WYKA
AD Nr 19
CAA
KA PODWÓJNA
A) CAA
KA PODWÓJNA W PROSTOK
CIE
Niech będzie dany prostokąt P, określony na płaszczyz
nie XOY następująco:
P : a d" x d" b , c d" y d" d
oraz funkcja f (x, y) określona i ograniczona w prostokącie P.
Przypomnienie:
Funkcja f (x, y) jest ograniczona w zbiorze Z, jeśli " M " R "(x, y)" Z f (x, y) d" M
Prostokąt P dzielimy na n prostokątów Pk o polach " Sk , k =1, 2, ... , n .
Podział ten oznaczamy "n (Rys.1).
y
d
Pk
"Sk
c
a
x
b
Rys.1. Podział prostokąta P
W każdym prostokącie Pk wybieramy dowolny punkt Ak (xk , yk ), a następnie obliczamy wartość funkcji
w tym punkcie, tzn. f (xk , yk ).
Tworzymy sumÄ™
n
Sn = f (xk , yk )Å"" Sk
"
k =1
Sumę tę nazywamy sumą całkową funkcji f (x, y) w prostokącie P.
Uwaga: Punkt Ak leżący wewnątrz prostokąta możemy wybierać (dla dowolnego podziału "n ) na wiele
różnych sposobów, a wówczas za każdym razem otrzymamy inną sumę całkową.
Jeżeli funkcja f (x, y) jest ciągła w prostokącie P i f (x, y) e" 0 to suma całkowa jest równa sumie
objętości prostopadłościanów o podstawach " Sk i wysokościach f (Ak ). (Rys.2)
242
 z
f (Ak )
y
Ak
x
Rys.2. Suma całkowa jako suma objętości prostopadłościanów
Niech dk oznacza długość przekątnej prostokąta Pk .
LiczbÄ™ ´n = max dk nazywamy Å›rednicÄ… podziaÅ‚u "n . Dla danego podziaÅ‚u "n prostokÄ…ta P Å›rednica
1d"k d"n
´n jest okreÅ›lona jednoznacznie.
Rozważamy ciąg podziałów ("n ) prostokąta P. Ciąg ten nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeśli
odpowiadajÄ…cy mu ciÄ…g Å›rednic (´n ) dąży do zera (tj. ´n 0 gdy n " ).
Def.1.1. (całka podwójna w prostokącie)
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostokąta P odpowiadający mu ciąg sum całkowych
(Sn ) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnie od wyboru punktów pośrednich Ak , to tą
granicę nazywamy całką podwójną funkcji f (x, y) w prostokącie P, a oznaczamy następująco:
f (x, y) dxdy
+"+"
P
Powyższą definicję można zapisać symbolicznie:
n
f (x, y) dxdy = lim f (xk , yk )Å" "Sk
"
+"+"
´n 0
k=1
P
Uwaga: Jeśli f (x, y) dxdy istnieje, to mówimy, że funkcja f (x, y) jest całkowalna (w sensie
+"+"
P
Riemanna) w prostokÄ…cie P.
Tw.1.1. (o całkowalności funkcji ciągłych)
Jeśli funkcja f (x, y) jest ograniczona i ciągła w prostokącie P to jest ona w nim całkowalna.
243
Tw.1.2. (o liniowości całki)
Jeżeli funkcje f (x, y) i g(x, y) są całkowalne w prostokącie P, to
1. Å" f (x, y) dxdy = a f (x, y) dxdy , gdzie a " R
+"+"a +"+"
P P
2. f (x, y) Ä… g(x, y))dxdy = f (x, y) dxdy Ä…
+"+"( +"+" +"+"g(x, y) dxdy
P P P
Tw.1.3. (o addytywności całki względem obszaru całkowania)
Jeżeli funkcja f (x, y) jest całkowalna w prostokącie P = P1 *" P2 , to jest ona całkowalna również w
prostokÄ…tach P1, P2 , przy czym
f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy + f (x, y) dxdy
+"+" +"+" +"+"
P P1 P2
Def.1.2. (wartość średnia)
Niech à oznacza pole prostokąta P, dà = dxdy jest elementem pola.
