Zad.1.
Model programowania liniowego jest to analityczna (matematyczna) postać abstrakcji rzeczywistego
zjawiska, czy procesu cechującego się ściśle, bądz
też częściej aproksymacją (przybliżeniem) liniowego
charakteru zmian tego procesu.
W postaci standardowej (w notacji macierzowej) model programowania liniowego przyjmuje postać
następującą:
Funkcja celu (uwzględniająca kryterium efektywności):
Z=cTx max,min
Oraz liniowe warunki uboczne (warunki ograniczajÄ…ce):
Ax=b1
i warunki brzegowe (warunki nieujemności):
xe"0
gdzie:
Z  funkcja celu;
x - wektor zmiennych decyzyjnych (zmiennych kontrolowanych procesu);
c  wektor parametrów funkcji celu;
A  macierz parametrów stojących po lewej stronie równań warunków brzegowych;
b  wektor ograniczeń równań warunków brzegowych.
Aby sytuacja decyzyjna mogła zostać zaklasyfikowana do zadań modeli liniowych musi cechować się
następującymi właściwościami:
-ð Proporcjonalność  zmian wartoÅ›ci kryterium efektywnoÅ›ci oraz wartoÅ›ci parametrów ograniczajÄ…cych
względem zmian decyzyjnych;
-ð Addytywność  nakÅ‚adów i efektów;
-ð Podzielność (nieskoÅ„czona)  wartoÅ›ci zmiennych decyzyjnych;
-ð Determinizm  sytuacji decyzyjnej (Å›cisÅ‚e zdefiniowanie problemu).
Algorytm budowania modelu liniowego jest następujący:
(1) Zdefiniowanie problemu decyzyjnego
(2) Analiza jakościowa problemu  sprawdzenie czy dany problem należy do klasy modeli
decyzyjnych: aby tak było sytuacja decyzyjna musi spełnić warunki posiadania decydenta (czyli osoby
podejmującej decyzję) oraz pole decyzyjne (przynajmniej muszą istnieć 2 alternatywne względem siebie decyzje,
które są powiązane ze sobą relacją preferencji/obojętności);
(3) Analiza ilościowa (konstrukcja modelu): określenie funkcji celu, kryterium efektywności,
zmiennych decyzyjnych, zmiennych obojętnych określających warunki brzegowe modelu. W tej części ustalana
jest również postać analityczna modelu (liniowa/nieliniowa) przy uwzględnieniu rozpatrywanego horyzontu
1 Zapis ten odpowiada modelowi w postaci kanonicznej. Dla modelu w postaci niezbilansowanej w przypadku
szukania maksimum funkcji w warunkach ubocznych stosowany jest znak d". Natomiast przy poszukiwaniu minimum
funkcji wstawiamy znak e".
czasowego;
(4) Walidacja poprawności stworzonej abstrakcji matematycznej  tzn. sprawdzeniu czy model
w konfrontacji z zastosowaniu zdanymi statystycznymi dobrze odzwierciedla rzeczywistość;
(5) Implementacja modelu  Prezentacja modelu Uzyskanie wyniku Podjęcie decyzji w
oparciu o zastosowany model;
(6) Analiza pooptymalizacyjna  analiza RHS i OFC.
Klasy zadań PL, to np.: zagadnienia przydziału (w szczególności możemy wyróżnić
zagadnienia transportowe), zadania optymalizacji dyskretnej (w tym: zagadnienia
całkowitoliczbowego PCL, zadania programowania binarnego PBL, zadania programowania
mieszanego liniowego PML), problem komiwojażera.
Zad.2
xij  zmienna decyzyjna oznaczająca liczbę ton i tego surowca zaangażowanego w produkcję j-tej
mieszaniny.
cij  jednostkowy zysk z zaangażowania i-tego surowca w j-tą mieszankę.
Funkcja kryterium:
2 3
F ( x)= cij xij= 3x11+ 6x12+ 9x13+ 4x21+ 7x22+ 11x23 max
Å"
" "
i= 1 j= 1
Warunki podażowe (posiadane zasoby surowców):
x11 + x12 + x13 d" 28
x11 + x12 + x13 d" 25
Warunki popytowe (zapotrzebowanie zgłaszane przez odbiorcę):
x11 + x21 e" 20
x12 + x22 e" 10
x13 + x23 e" 4
Warunki technologiczne:
0,15ØeÜ11 + 0,25ØeÜ21
e" 0,15
5ØeÜ11 + 5ØeÜ21
0,055ØeÜ12 + 0,045ØeÜ22
e" 0,045
5ØeÜ12 + 5ØeÜ22
5ØeÜ13
e" 3
5ØeÜ23
Warunki brzegowe:
xij e" 0
Zad.3.
Ad. a) Aby produkt P2 pozostał w optymalnym planie produkcji jednostkowy koszt wytworzenia tegoż
produktu może wzrosnąć co najwyżej o 8,5 zł, gdyż tyle wynosi dopuszczalny spadek marży.
Ad b) Dla produktu P3 podwyższenie marży do wartości 25 zł nie spowoduje zmian w optymalnej
strukturze produkcji, gdyż 25 zł - 12 zł < 39 zł a dopuszczalny wzrost marży wynosi 39 zł.
Ad c) Zmniejszenie tygodniowego limitu zasobu B o 250 jednostek spowoduje zmiany w aktualnym
asortymencie produkcji, gdyż dopuszczalny limit wynosi 200 jednostek.
