ROZWIZANIA ĆWICZEC
DOWODZENIE I: REGUAY "ELIM ORAZ "WPR
Ćwiczenie 17.I.
Uzupełnij brakujące informacje.
(a) (b)
1. Ca Zał. 1. Zał.
"x Ax
2. Zał. 2. Zał.
Db '" Aa ~"x (Bx '" Ax)
3. Aa 3.
'"Elim 2 "x Ax '" ~"x (Bx '" Ax) '"Wpr 1, 2
4. 4.
Aa '" Ca '"Wpr 3, 1 ~"x (Bx '" Ax) '" "x Ax '"Wpr 2, 1
(c) (d)
1. Zał. 1. Zał.
"x Ax '" "x Bx "x Ax
2. Zał. 2. Zał.
"x (Cx '" Dx) "x Bx
3. 1 3.
"x Ax '"Elim "x Ax '" "x Bx '"Wpr 1, 2
4. 1 4.
"x Bx '"Elim "x Bx '" ("x Ax '" "x Bx) '"Wpr 2, 3
(e) (f)
1. Zał. 1. Zał.
"x Ax '" "x Bx ~"x Ax '" "x Bx
2. Zał. 2. Zał.
"x Bx "x Cx "x Bx (" "x Ax
3. 3.
"x Bx '"Elim 1 ~"x Ax '"Elim 1
4. 4.
"x Cx Elim 2, 3 "x Bx ("Elim 2, 3
(g) (h)
1. Zał. 1. Zał.
("x Ax (" Ba) a" "xCx ~"x Ax (" "x Bx
2. Ba Zał. 2. Zał.
~~"x Ax
3. 3.
"x Ax (" Ba ("Wpr 2 "x Bx ("Elim 1, 2
4. 4.
"x Cx a"Elim 1, 3 "x Bx '" ~~"x Ax '"Wpr 3, 2
Ćwiczenie 17.II.
Przeprowadz następujące dowody.
(a) Dowieść, że: (b) Dowieść, że:
"x Ax ("x Bx '" "x Cx) ~"x Ax
1. Zał. 1. Zał.
"x Ax "x Cx "x Ax "x Bx
2. Zał. 2. Zał.
"x Ax "x Bx "x Ax ~"x Bx
3. 3. Zał. (~Wpr)
"x Ax Zał. (Wpr) "x Ax
4. 4.
"x Bx Elim 2, 3 "x Bx Elim 1, 3
5. 5.
"x Cx Elim 1, 3 ~"x Bx Elim 2, 3
6. 6. ~Wpr 3 4, 3 5
"x Bx '" "x Cx '"Wpr 4, 5 ~"x Ax
7.
"x Ax ("x Bx '" "x Cx) Wpr 3 6
© Katarzyna Paprzycka R17-1
Samouczek logiki zdań. Rozwiązania ćwiczeń (wersja wstępna)
Wszelkie prawa zastrzeżone
Uwagi proszę kierować na adres:
Katarzyna.Paprzycka@swps.edu.pl
(c) Dowieść, że: (d) Dowieść, że:
("x Bx "x Cx) ("x Ax "x Cx) ~~"x Cx
1. Zał. 1. Zał.
"x Ax "x Bx ("x Cx '" "x Bx) '" "x Ax
2. 2. Zał. (~Wpr)
"x Bx "x Cx Zał. (Wpr) ~"x Cx
3.
"x Cx '" "x Bx '"Elim 1
3.
"x Ax Zał. (Wpr) 4.
"x Cx '"Elim 3
4. 5. R 2
"x Bx Elim 1, 3 ~"x Cx
5. 6. ~Wpr 2-4, 2-5
"x Cx Elim 2,4 ~~"x Cx
6.
"x Ax "x Cx Wpr 3 5
7.
("x Bx "x Cx) Wpr 2 6
("x Ax "x Cx)
Ćwiczenie "Elim.I.
Zdecyduj, w których wypadkach wolno zastosować regułę "Elim i w tych wypadkach ją zastosuj
podstawiając stałą indywiduową a za zmienną x.
(a) (b)
1. Zał. 1. Zał.
"x Ax ~"x Ax
2. Aa 2. XXX
"Elim 1
(c) (d)
1. Zał. 1. Zał.
"x ~Ax ~"x ~Ax
2. ~Aa 2. XXX
"Elim 1
(e) (f)
1. Zał. 1. Zał.
"x (Ax (" Bx) "x Ax (" Bb
2. 2. XXX
Aa (" Ba "Elim 1
(g) (h)
1. Zał. 1. Zał.
"x Ax (" "xBx ~"x (Ax (" Bx)
2. XXX 2. XXX
(i) (j)
1. Zał. 1. Zał.
"x ~(Ax (" Bx) "x (~(Ax (" Bx) Cx)
2. 2.
