METODA PRZEMIESZCZEN
1
OBLICZANIE UKA
ADÓW STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH
METOD
PRZEMIESZCZEC
.
Zadana rama wygląda następująco:
0,006
EI2 EI2
EI2
EI1 EI1
Dobieram schemat podstawowy i zapisuję układ równań kanonicznych:
EI2 EI2
EI2
EI1 EI1
r11 Å"Õ1 + r12 Å"Õ2 + r13 Å" "3 + R1P = 0
Å„Å‚
ôÅ‚r Å"Õ1 + r22 Å"Õ2 + r23 Å" "3 + R2P = 0
òÅ‚
21
ôÅ‚r Å"Õ1 + r32 Å"Õ2 + r33 Å" "3 + R3P = 0
ół 31
Politechnika Poznańska Adam A
odygowski ®
0,008
METODA PRZEMIESZCZEN
2
Przyjmuję współczynnik porównawczy sztywności:
EI1 = 4243,5[kNm2]
EI2 = 8712,5 [kNm2]
EI0 = EI2 = 8712,5 [kNm2]
EI1 = 0,487 Å" EI0
Równanie łańcucha kinematycznego dla przedstawienia obrotu cięciwy przez
przemieszczenie ":
015
È Å" 0 +È Å" 6 = 0 È = 0
01 15 15
510
È Å" 0 +È Å" 6 = 0 È = 0
15 10 10
43
"
È Å" 6 = " È =
43 34
6
51234
1
È Å" 0 -È Å" 6 -È Å" 6 -È Å"1 = 0 È = -È -È Å"
15 12 12 34 12 23 34
6
5123
37
È Å" 0 +È Å"1 -È Å"1 = " È = - "
51 12 12 23
72
35
È = "
12
72
Rysuję stany od zadanych jednostkowych przesunięć:
Stan 1: Õ1 =1 Õ2 = 0 " = 0
2EI2 2EI0
1
M = Å" (2 Å"Õ0 + Õ1 - 3 Å"È )= Å" (2 Å" 0 + 1 - 3 Å" 0)= Å" EI0
01 01
l 6 3
2EI2 2EI0
2
M10 = Å" (2 Å"Õ1 + Õ0 - 3 Å"È )= Å" (2 Å"1 + 0 - 3 Å" 0)= Å" EI0
01
l 6 3
2EI1 2EI0 Å" 0,487
M15 = Å" (2 Å"Õ1 + Õ5 - 3 Å"È )= Å" (2 Å"1 + 0 - 3 Å" 0)= 0,3247 Å" EI0
15
l 6
2EI1 2EI0 Å" 0,487
M = Å" (2 Å"Õ5 + Õ1 - 3 Å"È )= Å" (2 Å" 0 + 1 - 3 Å" 0)= 0,16235 Å" EI0
51 15
l 6
2EI2 2EI0 ëÅ‚2
35
M12 = Å" (2 Å"Õ1 + Õ2 - 3 Å"È )= Å" Å"1 + 0 - 3 Å" Å" 0öÅ‚ = 0,65759 Å" EI0
ìÅ‚ ÷Å‚
12
l 72
37 íÅ‚ Å‚Å‚
2EI2 2EI0 ëÅ‚2
35
M = Å" (2 Å"Õ2 + Õ1 - 3 Å"È )= Å" Å" 0 + 1 - 3 Å" Å" 0öÅ‚ = 0,32879 Å" EI0
ìÅ‚ ÷Å‚
21 12
l 72
37 íÅ‚ Å‚Å‚
3EI2 3EI0 ëÅ‚0
37
M = Å" (Õ2 -È )= Å" + Å" 0öÅ‚ = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
23 23
l 72
37 íÅ‚ Å‚Å‚
M = 0
32
M = 0
34
3EI2 3EI0 ëÅ‚0
1
M = Å" (Õ4 -È )= Å" - Å" 0öÅ‚ = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
43 43
l 6
37 íÅ‚ Å‚Å‚
Politechnika Poznańska Adam A
odygowski ®
METODA PRZEMIESZCZEN
3
Wyznaczenie reakcji r11 i r21 z równowagi węzłów:
r11 = 1,64896 EI
r21 = 0,32879 EI
Reakcje r31 obliczÄ™ korzystajÄ…c z równania pracy wirtualnej (obroty È ze strony 2):
r31 Å" " + (0,65759 + 0,32879)Å" EI0 Å"È = 0
12
35
r31 Å" " + (0,65759 + 0,32879)Å" EI0 Å" Å" " = 0
72
r31 = -0,47949 EI
Politechnika Poznańska Adam A
odygowski ®
METODA PRZEMIESZCZEN
4
Stan 2: Õ1 = 0 Õ2 =1 " = 0
2EI2 2EI0
M = Å" (2 Å"Õ0 + Õ1 - 3 Å"È )= Å" (2 Å" 0 + 0 - 3 Å" 0)= 0
01 01
l 6
2EI2 2EI0
M10 = Å" (2 Å"Õ1 + Õ0 - 3 Å"È )= Å" (2 Å" 0 + 0 - 3 Å" 0)= 0
