WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

PROBLEM ZMIENNEJ WARTOŚCI PIENIDZA W CZASIE
Ka\dej działalności gospodarczej towarzyszy pieniądz, który jest
miernikiem wartości i umo\liwia wycenę firmy, jej własnych i obcych
kapitałów, osiąganych przychodów, ponoszonych kosztów, a tak\e
realizowanych zysków i ponoszonych strat.
Pieniądz posiada cechy swoistego dobra, które ma określoną wartość,
którą nale\y uwzględniać zarówno w toku przygotowywania jak i oceny
realizacji decyzji finansowych.
Deprecjacja spadek wartości pieniądza np. pod wpływem inflacji
Aprecjacja wzrost wartości pieniądza np. pod wpływem deflacji
Dewaluacja obni\enie wartości pieniądza krajowego
w stosunku do innych walut.
Rewaluacja wzrost wartości pieniądza krajowego
w stosunku do innych walut.
2 Pieniądz będący aktualnie do dyspozycji w formie gotówki ma
większą wartość dla posiadacza ni\ analogiczna jego suma, która
będzie zainkasowana w przyszłości (zostanie zwrócona w
pózniejszym okresie).
4 Im dłu\szy jest czas zamro\enia pieniądza, tym odleglejszy termin
mo\liwości dysponowania nim, tym mniejsza wobec tego jest jego
aktualna wartość.
Stopa procentowa (odsetki) - cena wykorzystania obcego pieniądza
Realna stopa procentowa
(d - 1)100
d =
r
100 + i
dr
gdzie: - realna stopa procentowa, d nominalna stopa procentowa, i
stopa inflacji.
Je\eli stopa procentowa przekracza poziom inflacji, to ró\nicę między tymi
wielkościami określa się mianem realnej stopy procentowej.
W
Przykład 1. Nominalna stopa procentowa wynosi 8% rocznie przy zało\eniu, \e
odsetki naliczane są od dołu po zakończeniu roku. Natomiast ogólny wzrost cen w
danym miesiącu w stosunku do ich poziomu sprzed 12 miesięcy stanowił: wariant A
10%, wariant B 5%. W rezultacie realna stopa procentowa ukształtowała się
następująco:
(8 -10)100
= -1,82%
100 +10
-przy wariancie A:
(8 - 5)100
= 2,86%
100 + 5
-przy wariancie B:
Efektywna stopa procentowa uwzględnia skutki opodatkowania. równa
jest realnej stopie procentowej pod warunkiem, \e przychody nie
podlegają obcią\eniu podatkiem dochodowym
Przykład 2. Firma A osiągnęła zysk na działalności operacyjnej. Ponadto
otrzymała odsetki od środków na rachunku bie\ącym w banku wynoszące 3% rocznie,
a od lokat terminowych 8% rocznie. Jednocześnie korzystała z kredytu bankowego,
od którego odsetki stanowiły 12% rocznie. Stopa podatku dochodowego stanowiła
24%, a inflacji rocznej 6%.
Wobec tego odsetki po wyeliminowaniu podatku dochodowego ukształtowały się
następująco:
od środków na rachunku bie\ącym:
3 (l - 0,24) = 2,28%
od lokaty terminowej:
8 (l - 0,24) = 6,08%
od kredytu:
12(1-0,24) =9,12%
Natomiast efektywne stopy po uwzględnieniu inflacji wyniosły w przypadku:
(2,28 - 6)100
= -3,5%
106
środków na rachunku bie\ącym:
(6,8 - 6)100
= 0,08%
106
od lokaty terminowej
(9,12 - 6)100
= 2,94%
106
kredytu bankowego
Właściciel firmy A ulokował własne oszczędności w obligacjach, od których otrzymał
odsetki po zakończeniu roku wynoszące 9,0%. Wobec tego po uwzględnieniu
zryczałtowanego podatku dochodowego w wysokości 20% stopa odsetek wyniosła:
9(1-0,2) =7,2%
Je\eli przyjąć, \e inflancja stanowiła 3% rocznie, to efektywna stopa odsetek od
obligacji wyniosła:
(7,2 - 3)100
= 4,17%
103
Powa\ne znaczenie przy kształtowaniu wysokości stopy procentowej ma
polityka banku centralnego, który reguluje:
3 wysokość stopy od kredytów lombardowych, z których mogą korzystać
banki komercyjne,
4 stopę redyskontową skupowanych weksli od banków komercyjnych,
7 wysokość rezerw obowiązkowych, jakie te banki obowiązane są tworzyć.