LiczbÄ™
f (x, y) dÃ
+"+"
P
µ =
Ã
nazywamy wartością średnią funkcji f (x, y) w prostokącie P.
Tw.1.4. (twierdzenie całkowe o wartości średniej)
Jeśli funkcja f (x, y) jest ciągła w prostokącie P, to istnieje taki punkt A" P , że
f (x, y) dxdy = f (A) Å" Ã
+"+"
P
Uwaga: PorównujÄ…c z Def.1.2. możemy zauważyć, że µ = f (A)
Tw.1.5. (o zamianie całki podwójnej na całki iterowane)
Jeśli funkcja f (x, y) jest ciągła w prostokącie P : a d" x d" b , c d" y d" d , to
d b
îÅ‚b Å‚Å‚ îÅ‚d Å‚Å‚
f (x, y) dxdy = ïÅ‚ f (x, y) dxśł dy oraz f (x, y) dxdy = ïÅ‚ f (x, y) dyśł dx
+"+" +" +" +"+" +" +"
ïÅ‚a śł ïÅ‚c śł
P c ðÅ‚ ûÅ‚ P a ðÅ‚ ûÅ‚
Uwaga: Całki występujące po prawej stronie równości nazywamy całkami iterowanymi.
Przykład: Obliczyć podane całki po wskazanych prostokątach:
x x2
a) dxdy P : 1 d" x d" 2 , 4 d" y d" 6 b)
+"+" 2 +"+"1 + y dxdy P : 0 d" x d" 1, 0 d" y d" 1
2
y
P P
2
c) y3ex dxdy P = 0, 2 × -1,1
+"+"
P
244
RozwiÄ…zania:
2
6
2 2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚6 1 Å‚Å‚
x - 1 x x 1 1 x2
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł
a) dxdy = x Å" dy dx = x Å" dx = x dx = =
ïÅ‚ śł
+"+" +" +" +" +"ìÅ‚- + ÷Å‚ dx = +"
2
ìÅ‚ ÷Å‚
y 6 4 12 12 2
y ïÅ‚ śł íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚4 y 2 śł
4
P 1 ðÅ‚ ûÅ‚ 1 1 1 1
ðÅ‚ ûÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1 4 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
= - ÷Å‚
=
ìÅ‚
12 2 2 8
íÅ‚ Å‚Å‚
1
1 1 1
îÅ‚1
x2 x2 Å‚Å‚ îÅ‚ 1 x3 Å‚Å‚ 1 1 1
1
ïÅ‚ śł
b) Å" dy = (arctg y )=
ïÅ‚
+"+"1 + y dxdy = +" +"1 + y dxśł dy = +" 2 +"1 + y dy = 0
2 2 2
ïÅ‚ 3 śł 3 3
ïÅ‚0 śł
P 0 ðÅ‚ ûÅ‚ 0 0
ðÅ‚1 + y 0 ûÅ‚
1 Ä„ Ä„
ëÅ‚
= - 0öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
3 4 12
íÅ‚ Å‚Å‚
1
2 1 2 2 2
îÅ‚ 4 Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ 1 1 Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
x2 x2 x2
ïÅ‚e x2 y śł
c) y3e dxdy = y3e dy dx = dx =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚e ìÅ‚ 4 - ÷łśł dx = dx = 0
+"+" +" +" +" +" +"0
ïÅ‚ 4 śł 4
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚-1 śł
P 0 ðÅ‚ ûÅ‚ 0 0 0
-1
ðÅ‚ ûÅ‚
Uwaga: Na przykładzie c) widać jak ważna jest kolejność całkowania przy zamianie całki podwójnej na
całkę iterowaną. W przypadku odwrotnej kolejności mielibyśmy:
1 1 2
îÅ‚2 Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x2 x2
y3e dxdy = y3e dx dy = y3 x2 dx dy
ïÅ‚ śł ïÅ‚
+"+" +" +" +" +"e śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
P -1ðÅ‚0 ûÅ‚ -1ðÅ‚ 0 ûÅ‚
x2
Zatem musielibyśmy w pierwszej kolejności obliczyć całkę dx , co stanowi problem, gdyż funkcja
+"e
nie jest ona funkcjÄ… elementarnÄ….