01
l 6
2EI1 2EI0 Å" 0,487
M15 = Å" (2 Å"Õ1 + Õ5 - 3 Å"È )= Å" (2 Å" 0 + 0 - 3 Å" 0)= 0
15
l 6
2EI1 2EI0 Å" 0,487
M = Å" (2 Å"Õ5 + Õ1 - 3 Å"È )= Å" (2 Å" 0 + 0 - 3 Å" 0)= 0
51 15
l 6
2EI2 2EI0 ëÅ‚2
35
M12 = Å" (2 Å"Õ1 + Õ2 - 3 Å"È )= Å" Å" 0 + 1 - 3 Å" Å" 0öÅ‚ = 0,32879 Å" EI0
ìÅ‚ ÷Å‚
12
l 72
37 íÅ‚ Å‚Å‚
2EI2 2EI0 ëÅ‚2
35
M = Å" (2 Å"Õ2 + Õ1 - 3 Å"È )= Å" Å"1 + 0 - 3 Å" Å" 0öÅ‚ = 0,65759 Å" EI0
ìÅ‚ ÷Å‚
21 12
l 72
37 íÅ‚ Å‚Å‚
3EI2 3EI0 ëÅ‚1
37
M = Å" (Õ2 -È )= Å" + Å" 0öÅ‚ = 0,49319 Å" EI0
ìÅ‚ ÷Å‚
23 23
l 72
37 íÅ‚ Å‚Å‚
M = 0
32
M = 0
34
3EI2 3EI0 ëÅ‚0
1
M = Å" (Õ4 -È )= Å" - Å" 0öÅ‚ = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
43 43
l 6
37 íÅ‚ Å‚Å‚
Wyznaczenie reakcji r12 i r22 z równowagi węzłów:
Politechnika Poznańska Adam A
odygowski ®
METODA PRZEMIESZCZEN
5
r12 = 0,32879 EI
r22 = 1,15078 EI
Reakcje r32 obliczÄ™ korzystajÄ…c z równania pracy wirtualnej (obroty È ze strony 2):
r32 Å" " + (0,65759 + 0,32879)Å" EI0 Å"È + 0,49319 Å" EI0 Å"È = 0
12 23
35
ëÅ‚- 37
öÅ‚
r32 Å" " + (0,65759 + 0,32879)Å" EI0 Å" Å" " + 0,49319 Å" EI0 Å" Å" " = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
72 72
íÅ‚ Å‚Å‚
r32 = -0,22604 EI
Stan 3: Õ1 = 0 Õ2 = 0 " =1 (obroty È ze strony 2):
2EI2 2EI0
M = Å" (2 Å"Õ0 + Õ1 - 3 Å"È )= Å" (2 Å" 0 + 0 - 3 Å" 0)= 0
01 01
l 6
2EI2 2EI0
M10 = Å" (2 Å"Õ1 + Õ0 - 3 Å"È )= Å" (2 Å" 0 + 0 - 3 Å" 0)= 0
01
l 6
2EI1 2EI0 Å" 0,487
M15 = Å" (2 Å"Õ1 + Õ5 - 3 Å"È )= Å" (2 Å" 0 + 0 - 3 Å" 0)= 0
15
l 6
2EI1 2EI0 Å" 0,487
M = Å" (2 Å"Õ5 + Õ1 - 3 Å"È )= Å" (2 Å" 0 + 0 - 3 Å" 0)= 0
51 15
l 6
2EI2 2EI0 ëÅ‚2
35
M12 = Å" (2 Å"Õ1 + Õ2 - 3 Å"È )= Å" Å" 0 + 0 - 3 Å" Å"1öÅ‚ = -0,47949 Å" EI0
ìÅ‚ ÷Å‚
12
l 72
37 íÅ‚ Å‚Å‚
2EI2 2EI0 ëÅ‚2
35
M = Å" (2 Å"Õ2 + Õ1 - 3 Å"È )= Å" Å" 0 + 1 - 3 Å" Å" 0öÅ‚ = -0,47949 Å" EI0
ìÅ‚ ÷Å‚
21 12
l 72
37 íÅ‚ Å‚Å‚
3EI2 3EI0 ëÅ‚0
37
M = Å" (Õ2 -È )= Å" + Å"1öÅ‚ = 0,25344 Å" EI0
ìÅ‚ ÷Å‚
23 23
l 72
37 íÅ‚ Å‚Å‚
M = 0
32
M = 0
34
3EI1 3EI0 Å" 0,487
1
ëÅ‚0
M = Å" (Õ4 -È )= Å" - Å"1öÅ‚ = -0,04003 Å" EI0
ìÅ‚ ÷Å‚
43 43
l 6
37 íÅ‚ Å‚Å‚
Politechnika Poznańska Adam A
odygowski ®
METODA PRZEMIESZCZEN
6
Wyznaczenie reakcji r13 i r23 z równowagi węzłów (równoczesne sprawdzenie wcześniej
otrzymanych wyników, bo r13 = r31 a r23 = r32):
r13 = -0,47949 EI
r23 = -0,22604 EI
Reakcje r33 obliczÄ™ korzystajÄ…c z równania pracy wirtualnej (obroty È ze strony 2):
r33 Å" " - (2 Å" 0,47949)Å" EI0 Å"È + 0,25344 Å" EI0 Å"È - 0,04003 Å"È = 0
12 23 34
35 1
ëÅ‚- 37
öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