Koszt pieniądza ustala się przy zastosowaniu rachunku odsetek, który
występuje w ró\nych formach. W zale\ności od podstaw i sposobu naliczania
odsetek, częstotliwości ich wypłaty itp., mo\na wyodrębnić rachunek odsetek:
prostych, je\eli są one obliczane stale od tej samej kwoty pienię\nej, co z
reguły oznacza, \e są one pobierane bie\ąco po naliczeniu,
zło\onych, przy którym odsetki ulegają kapitalizacji, tzn. nie są bie\ąco
wypłacane, ale powiększają pierwotny kapitał, a tym samym podstawę do
obliczenia odsetek za następny okres; natomiast wypłata odsetek następuje
dopiero łącznie ze zwrotem kapitału.
Odsetki proste
Rachunek prostych odsetek stosowany jest przy obliczaniu kosztu
wykorzystania obcego pieniądza w krótkich okresach czasu, nie
przekraczających w zasadzie jednego roku.
K
O = � d � t
100
gdzie: O - kwota odsetek, K - kapitał (podstawa
naliczania odsetek),
d - stopa procentowa (stopa odsetek), t - czas
wykorzystania kapitału (odroczenia
płatności).
Przykład 3. Otrzymano po\yczkę 50 000 zł na 5 miesięcy przy zało\eniu, \e
wraz z jej zwrotem wierzyciel otrzyma odsetki w wysokości 1,5% miesięcznie.
Ich kwota wyniesie:
50000
�1,5� 5 = 3750zl
100
W przypadku gdy stopa procentowa wyznaczona jest dla innej jednostki czasu
od jednostki, w której liczony jest okres wykorzystania kapitału, trzeba te
wielkości sprowadzić do porównywalnego układu
Przykład 4
Zało\enia jak w poprzednim przykładzie, z tym \e stopę procentową ustalono
w skali rocznej w wysokości 18%. Wobec tego odsetki za jeden miesiąc oblicza
się w następujący sposób:
50000 18
� 5� = 3750zl
100 12
Odsetki od stu za okres krótszy ni\ rok
K d
O = � � t
100 r
gdzie:
r - oznacza liczbę dni w roku, pozostałe oznaczenia jak wy\ej.
Przykład 5. Przedsiębiorstwo zaciągnęło krótkoterminowy kredyt 25 maja na
sumę 70 000 zł i zwróciło go 10 września tego samego roku, płacąc odsetki w
skali 12% rocznie. Liczba dni wykorzystania kredytu wynosiła 108 dni (w maju
6 dni, w czerwcu 30 dni, w lipcu i sierpniu po 31 dni i we wrześniu 10 dni).
Suma odsetek wyniosła:
70000 12 �108
� = 2485,48
100 365
Dyskonto potrącanie z góry odsetek
Porównywalność stopy dyskonta ze stopą odsetek inkasowych z dołu:
ds �100
d =
100 - ds
ds
gdzie: stopa dyskonta w skali rocznej, d stopa odsetek pobieranych
jednorazowo z dołu po zakończeniu roku.
Przykład 6. Firma rozwa\a zaciągnięcie kredytu w wysokości 80 000 zł, od
którego odsetki płatne z dołu wyniosłyby 15% rocznie. Zamiast tego kredytu
firma mo\e pozyskać gotówkę dzięki zdyskontowaniu w banku posiadanych
weksli klientowskich. Wówczas stopa dyskontowa, tj. potrąconych z góry
odsetek od weksli wynosiłaby 14%. Jest ona zatem nominalnie ni\sza od stopy
oprocentowania kredytu, ale po uwzględnieniu warunków porównywalnych jest
wy\sza, poniewa\:
14 �100
= 16,3%
100 -14
Aktualna wartość lokaty pienię\nej na ustalony okres i przy zało\onej
stopie procentowej w skali rocznej
d � t
�ł100 �ł
Ca = N �100 � +
�ł �ł
365
�ł łł
gdzie:
Ca
- aktualna wartość.
N przyszła wartość
Przykład 7. Firma zamierza ulokować wolne przejściowo zasoby gotówkowe
w sprzedawanych w formie przetargu skarbowych bonach 26-tygodniowych
pod warunkiem, \e odsetki w skali rocznej wyniosą 12%. Przystępując do
przetargu, firma powinna podać oferowaną cenę nabycia (bony sprzedawane są
z dyskontem) za 10 000 zł wartości nominalnej, obliczoną w następujący
sposób:
12� 26� 7
�ł100 �ł
10000�100 � + = 9435,43
�ł �ł
365
�ł łł
Sprawdzenie:
(10000 - 9435,43)100 365
� = 12%
9435,43 26� 7
Kapitalizacja odsetek
Przy kapitalizacji odsetek występują następujące pojęcia:
kapitał pierwotny, stanowiący początkowy wkład (początkową po\yczkę),
odsetki skapitalizowane, tzn. obliczane bie\ąco, ale niewypłacane
okresowo lecz powiększające kapitał pierwotny,
suma skapitalizowana, na którą składa się kapitał pierwotny oraz
skapitalizowane odsetki.