UWAGA: Jeżeli funkcja podcałkowa f (x, y) jest funkcją o zmiennych rozdzielonych
tzn. f (x, y) = g(x) Å" h( y) , gdzie funkcje g i h sÄ… funkcjami ciÄ…gÅ‚ymi odpowiednio na przedziaÅ‚ach a,b ,
c, d to
b d
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚
f (x, y) dxdy = g(x) dxց⠁"
+"+" +" +"h(y) dy÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
P íÅ‚ a Å‚Å‚ íÅ‚ c Å‚Å‚
gdzie P : a d" x d" b , c d" y d" d .
PrzykÅ‚ad: Obliczyć (x2 y + x2)dx , P = - 1, 3 × -1, 2 .
+"+"
P
RozwiÄ…zanie:
2
3
3 2 öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
x3 ëÅ‚ëÅ‚ y
ìÅ‚ìÅ‚ öÅ‚ ÷Å‚
2
ìÅ‚
(x2 y + x2)dx = (y +1)dx = x2 dx÷Å‚Å"ìÅ‚ +1)dy =
+"+" +"+"x +" +"(y ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ + y÷Å‚ ÷Å‚ =
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚Å"
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
3 2
ìÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
P P íÅ‚ -1 Å‚Å‚ íÅ‚ -1 Å‚Å‚ -1
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ -1 Å‚Å‚
27 1 4 1 28 9
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
= + Å" + 2 - + 1öÅ‚ = Å" = 42
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
3 3 2 2 3 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
245
B) CAA
KA PODWÓJNA W OBSZARZE NORMALNYM I REGULARNYM
Def.1.3. (obszar normalny względem osi OX )
Obszar domkniÄ™ty D ‚" R2 nazywamy obszarem normalnym wzglÄ™dem osi OX, jeÅ›li jest on okreÅ›lony
nierównościami:
a d" x d" b , Õ(x) d" y d" È(x) ,
gdzie Õ(x), È(x)  funkcje ciÄ…gÅ‚e na przedziale a,b oraz Õ(x) d" È(x) dla x " a,b (Rys.3)
y
y = È(x)
D
y = Õ(x)
a b x
Rys.3. Obszar normalny względem osi OX
Def.1.4. (obszar normalny względem osi OY )
Obszar domkniÄ™ty D ‚" R2 nazywamy obszarem normalnym wzglÄ™dem osi OY, jeÅ›li jest on okreÅ›lony
nierównościami:
c d" y d" d , Ä…( y) d" x d" ²(y) ,
gdzie Ä…(y),²( y)  funkcje ciÄ…gÅ‚e na przedziale c, d oraz Ä…( y) d" ²(y) dla y " c, d (Rys.4)
y
x = Ä…(y) x = ²(y)
d
D
c
x
Rys.4. Obszar normalny względem osi OY
246
x
Przykład: Obszar ograniczony liniami: x = 0 , y = 2 , y = e (Rys.5) jest obszarem normalnym zarówno
względem osi OX, jak i osi OY, ponieważ można opisać go następującymi nierównościami:
2 x
D ={(x, y)" R : 0 d" x d" ln 2, e d" y d" 2 } {obszar normalny względem osi OX }
2
D ={(x, y)" R : 1 d" y d" 2, 0 d" x d" ln y } {obszar normalny względem osi OY }
x
y
y = e
2
y = 2
1
0 ln 2 x
Rys.5.
Def.1.5. (obszar regularny)
Obszar domkniÄ™ty D ‚" R2 nazywamy obszarem regularnym, jeÅ›li jest on sumÄ… obszarów normalnych
(względem osi OX lub OY), które nie mają wspólnych punktów wewnętrznych.
