WM Z6/5. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 5 1
Z6/5. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE
5
Z6/5.1 Zadanie 5
Dany jest przekrój pokazany na rysunku Z6/5.1. Wyznaczyć momenty bezwładności w zadanym
układzie współrzędnych YZ.
Y
2,0 6,0 2,0
L 80x65x10
8,0 2,0
[cm]
Z
Rys. Z6/5.1. Przekrój pręta
Z6/5.2 Charakterystyki geometryczne kątownika nierównoramiennego
Rysunek Z6/5.2 przedstawia położenie kątownika w jego układzie osi środkowych oraz położenie osi
X i Y, które są stosowane w tablicach. Osiowe momenty bezwładności wynoszą
(Z6/5.1)
J =JśąTźą=48,3cm4 ,
Y03 Y
(Z6/5.2)
J = JśąT źą=82,2cm4 .
Z03 X
Pole powierzchni kątownika nierównoramiennego 80x65x10 wynosi 13,6 cm2. Minimalny moment bezwład-
ności kątownika wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
3,0
2,0
6,5
WM Z6/5. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 5 2
8,0
2,55 5,45
X
Y03
Y Y
X
[cm]
Z03
Rys. Z6/5.2. Kątownik nierównoramienny
śą3źą
(Z6/5.3)
J =24,8 cm4 .
2
Pierwszy niezmiennik dla kÄ…townika wynosi
(Z6/5.4)
Iśą3źą=48,3ƒÄ…82,2=130,5 cm4 .
1
Maksymalny moment bezwładności dla kątownika nierównoramiennego wynosi
śą3źą
(Z6/5.5)
J =130,5-24,8=105,7 cm4 .
1
Drugi niezmiennik dla głównych momentów bezwładności dla kątownika nierównoramiennego wynosi
(Z6/5.6)
Iśą23źą=24,8Å"105,7=2621 cm8 .
Drugi niezmiennik dla momentów bezwładności w układzie osi środkowych kątownika nierównora-
miennego wynosi
2
(Z6/5.7)
Iśą23źą=48,3Å"82,2-J =2621 cm8 .
Y03Z03
Kwadrat dewiacyjnego momentu bezwładności w osiach środkowych kątownika nierównoramiennego
wynosi
2
(Z6/5.8)
J =48,3Å"82,2-2621=1349 cm8 .
Y03Z03
Dr inż. Janusz Dębiński
1,81
6,5
4,69
WM Z6/5. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 5 3
8,0
2,55 5,45
Y03
[cm]
Z03
Rys. Z6/5.3. Większa część kątownika nierównoramiennego
Zgodnie z rysunkiem Z6/5.3 większa część kątownika nierównoramiennego znajduje się w ćwiartkach
dodatnich więc dewiacyjny moment bezwładności w układzie osi środkowych kątownika wynosi
(Z6/5.9)
J =ƒÄ…36,73 cm4 .
Y03Z03
Z6/5.3 Wyznaczenie współrzędnych środków ciężkości w układzie YZ
Rysunek Z6/5.4 przedstawia położenie układów osi środkowych dla poszczególnych figur składowych
w układzie współrzędnych YZ. Pierwszą figurą jest prostokąt o wymiarach 10,0 cm na 6,0 cm. Drugą figurą
jest trójkąt prostokątny o wymiarach 6,0 na 3,0 cm. Trzecią figurą jest kątownik nierównoramienny
80x65x10. Współrzędne środka ciężkości prostokąta w układzie YZ wynoszą
10,0 6,0
.
y1= -2,0=3,0 cm z1= =3,0cm (Z6/5.10)
2 2
Współrzędne środka ciężkości trójkąta prostokątnego w układzie YZ wynoszą
2 2
.
y2= Å"6,0=4,0cm z2=1,0 ƒÄ… Å"3,0 =3,0 cm (Z6/5.11)
3 3
Współrzędne środka ciężkości kątownika nierównoramiennego w układzie YZ wynoszą
.
y3=8,0-2,55=5,45 cm z3=6,0ƒÄ…1,81=7,81 cm (Z6/5.12)
Rysunek Z6/5.4 przedstawia współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur składowych w układzie
YZ.
Dr inż. Janusz Dębiński
1,81
6,5
4,69
WM Z6/5. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 5 4
Y
10,0
4,0
3,0
Y02 Y01
sc2 sc1
Z02 Z01
2,0 6,0 2,0
Y03
sc3
Z03
2,55 5,45 2,0
8,0 2,0
[cm]
Z
Rys. Z6/5.4. Współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur składowych
Z6/5.4 Wyznaczenie momentów bezwładności w układzie YZ
Zgodnie ze wzorem (6.22) osiowy moment bezwładności względem osi Y będzie miał wartość
3
J =10,0Å"6,0 ƒÄ…śą3,0źą2Å"10,0Å"6,0
Y
12
. (Z6/5.13)
6,0Å"3,03 ƒÄ…śą3,0źą2Å"1Å"6,0Å"3,0
-
śą źą
36 2
ƒÄ…48,3ƒÄ…śą7,81źą2Å"13,6=1512 cm4
Zgodnie ze wzorem (6.23) osiowy moment bezwładności względem osi Z będzie miał wartość
6,0Å"10,03ƒÄ…śą3,0
J = źą2Å"10,0Å"6,0
Z
12
. (Z6/5.14)
3,0Å"6,03 ƒÄ…śą4,0źą2Å"1Å"6,0Å"3,0
-
śą źą
36 2
ƒÄ…82,2ƒÄ…śą5,45źą2Å"13,6=1364cm4
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
3,0
3,0
6,0
6,0
7,81
2,0
1,81
6,5
6,5
4,69
4,69
WM Z6/5. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 5 5
Zgodnie ze wzorem (6.24) dewiacyjny moment bezwładności w układzie YZ będzie miał wartość
JYZ=0,0ƒÄ… 3,0 Å" 3,0 Å"10,0Å"6,0
śą źą śą źą
3,02Å"6,02 1
. (Z6/5.15)
- - ƒÄ…śą4,0źąÅ"śą3,0źąÅ" Å"6,0Å"3,0
śą źą
72 2
ƒÄ…36,73ƒÄ…śą5,45źąÅ"śą7,81źąÅ"13,6=1052 cm4
(11.1)
Dr inż. Janusz Dębiński