~(Aa (" Ba) "Elim 1 (~(Aa (" Ba) Ca) "Elim 1
(k) (l)
1. Zał. 1. Zał.
"x ~(Ax (" Bx) "x Cx "x ((Ax (" Bx) '" Cx) '" Da
2. XXX 2. XXX
Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 17. Dowodzenie R17-2
Ćwiczenie "Elim.II. W następujących dowodach brakuje dokładnie jednego kroku, aby dowieść
wniosku znajdującego się w ostatnim wierszu. Należy uzupełnić brakujący krok, uzasadnić go, oraz
uzasadnić krok ostatni:
(a) (b)
1. Zał. 1. Zał.
"x (Cx Bx) Cd (" Bd
2. Ca Zał. 2. Zał.
"x ~Cx
3. 3. ~Cd
Ca Ba "Elim 1 "Elim 2
4. Ba 4. Bd
Elim 3, 2 "Elim 1
(c) (d)
1. Zał. 1. Zał.
"x Cx (" "x Ax Bb Cd
2. Zał. 2. Zał.
~"x Cx "x Bx
3. 3. Bb
"x Ax ("Elim 1, 2 "Elim 2
4. Ab 4. Cd
"Elim 3 Elim 2, 3
(e) (f)
1. Zał. 1. Zał.
"x Ax "x Cx "x Ax
2. Zał. 2. Zał.
"x Ax "x Bx
3. 3. Ad
"x Cx Elim 1, 2 "Elim 1
4. Cd 4.
"Elim 3 Ad '" "x Bx '"Wpr 3, 2
Ćwiczenie "Elim.III. W następujących dowodach brakuje dokładnie dwóch kroków, aby dowieść
wniosku znajdującego się w ostatnim wierszu. Należy uzupełnić brakujące kroki, uzasadnić je, oraz
uzasadnić krok ostatni:
(a) (b)
1. Zał. 1. Zał.
"x (Ax Bx) "x (Ax (" Bx)
2. Aa Zał. 2. Zał.
"x ~Ax
3. 3. ~Ad
Aa Ba "Elim 1 "Elim 2
4. Ba 4.
Elim 3, 2 Ad (" Bd "Elim 1
5. 5. Bd
Aa '" Ba '"Wpr 2, 4 ("Elim 4, 3
(c) (d)
1. Zał. 1. Zał.
"x [(Cx Bx) a" Cx] "x [(Cx (" Bx) Ax]
2. Cb Zał. 2. Be Zał.
3. 3.
(Cb Bb) a" Cb "Elim 1 (Ce (" Be) Ae "Elim 1
4. 4.
Cb Bb a"Elim 3, 2 Ce (" Be ("Wpr 2
5. Bb 5. Ae
Elim 4, 2 Elim 3, 4
(e) (f)
1. Zał. 1. Zał.
"x Ax "x ~Dx
2. Zał. 2. Zał.
"x ~Bx "x Bx
3. Ab 3. ~Da
"Elim 1 "Elim 1
4. ~Ba 4.
"Elim 2 ~Da (" Db ("Wpr 3
5. 5.
Ab '" ~Ba '"Wpr 3, 4 (~Da (" Db) '" "xBx '"Wpr 4, 2
Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 17. Dowodzenie R17-3
Ćwiczenie "Elim.IV. Proszę skonstruować następujące dowody:
(a) (b)
Dowieść, że: Ba Ca Dowieść, że: (Aa '" Ba) Ca
1. Zał. 1. Zał.
"x ((Ax (" Bx) Cx) "x ((Ax (" Bx) Cx)
2. Ba 2.
Zał. (Wpr) Aa '" Ba Zał. (Wpr)
3. 3. Aa
(Aa (" Ba) Ca "Elim 1 '"Elim 2
4. 4.
Aa (" Ba ("Wpr 2 (Aa (" Ba) Ca "Elim 1
5. Ca 5.
Elim 3, 4 Aa (" Ba ("Wpr 3
6. 6. Ca
Ba Ca Wpr 2 5 Elim 4, 5
7.
(Aa '" Ba) Ca Wpr 2 6
(c) (d)
Dowieść, że: ~Aa
Dowieść, że: (Ab '" Bb) Cb
1. Zał.
"x (Ax Cx) 1. Zał.
"x (Ax Cx)
2. Zał.
"x ~Cx
3. 2.
Aa Ca "Elim 1 Ab '" Bb Zał. (Wpr)
4. ~Ca 3.
"Elim 2 Ab Cb "Elim 1
5. ~Aa M.T. 3, 4 4. Ab
'"Elim 2
5. Cb
Elim 3,4
6.