PrzykÅ‚ad: Obszar domkniÄ™ty D ‚" R2 ograniczony liniami y = 2x2 i y = x + 1 (patrz Rys.6) jest
obszarem regularnym jako suma dwóch obszarów normalnych względem osi OX : D = D1 *" D2 , gdzie
D1 ={(x, y)" R2 : -1d" x d" 0, 2x2 d" y d" -x + 1 }
D2 ={(x, y)" R2 : 0 d" x d"1, 2x2 d" y d" x + 1 }
y
y = 2x2
y = x + 1
2
1
D1 D2
-1
1
x
Rys.6.
247
Def.1.6. (całka podwójna w obszarze normalnym)
Niech f (x, y) bÄ™dzie funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… i ograniczonÄ… w obszarze domkniÄ™tym D ‚" R2 oraz niech P bÄ™dzie
dowolnym prostokątem zawierającym obszar D. Rozważmy funkcję f * (x, y) będącą rozszerzeniem
funkcji f (x, y) na prostokÄ…t P:
f (x, y) (x, y)" D
Å„Å‚
f * (x, y) =
òÅ‚
0 (x, y) " P \ D
ół
Całkę podwójną funkcji f po obszarze normalnym D definiujemy jako:
f (x, y) dxdy = f * (x, y) dxdy
+"+" +"+"
df
D P
o ile całka po prawej stronie równości istnieje.
Mówimy wówczas, że funkcja f jest całkowalna w obszarze normalnym D.
CAA
KI ITEROWANE PO OBSZARACH NORMALNYCH
Jeśli funkcja f (x, y) jest ciągła w obszarze normalnym D względem osi OX, gdzie
D ={(x, y) " R2 : a d" x d" b, Õ(x) d" y d"È (x)}
to
b b
îÅ‚È( x) Å‚Å‚
îÅ‚d Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
f (x, y) dxdy = f * (x, y) dxdy = f * (x, y) dy dx = f (x, y) dy dx
ïÅ‚ śł
+"+" +"+" +" +" +" +"
ïÅ‚Õ(x) śł
ïÅ‚c śł
D P a ðÅ‚ ûÅ‚ a
ðÅ‚ ûÅ‚
Ostatecznie
b
îÅ‚È( x) Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
f (x, y) dxdy = f (x, y) dy dx
+"+" +" +"
ïÅ‚Õ(x) śł
D a
ðÅ‚ ûÅ‚
Analogicznie:
Jeśli funkcja f (x, y) jest ciągła w obszarze normalnym D względem osi OY, gdzie
D ={ (x, y) " R2 : c d" y d" d , Ä…(y) d" x d" ²( y)}
to
d d
îÅ‚²( y) Å‚Å‚
îÅ‚b Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
f (x, y) dxdy = f * (x, y) dxdy = f * (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy
ïÅ‚ śł
+"+" +"+" +" +" +" +"
ïÅ‚Ä…( śł
ïÅ‚a śł
D P c ðÅ‚ ûÅ‚ c y)
ðÅ‚ ûÅ‚
Ostatecznie
d
îÅ‚²( y) Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
f (x, y) dxdy = f (x, y) dx dy
+"+" +" +"
ïÅ‚Ä…( śł
D c y)
ðÅ‚ ûÅ‚
248
CAA
KA PODWÓJNA PO OBSZARZE REGULARNYM
Niech D będzie obszarem regularnym, tzn. D = D1 *" D2 *"... *" Dn , gdzie D1, D2 , ... , Dn są obszarami
normalnymi (względem osi OX lub OY) o parami rozłącznych wnętrzach, funkcja f (x, y) będzie
całkowalna na tym obszarze.
Wówczas
f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy + f (x, y) dxdy + ...+ f (x, y) dxdy
+"+" +"+" +"+" +"+"
D D1 D2 Dn
Uwaga: Całki po obszarach normalnych i regularnych mają te same własności, co całki po prostokątach
(liniowość oraz addytywność względem obszaru całkowania) Patrz Tw.1.2., Tw.1.3.