r33 Å" " - (2 Å" 0,47949)Å" EI0 Å" Å" " + 0,25344 Å" EI0 Å" Å" "
ìÅ‚ ÷Å‚ - 0,04003 Å" Å" " = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
72 72 6
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
r33 = 0,60308 EI
Stan P:
2
q Å" l 4 Å" 62
M = - = - = -12[kNm]
01
12 12
2
q Å" l 4 Å" 62
M10 = - = - = -12[kNm]
12 12
M15 = 0[kNm]
M = 0[kNm]
51
q Å" l'2 4 Å" 62
M12 = - = - = -12
12 12
q Å" l'2 4 Å" 62
M = - = - = -12[kNm]
21
12 12
3 3
M = Å" P Å" l = Å" 5 Å" 37 = 5,70258[kNm]
23
16 16
M = 0[kNm]
32
M = 0[kNm]
34
P Å" a
3 3
M = Å"(2 Å" l - 3 Å" l - a Å" l)= -0,50625[kNm]
43
3
2 Å" l
Politechnika Poznańska Adam A
odygowski ®
METODA PRZEMIESZCZEN
7
MP0 [kNm]
Wyznaczenie reakcji R1p i R2p z równowagi węzłów:
R1p = 0 kNm
R2p = 6,29742 kNm
Reakcje r33 obliczÄ™ korzystajÄ…c z równania pracy wirtualnej (obroty È ze strony 2):
y x
R33 Å"1- 5,70258Å"È + 0,50652 Å"È + 4 Å" 6 Å"´ + 5sinÄ… Å"´ + 5cosÄ… Å"´ +1Å"´C = 0
23 34 A B B
Równanie łańcucha kinematycznego:
01A
105
È Å" 6 +È12 Å" 3 = ´ ´ = Å" "
01 A A
72
43B
99
y y
È Å"1+È Å" 3 = -´ ´ = Å" "
43 32 B B
72
43B
107
x x
È Å" 6 +È Å" 0,5 = -´ ´ = - Å" "
43 32 B B
144
4C
5
È Å" 5 = -´C ´C = - Å" "
43
6
R3p = -43,35224 kNm
Politechnika Poznańska Adam A
odygowski ®
METODA PRZEMIESZCZEN
8
Obliczone współczynniki podstawiam do układu równań i obliczam przemieszczenia:
1,64896 Å" EI0 0,32879 Å" EI0 - 0,47949 Å" EI0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
0,32879 Å" EI0 1,15078 Å" EI0 - 0,22604 Å" EI0 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚- 0,47949 Å" EI0 - 0,22604 Å" EI0 0,60308 Å" EI0 ûÅ‚
śł
ðÅ‚
1,64896 Å" EI0 Å"Õ1 + 0,32879 Å" EI0 Å"Õ2 - 0,47949 Å" EI0 Å" "3 = 0
Å„Å‚
ôÅ‚0,32879 Å" EI0 Å"Õ1 +1,15078 Å" EI0 Å"Õ2 - 0,22604 Å" EI0 Å" "3 + 6,29742 = 0
òÅ‚
ôÅ‚- 0,47949 Å" EI0 Å"Õ1 - 0,22604 Å" EI0 Å"Õ2 + 0,60308 Å" EI0 Å" "3 - 43,35224 = 0
ół
Należy zwrócić uwagę, że współczynniki rik są mnożone przez EI a Rip są policzone w [kNm].
Rozwiązanie układu równań daje wyniki:
Ć1 = 3.0447277255891052036*10-3
Ć2 = 6.4571122700114886147*10-4
"3 = 1.0913549030664077772*10-2
Korzystając ze wzoru superpozycyjnego rysuję końcowy wykres momentów:
n 0
M = M + M1 Å"Õ1 + M Å"Õ2 + M Å" "3
P P 2 3
MPn [kNm]
Politechnika Poznańska Adam A
odygowski ®
METODA PRZEMIESZCZEN
9
Obliczenie wartości sił tnących:
Politechnika Poznańska Adam A
odygowski ®
METODA PRZEMIESZCZEN
10
Obliczenie siły normalnej z równowagi węzłów:
Sprawdzenie węzła 2 po osi y = 0,0012
"
T [kN]
N [kN]
Politechnika Poznańska Adam A
odygowski ®