Przy kapitalizacji odsetek zachodzi zatem potrzeba określania przyszłej
wartości lokaty (po\yczki), za pomocą rachunku procentu składanego
(odsetek zło\onych), który uwzględnia fakt stopniowego powiększania
pierwotnej sumy kapitałowej o nie podejmowane bie\ąco odsetki.
Przykład 8. Zawarto umowę o po\yczkę na 50 000 zł, która zostanie spłacona
jednorazowo po upływie 4 lat wraz z odsetkami w wysokości 12% rocznie.
Odsetki ustalane są jednorazowo w roku. Wobec tego przyszła wartość
dokonanej przez kredytodawcę lokaty kształtuje się następująco:
30 kapitał pierwotny (po\yczka) 50000
31 12% odsetek po pierwszym roku 6000
32 suma skapitalizowana po pierwszym roku 56000
33 12% odsetek po drugim roku 6720
34 suma skapitalizowana po drugim roku 62720
35 12% odsetek po trzecim roku 7526
36 suma skapitalizowana po czwartym roku 70246
37 12% odsetek po czwartym roku 8430
38 końcowa suma skapitalizowana (do zwrotu) 78676
Przykład 9. Przy analogicznych zało\eniach, jak w poprzednim przykładzie,
przyjęto zasadę, i\ odsetki będą kapitalizowane nie raz w roku lecz po
zakończeniu ka\dego kwartału przy stopie stanowiącej jedną czwartą stopy
rocznej, tj. 3% kwartalnie.
Uwzględniając to zmienione zało\enie, proces naliczania odsetek oraz ich
kapitalizacji po upływie pierwszego roku przedstawia się następująco:
30 kapitał pierwotny 50 000
31 3% odsetek po pierwszym kwartale l 500
32 suma skapitalizowana po pierwszym kwartale 51500
33 3% odsetek po drugim kwartale 1545
34 suma skapitalizowana po drugim kwartale 53045
35 3% odsetek po trzecim kwartale 1591
36 suma skapitalizowana po trzecim kwartale 54636
37 3% odsetek po czwartym kwartale 1639
38 suma skapitalizowana po pierwszym roku 56275
Ogólna formuła obliczania przyszłej wartości pieniądza
n
d
�ł
S = K�ł1+
�ł �ł
jn
100
�ł łł
gdzie: K kapitał podstawowy (początkowy),
d stopa procentowa dla okresu kapitalizacji,
n liczba okresów, w których dokonuje się kapitalizacji odsetek,
S suma skapitalizowana na koniec n" okresów przy zastosowaniu d"
jk
stopy procentowej.
Uproszczenie: Tablice współczynników przyszłej wartości pieniądza dla
danej stopy procentowej oraz liczby okresów kapitalizacji odsetek
Wyciąg
Okres kapit. Stopa procentowa
1% 2,5% 3,0% 10,0% 12,0%
l 1,01000 1,02500 1,03000 1,10000 1,12000
2 1,02010 1,05062 1,06090 1,21000 1,25440
3 1,03030 1,07689 1,09273 1,33100 1,40493
4 1,04060 1,10381 1,12551 1,46410 1,57352
5 : 1,05101 1,13141 1,15927 1,61051 1,76234
10 1,10462 1,28008 1,34392 2,59374 3.10585
12 1,12583 1,34489 1,42576 3,13843 3,89598
16 1,11258 1,48451 1,60471 4,59497 6,13039
Przykład 10. Ulokowano w banku 30 000 zł na procent składany przy stopie
10% rocznie na okres 4 lat. Przy kapitalizacji odsetek raz w roku przyszła
wartość lokaty wyniesie:
4
10
�ł
30000�ł1+ = 43923
�ł �ł
100
�ł łł
Przy zastosowaniu przypadającego dla 12% przy czterech okresach
kapitalizacji współczynnika 1,81064:
30 000 x 1,46410 = 43 923 zł
Aktualna (zdyskontowana) wartość przyszłej płatności
Zdyskontowanie przyszłych płatności lub oczekiwanych przyszłych zysków
umo\liwia sprowadzenie ich do aktualnej wartości, uwzględniając określoną
stopę procentową. Poniewa\ dyskonto jest procesem odwrotnym do
kapitalizacji odsetek, to w celu obliczenia aktualnej wartości przyszłej płatności
(przyszłych przychodów) stosuje się następującą formułę:
-n
1 d
�ł1+ �ł
Kd = K =
�ł �ł
p
n
100
�ł łł
d
�ł1+ �ł
�ł �ł
100
�ł łł
K
Kd aktualna (zdyskontowana) wartość przyszłej płatności, p suma przyszłej
płatności po upływie n" okresów, d stopa procentowa, n liczba okresów (np.
lat).