Przykład: Obliczyć dxdy , gdzie D jest obszarem ograniczonym liniami: y = x , x = -2 , x + y = 2 .
+"+"x
D
Obszar D przedstawia Rys.7.
x = -2 y
4
y = x
2
D1
D2
y = 2 - x
1
-2
x
Rys.7.
RozwiÄ…zanie:
Obszar D = D1 *" D2 jest obszarem regularnym, gdzie D1 , D2 obszary normalne względem osi OX
D1 ={(x, y)" R2 : - 2 d" x d" 0, - x d" y d" 2 - x }
D2 ={(x, y)" R2 : 0 d" x d" 1, x d" y d" 2 - x }
0 1 0 1
îÅ‚2-x Å‚Å‚ îÅ‚2-x Å‚Å‚
2-x 2-x
x dy dx + x dy dx = x[y ]dx + x[y ]dx =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
+"+"x dxdy = +"+"x dxdy + +"+"x dxdy = +" +" +" +" +" -x +" x
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
D D1 D2 -2ðÅ‚ -x ûÅ‚ 0 ðÅ‚ x ûÅ‚ -2 0
1
0 1 0 1
0 ëÅ‚
x3 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
= x(2 - x + x)dx + x(2 - x - x)dx = dx + (2x - 2x2)dx = x2 + x2 - 2 =
+" +" +"2x +"
ìÅ‚ ÷Å‚
-2
3
íÅ‚ Å‚Å‚
-2 0 -2 0
0
2 1 11
ëÅ‚1 öÅ‚
= -4 + - ÷Å‚ -4 + = -
=
ìÅ‚
3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
249
C) ZAMIANA ZMIENNYCH W CAA
CE PODWÓJNEJ
W wielu przypadkach obliczanie całki podwójnej możemy uprościć wprowadzając nowe zmienne.
Niech
(*) x = x(u, v) , y = y(u, v)
będą funkcjami określonymi w pewnym obszarze płaskim ".
Równania te ustalają pewne przyporządkowanie pomiędzy punktami (u, v) " " , a punktami (x, y)" D .
Niech F : " D będzie przekształceniem obszaru " w obszar D określonym następująco:
F(u, v) = (x, y) , (u, v)" "
Jeśli przekształcenie F jest ciągłe (tzn. funkcje x = x(u, v) , y = y(u, v) są ciągłe w obszarze ") oraz
wzajemnie jednoznaczne (tzn. różnym punktom obszaru " odpowiadają różne punkty obszaru D), to
wtedy obszar D jest obrazem zbioru " przy przekształceniu F .
Zatem
D = F(") = {(x, y): x = x(u, v), y = y(u, v) , (u, v)" " }
df
Def.1.7. (jakobian przekształcenia)
Jakobianem przekształcenia F(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) nazywamy funkcję określoną następująco:
"x "x
"u "v
J (u, v) =
"y "y
"u "v
D(x, y)
Uwaga: Jakobian przekształcenia (*) oznaczamy również przez .
D(u, v)
Tw.1.6. (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)
Jeżeli
x = x(u, v)
Å„Å‚
1. odwzorowanie F : przekształca wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru regularnego
òÅ‚
y = y(u, v)
ół
" na wnętrze obszaru regularnego D,
2. funkcje x = x(u, v) , y = y(u, v) są klasy C1 (tzn. mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu)
w pewnym otwartym zbiorze &! zawierajÄ…cym obszar " ( " ‚" &! ),
3. funkcja f (x, y) jest ciągła na obszarze D,
4. jakobian przekształcenia J (u, v) `" 0 wewnątrz obszaru "
to
f (x, y) dxdy = f [x(u, v), y(u, v)]Å" J (u, v) dudv
+"+" +"+"
D "
250
WSPÓA
RZ
DNE BIEGUNOWE
Def.1.8. ( współrzędne biegunowe)
WspółrzÄ™dnymi biegunowymi punktu pÅ‚aszczyzny P nazywamy parÄ™ liczb (r, Õ), gdzie r  oznacza
długość promienia wodzącego (tj. odległość punktu P od początku układu współrzędnych, 0 d" r < " ),
natomiast Õ  jest miarÄ… kÄ…ta jaki tworzy promieÅ„ wodzÄ…cy z dodatniÄ… półosiÄ… osi OX ( 0 d" Õ < 2Ä„ lub
- Ä„ < Õ d" Ä„ ).
