14. Zagadnienie spadania na centrum (atom).
Jak wiadomo, cząstka kwantowa w dowolnej studni potencjału posiada najniższy stan
energetyczny, który znajduje się zawsze w jakiejś odległości od bezwzględnego dna studni (z uwagi
na zasadę nieoznaczoności). Przykładem niech będzie studnia paraboliczna (oscylator
harmoniczny), w której poziomy energetyczne dane są znaną zależnością:
1 ! ÎÄ…
En=! Îąśą ƒÄ…nźą E0=
, czyli .
2 2
Nawet w próżni istnieją zatem drgania  zerowe .
Ekstra:
cytat z Jacaka z tegoż wykładu:  Znalezienie sposobu na rozszerzenie przestrzeni pozwoli na
wyjęcie energii z próżni .
Rozpatrzmy zatem studniÄ™ hiperbolicznÄ…:
V śą xźą=-·Ä… , odpowiada ono potencjaÅ‚owi elektrostatycznemu dla Å‚adunku o rozkÅ‚adzie
#" #"
x
symetrycznym (na zewnÄ…trz tego Å‚adunku).
Jest to studnia nieskończona  w dół i ucięta  od góry . Zbadajmy stan stacjonarny cząstki
 wrzuconej do takiej studni. Z uwagi na zasadę nieoznaczoności cząstka nie wpadnie
nieskończenie głęboko do studni, tylko zatrzyma się na jakiejś głębokości, którą oszacujemy.
Jeżeli cząstka znajduje się na pewnej głębokości, to jej ograniczenie przestrzenne wynosi r
(patrz rysunek). Skoro tak, to z zasady nieoznaczoności:
­Ä… pÅ"r~! i szacujemy minimalny pÄ™d.
Stąd średnia energia kinetyczna powinna być rzędu:
p2 !2
)#T *#= ~
2 m
2 m r2
BiorÄ…c pod uwagÄ™ energiÄ™ potencjalnÄ…, otrzymamy oszacowanie na minimalnÄ… energiÄ™
czÄ…stki w studni
!2 ·Ä…
)# E *#= -
2 m r2 r
Policzmy zatem ile wynosi minimalna energia:
·Ä… ·Ä…2
!2 oraz )# Emin*#=-m
0=" )# E *#=-!2 ƒÄ… Ò!
r0=
" r
m ·Ä…
m r3 r2 2 !2
Cząstka wrzucona do hiperbolicznej studni potencjału  zatrzymuje się na poziomie Emin z
rozmyciem równym r , czyli energii Bohra i promieniu Bohra. Co to oznacza dla atomu?
0
Widzimy, że im większa masa cząstki, tym głębiej wpada do studni oraz tym mniejsze ma
rozmiary. Biorąc pod uwagę proton i elektron (proton około 2000 razy cięższy od elektronu), można
wysnuć następujący wniosek: proton i elektron oddziałują kulombowsko zatem tworzą razem
hiperboliczną studnię potencjału, do której oba wpadają. Obie cząstki mają swoje minimalne stany
energetyczne różniące się od siebie znacząco. Czyni to stan związany i można to interpretować jako
 mętne wyjaśnienie istnienia atomow.
Literatura:
L.Jacak  Krótki kurs fizyki ogólnej wydawnictwo Pwr.