(Ab '" Bb) Cb Wpr 2 5
(e) (f)
Dowieść, że: (Ab (" Bb) Cb Dowieść, że: Ad Cd
1. Zał. 1. Zał.
"x (Ax Cx) "x (Ax Bx)
2. Zał. 2 Zał.
"x (Bx Cx) "x (Bx Cx)
3. 3. Ad
Ab (" Bb Zał. (Wpr) Zał. (Wpr)
4.
Ad Bd "Elim 1
4. Ab
Zał. (("Elim) 5.
Bd Cd "Elim 2
5. 6. Bd
Ab Cb "Elim 1 Elim 4,3
6. Cb 7. Cd
Elim 5, 4 Elim 5,6
8.
Ad Cd Wpr 3 7
7. Bb
Zał. (("Elim)
8.
Bb Cb "Elim 2
9. Cb
Elim 8, 7
10. Cb
("Elim 3, 4-6, 7-9
11.
(Ab (" Bb) Cb Wpr 2 5
Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 17. Dowodzenie R17-4
Ćwiczenie "Wpr.Ia.
Zdecyduj, w których wypadkach wolno zastosować regułę "Wpr.
(a) (b)
1. Aa Zał. 1. ~Aa Zał.
2. 2.
"x Ax "Wpr 1 "x ~Ax "Wpr 1
(c) (d)
1. ~Aa Zał. 1. Zał.
Aa (" Ba
2. XXX 2.
~"x Ax "x (Ax (" Bx) "Wpr 1
(e) (f)
1. Zał. 1. Zał.
Aa '" Ba Aa (" Ba
2. XXX 2. XXX
"x Ax '" Ba "x Ax '" "x Bx
(g) (h)
1. Zał. 1. Zał.
Aa (Ba Cb) Aa (Ba Cb)
2. XXX 2.
Aa (Ba "x Cx) "x (Ax (Bx Cb)) "Wpr 1
(i) (j)
1. Zał. 1. ~~Aa Zał.
Aa (Ba Cb)
2. 2. XXX
"x (Aa (Ba Cx)) "Wpr 1 ~"x ~Ax
Ćwiczenie "Wpr.Ib.
Uzupełnij brakujące informacje:
(a) (b)
1. Aa Zał. 1. ~Aa Zał.
2. 2.
"x Ax "Wpr 1 "x ~Ax "Wpr 1
(c) (d)
1. Zał. 1. Zał.
Aa '" Ba ~(Aa Ba)
2. 2.
"x (Ax '" Bx) "Wpr 1 "x ~(Ax Bx) "Wpr 1
(e) (f)
1. Zał. 1. Zał.
Aa '" Bb ~(Aa Bb)
2. 2.
"x (Ax '" Bb) "Wpr 1 "x ~(Ax Bb) "Wpr 1
3. 3.
"x (Aa '" Bx) "Wpr 1 "x ~(Aa Bx) "Wpr 1
Ćwiczenie "Wpr.Ic.
1. Zał.
Aa '" Bc
2.
"x Ax '" Bc "Wpr 1
3.
"x Ax '" "x Bx "Wpr 2
Ani krok 2, ani krok 3 nie jest uprawniony. Rezultatem wprowadzenia partykularyzacji może być tylko
partykularyzacja, a zdanie w kroku 2 jest koniunkcją. Regułę "Wpr można zastosować do zdania
Aa '" Bc, ale rezultatem będzie wówczas "x (Ax '" Bc) lub "x (Aa '" Bx). Analogicznie sprawa się
przedstawia z krokiem 3.
Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 17. Dowodzenie R17-5
Ćwiczenie "Wpr.II. W następujących dowodach brakuje dokładnie jednego kroku, aby dowieść
wniosku znajdującego się w ostatnim wierszu. Należy uzupełnić brakujący krok, uzasadnić go, oraz
uzasadnić krok ostatni:
(a) (b)
1. Aa Zał. 1. Zał.
Ab Ca
2. Ba Zał. 2. Ab Zał.
3. 3. Ca
Aa '" Ba '"Wpr 1,2 Elim 1, 2
4. 4.
"x (Ax '" Bx) "Wpr 3 "x Cx "Wpr 3
(c) (d)
1. Zał. 1. Zał.
"x Ax "x Ax "x Bx
2. Zał. 2. Ab Zał.
"x Ax ~Bb
3. ~Bb 3.
Elim 2, 1 "x Ax "Wpr 2
4. 4.
"x ~Bx "Wpr 3 "x Bx Elim 1, 3
(e) (f)
1. Zał. 1. Zał.
"x (Ax '" Bx) "x (~Cx Bx)
2. 2.