Dla uproszczenia stosuje się tablice współczynników dyskonta jednostki
kapitału:
Okres dyskonta Stopa procentowa
3% 12% 14% 16% 18%
l 0,97087 0,89286 0,87719 0,86207 0,84746
2 0,94260 0,79719 0,76947 0,74316 0,71818
3 0,91514 0,71118 0,67497 0,64066 0,60863
4 0,88849 0,63552 0,59208 0,55229 0,51579
5 0,86261 0,56743 0,51937 0,47611 0,43711
10 0,74409 0,32157 0,26974 0,22668 0,19106
16 0,62317 0,16312 0,12289 0,09304 0,07078
Przykład 11. Dłu\nik przedsiębiorstwa stał się niewypłacalny. Nale\ność od
dłu\nika wynosi 100 000 zł. Wstępna analiza wykazała, \e istnieje mo\liwość
odzyskania tylko części nale\ności w kwocie 65 000 zł ale dopiero po
zakończeniu procesu upadłościowego, który potrwa około 5 kwartałów.
Przedsiębiorstwo korzysta z długoterminowego kredytu bankowego, od którego
odsetki wynoszą 12%, ale naliczane są co kwartał. Do firmy zgłosił się
kontrahent, który gotów jest odkupić nale\ność od upadłego dłu\nika za 58 000
zł, płacąc gotówką.
Aktualna wartość nale\ności wynosi:
-5
12 � 4
�ł
65000�ł1+ = 65000 � 0,86261 = 56070
�ł �ł
100
�ł łł
Wobec tego jej odprzeda\ za 58 000 zł jest dla firmy korzystna.
Strumienie jednakowych płatności (annuity)
Operacje finansowe polegające na serii rat płatności jednakowej wysokości
zwane są annuitami. Dokonywane są w ustalonych z góry jednolitych
odstępach czasu (np. co rok, co kwartał, co miesiąc) przy kapitalizacji odsetek
na podstawie danej stopy procentowej. Przykładem mo\e być lokowanie w
banku w regularnych odstępach czasu jednakowych kwot, do których doliczane
są odsetki według ustalonej z góry stopy. Końcową kwotę depozytu obejmującą
zarówno wpłacone sumy jak i nale\ne odsetki mo\na ustalić przy pomocy
formuły:
n
d
�ł1+ �ł
�ł �ł -1
100
�ł łł
Kn = a
d �100
Kn
- końcowa suma płatności seryjnych z odsetkami,
a - kwota jednorazowej wpłaty seryjnej,
n - liczba rat płatności,
d - jednolita stopa procentowa odpowiadająca okresowi pomiędzy terminami
płatności.
Przykład 12
Przedsiębiorstwo zawarło z bankiem umowę o depozyt, zobowiązując się do
dokonywania w ciągu 1,5 roku regularnych, comiesięcznych wpłat na koniec
ka\dego miesiąca po 2 000 zł. Stopa odsetek wynosi 12% rocznie, tj 1%
miesięcznie. Końcowa suma depozytu obejmującego 18 wpłat wyniesie zatem:
18
1
�ł1+ �ł
�ł �ł -1
100
�ł łł
2000 = 2000 � 20,81090 = 41622
1�100
Podsumowanie
Kalkulując wartość pieniądza w czasie, mo\na wyró\nić:
przyszłą wartość pieniądza, na którą składa się kapitał pierwotny
powiększony o odsetki przypadające za czas oczekiwania na zwrot kapitału,
aktualną wartość pieniądza, który będzie stał do dyspozycji w przyszłości;
określa się ją przez pomniejszenie oczekiwanej w przyszłości kwoty o odsetki
za czas oczekiwania przy pomocy rachunku dyskonta.
Wysokość naliczanych odsetek zale\y nie tylko od samego poziomu stopy
procentowej. Istotne znaczenie ma równie\ moment naliczania odsetek (tj. z
góry lub z dołu) oraz czy są one wypłacane (pobierane) bie\ąco czy
dopisywane są do kapitału, powiększając jego wielkość, od której nalicza się
kolejne odsetki w następnym okresie. Z tego punktu widzenia mo\na rozró\nić
rachunek odsetek prostych pobieranych bie\ąco z góry (dyskonto) lub z dołu
oraz odsetek zło\onych kapitalizowanych,

Wyszukiwarka