Ad d) Na podstawie tabel możemy powiedzieć że zasób C jest zasobem wiążącym, ponadto jednostkowy
przyrost zasobu C spowoduje wzrost zysku o 0,2857 zł. Dodatkowo wzrost zasobu C o 600 jednostek nie
spowoduje zmiany w aktualnym asortymencie produkcji. Zatem dla przyrostu o 500 jednostek zasobu C zysk ze
sprzedaży wzrośnie o:
500 * 0,2857 zł = 142,85 zł
Ad e) Wykonanie planu optymalnego wiąże się z konsekwencją niewykorzystania zasobów A i D
odpowiednio w ilościach: 742,857 oraz 214,285 jednostek.
Zad.4.
Ad. A) Model ten należy do klasy modeli deterministycznych optymalizacji zapasów, a bardziej
szczegółowo do klasycznego modelu optymalnej partii zamówienia (EOQ). Ponieważ w rozpatrywanym
zadaniu chodzi o sprzedaż obuwia w sklepie, tym samym nie interesuje nas w żadnym stopniu produkcja (w
typowym modelu zapasy robione sÄ… w celu zapewnienia produkcji co powoduje innÄ… konstrukcjÄ™ modelu
uwzględniającą jednostkową cenę wytworzenia produktu).
Całkowity koszt utrzymania zapasów sprowadza się do postaci:
5Ø7Ü5Ø>Ü !5ØDÜ"
5ØGÜ5Ø>Ü" = +
5ØDÜ" 2
Natomiast optymalna ilość zamówienia Q powinna wynieść:
25Ø7Ü5Ø>Ü
"
5ØDÜ" =
!
Do rozwiązania tego typu zadania niezbędna jest znajomość następujących zmiennych:
D  w rozpatrywanym horyzoncie decyzyjnym stałe zapotrzebowanie na obuwie;
K  stały (niezależny od wielkości zamówienia i czasu) koszt odnowienia;
h  stały w czasie koszt jednostkowy koszt magazynowania.
Ad. B) Model ten należy do stochastycznych modeli zapasów charakteryzujących się popytem opisanym
rozkładem losowym (najczęściej rozkładem normalnym)- klasa modelu jednookresowego.
Całkowity koszt utrzymania zapasów sprowadza się do postaci:
KT(d, Q) = pQ + b max(0, d - Q) + h max(0, Q - d)
Natomiast optymalna ilość zamówienia Q powinna wynieść:
5ØOÜ - 5Ø]Ü
( )
5Ø9Ü 5ØDÜ" =
5ØOÜ + !
A więc optymalna partia zakupu Q* jest wielkością dla której dystrybuanta popytu przyjmuje wartość
(b-p)/(b+h).
Do rozwiązania tego typu zadania niezbędna jest znajomość następujących zmiennych:
d  w rozpatrywanym horyzoncie decyzyjnym stałe zapotrzebowanie na obuwie;
K  stały (niezależny od wielkości zamówienia i czasu) koszt odnowienia;
h  stały w czasie koszt jednostkowy koszt magazynowania.
p  cena jednostkowa
b - koszt jednostkowy niezaspokojonego popytu b
Zad.5.
Funkcja celu (maksymalizacja użyteczności pakietu medycznego):
20
" u5ØVÜ5ØeÜ5ØVÜ 5ØZÜ5ØNÜ5ØeÜ
5ØVÜ=1
Warunki ograniczające (maksymalizacja użyteczności pakietu medycznego):
wi < W
20
" 5ØdÜ5ØVÜ 5ØeÜ5ØVÜ d" 5ØJÜ
5ØVÜ=1
20
" 5ØdÜ5ØVÜ > 5ØJÜ
5ØVÜ=1
5ØeÜ35ØeÜ55ØeÜ65ØeÜ12 e" 1
5ØeÜ75ØeÜ8 = 0 & 5ØeÜ7+5ØeÜ8 e" 1
-25ØeÜ15 + 5ØeÜ17 e" 0
( )
5ØeÜ20 5ØeÜ18 + 5ØeÜ19 = 0
Warunki brzegowe:
5ØeÜ5ØVÜ e" 0
5ØeÜ " 5Ø6Ü
Zad.6.
Dla klasycznego zagadnienia transportowego model wygląda następująco:
Funkcja kryterium:
3 5
5ØgÜ = " " 5ØPÜ5ØVÜ5ØWÜ5ØeÜ5ØVÜ5ØWÜ 5ØZÜ5ØVÜ5Ø[Ü
5ØVÜ=1 5ØWÜ=1
Warunki podażowe:
5
" 5ØeÜ5ØWÜ d" 5ØNÜ5ØVÜ dla i = 1,2,3
5ØWÜ=1
Warunki popytowe:
3
" 5ØeÜ5ØVÜ = 5ØOÜ5ØWÜ dla j = 1, & ,5
5ØVÜ=1
Warunki brzegowe:
5ØeÜ5ØVÜ5ØWÜ e" 0 dla i = 1,2,3 oraz j = 1, & ,5
Ażeby istniało rozwiązanie musi zostać spełniony następujący warunek:
3 5
" 5ØNÜ5ØVÜ e" " 5ØOÜ5ØWÜ
5ØVÜ=1 5ØVÜ=1