wyrazić słowami:
l
Całka fi(x)f (x)dx , w której fi(x) jest funkcją liniową, a f (x) jest dowolną funkcją
j j
+"
0
zmiennej x jest równa polu powierzchni Aj zawartej między krzywą f (x) i osią x ,
j
pomnożoną przez rzędną yic = fi(xcj ) obliczoną dla funkcji fi(x) dla rzędnej xcj
określającej środek ciężkości pola Aj . Rys.33.
Korzystanie z całkowania graficznego ilustrujemy na przykładzie obliczania maksymalnego
ugięcia i kąta obrotu belki wolnopodpartej, Rys.34.
Rys. 34.
Najpierw obliczymy uogólnione przemieszczenia od obciążenia siłą skupioną
l
M M
1 1 1 1 1 Pl Pl2
2 p ëÅ‚- öÅ‚
"2P = dx = = yc2 A2 = Å" l = - = ÕB
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
EI EI EI EI 2 2 4 16EI
íÅ‚ Å‚Å‚
0
Bardzo często korzystamy z superpozycji wykresów. Pokazujemy to na przykładzie ugięcia
"1p = vc
1 2 2 l 1 Pl l Pl3
"1p = vB = = = =
EI EI EI 6 2 4 2 48EI
i stąd ogólne wzory
1 1
" = = a Å" b Å" l, " = = a Å" b Å" l
3 6
a 2 1
" = = f Å" l = a f l,
2 3 3
które służą ułożeniu tablic całek graficznych. Taką skróconą Tabl. 1 przytoczono niżej.
Tablica 1
Przykład 5 Przykład 7.1, [1], str. 45
Przykład 6. Przykład 7.2, [1] ss. 47  49
Przykład 7. Przykład 7.3, [1], ss. 49-50