Aa '" Ba "Elim 1 ~Ca Ba "Elim 1
3. 3.
"x (Ax '" Bx) "Wpr 2 "x (~Cx Bx) "Wpr 2
Ćwiczenie "Wpr.III. W następujących dowodach brakuje dokładnie dwóch kroków, aby dowieść
wniosku znajdującego się w ostatnim wierszu. Uzupełnij brakujące kroki, uzasadnij je, oraz uzasadnij
krok ostatni:
(a) (b)
1. Zał. 1. Zał.
Aa Ca "x (Ax Dx)
2. Bb Zał. 2. Ab Zał.
3. 3.
"x Bx "Wpr 2 Ab Db "Elim 1
4. 4. Db
"x (Ax Cx) "Wpr 1 Elim 3, 2
5. 5.
"x Bx '" "x (Ax Cx) '"Wpr 3, 4 "x Dx "Wpr 4
(c) (d)
1. Zał. 1. Zał.
"x (Ax '" Bx) "x Cx "x Ax
2. Ca Zał. 2. Ca Zał.
3. 3.
Aa '" Ba "Elim 1 "x Cx "Wpr 2
4. 4.
(Aa '" Ba) '" Ca '"Wpr 3, 2 "x Ax Elim 1, 3
5. 5. Aa
"x ((Ax '" Bx) '" Cx) "Wpr 4 "Elim 4
(e) (f)
1. Zał. 1. Zał.
"x (Ax '" ~Bx) (" "x Bx "x ~Ax a" ~"x Ax
2. Zał. 2. Zał.
~"x Bx ~Ab '" ~Bb
3. MTP 1, 2 3. ~Ab
"x (Ax '" ~Bx) '"Elim 2
4. 4.
Aa '" ~Ba "Elim 3 "x ~Ax "Wpr 3
5. ~Ba 5.
'"Elim 4 ~"x Ax a"Elim 1, 4
Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 17. Dowodzenie R17-6
Ćwiczenie "Wpr.IV. Proszę skonstruować następujące dowody:
(a) (b)
Dowieść, że: Ba Dowieść, że: ~Ac
1. Zał. 1. Zał.
"x Ax ("x Ax (" "x ~Ax) '" ~Ab
2. Zał. 2. Zał.
"x Ax "x Bx "x ~Ax a" ~"x Ax
3. Aa 3. ~Ab
"Elim 1 '"Elim 1
4. 4.
"x Ax "Wpr 3 "x ~Ax "Wpr 3
5. 5.
"x Bx Elim 2, 4 ~"x Ax a"Elim 2, 4
6. Ba 6.
"Elim 5 "x Ax (" "x ~Ax '"Elim 1
7. MTP 6, 5
"x ~Ax
8. ~Ac
"Elim 7
(c) (d)
Dowieść, że: "x ((Ax '" Bx) '" Cx) Dowieść, że: "x Bx '" "x ~Ax
1. Zał. 1. Zał.
"x Bx '" Ac "x (Ax Bx)
2. Zał. 2. Zał.
"x (Ax '" Bx) "x Cx Aa '" ~Bb
3. Ac 3. Aa
'"Elim 1 '"Elim 2
4. 4.
"x Bx '"Elim 1 Aa Ba "Elim 1
5. Bc 5. Ba
"Elim 4 Elim 3, 4
6. 6.
Ac '" Bc '"Wpr 3, 5 "x Bx "Wpr 5
7. 7. ~Bb
"x (Ax '" Bx) "Wpr 6 '"Elim 2
8. 8.
"x Cx Elim 2, 7 Ab Bb "Elim 1
9. Cc 9. ~Ab M.T. 8, 7
"Elim 8
10.
10. "x ~Ax "Wpr 9
(Ac '" Bc) '" Cc '"Wpr 6, 9
11.
11. "x Bx '" "x ~Ax '"Wpr 6, 10
"x ((Ax '" Bx) '" Cx) "Wpr 10
(e) (f)
Dowieść, że: "x Cx Dowieść, że: "x ~(Bx '" Cx)
1. Zał. 1. Zał.
"x (Ax (" Bb) "x Cx "x (Bx Ax)
2. Aa Zał. 2. Zał.
"x ~Ax
3.
Aa (" Bb ("Wpr 2 3.
Ba Aa "Elim 1
4.
"x (Ax (" Bb) "Wpr 3 4. ~Aa
"Elim 2
5.
"x Cx Elim 1, 4 5. ~Ba M.T. 3, 4
6.
~Ba (" ~Ca ("Wpr 5
7. DeM 6
~(Ba '" Ca)
8.
"x ~(Bx '" Cx) "Wpr 7
Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 17. Dowodzenie R17-7
Wyszukiwarka