y
P
r
Õ
x
0
Rys.8
ZALEŻNOŚĆ MI
DZY WSPÓA
RZ
DNYMI KARTEZJAC
SKIMI I BIEGUNOWYMI
WspółrzÄ™dne kartezjaÅ„skie (x, y) punktu pÅ‚aszczyzny P danego we współrzÄ™dnych biegunowych (r, Õ)
określone są następująco:
x = r cos Õ, y = r sin Õ
JAKOBIAN PRZEKSZTAA
CENIA BIEGUNOWEGO:
"x "x
cos Õ - r sin Õ
"r "Õ
2
J (r, Õ) = = = r cos2 Õ + r sin Õ = r
"y "y
sin Õ r cos Õ
"r "Õ
Przykład: Korzystając z twierdzenia o zamianie zmiennych w całce podwójnej obliczyć następującą całkę
{(x, , }.
+"+"(1+ x + y)dxdy , gdzie D = y) : x2 + y2 d" R2 R > 0
D
RozwiÄ…zanie:
Obszar całkowania D jest kołem o promieniu R. Zastosowaie współrzędnych begunowych pozwoli
przekształcić go na obszar " (prostokąt) Rys.9.
r
y
"
D
R
Ò!
Õ
x
R 2Ä„
x = r cosÕ
Å„Å‚
òÅ‚
y = r sinÕ
ół
J (r,Õ) = r
Rys.9.
251
Na podstawie Tw.1.6. i zależności między współrzędnymi kartezjańskimi i biegunowymi otrzymujemy:
f (x, y) dxdy = f (r cosÕ, r sinÕ)Å" r drdÕ
+"+" +"+"
D "
Zatem w naszym przypadku mamy:
2 2
(1 + x + y)dxdy = (1 + r cos Õ + r sin Õ )Å" r drd Õ = (r + r cos Õ + r sin Õ) drd Õ =
+"+" +"+" +"+"
D " "
gdzie " = {(r,Õ) : 0 d" Õ d" 2Ä„ , 0 d" r d" R }
R
2Ä„ 2Ä„
îÅ‚ëÅ‚ r r3
2
îÅ‚R Å‚Å‚
r3 öÅ‚ Å‚Å‚
2 2
ïÅ‚ śł
ìÅ‚ ÷Å‚
= (r + r cosÕ + r sinÕ )dr dÕ = + cosÕ + sinÕ dÕ =
ïÅ‚ śł
+" +" +"
÷Å‚
ïÅ‚ìÅ‚ 2 3 3 śł
ïÅ‚0 śł
Å‚Å‚
0 ðÅ‚ ûÅ‚ 0
0
ðÅ‚íÅ‚ ûÅ‚
2Ä„
2Ä„
îÅ‚ îÅ‚
R2 R3 R2 R3
= + (cosÕ + sinÕ )Å‚Å‚ dÕ = Õ + (sinÕ - cosÕ )Å‚Å‚ =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
+"
2 3 2 3
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0
0
R2 R3 R2 R3 R3 R3
= Å" 2Ä„ + (sin 2Ä„ - cos 2Ä„ )- Å" 0 - (sin 0 - cos 0) = Ä„ R2 - + = Ä„ R2
2 3 2 3 3 3
x2 y2
Uwaga: W przypadku, gdy obszar całkowania jest elipsą + = 1, a,b > 0 lub jej częścią stosujemy
a2 b2
tzw. uogólnione współrzędne biegunowe:
x = a r cosÕ ,
Å„Å‚
,
òÅ‚
y = b r sinÕ
ół
J (r,Õ) = abr
252