9. Stereometrie
9.3. Xezy t%1Å‚les
Xez t%1Å‚lesa je pronik t%1Å‚lesa a roviny. V obecném pYípad%1Å‚ je Yezem hranatého t%1Å‚lesa n -Å›helník.
Xez sestrojíme tak, ~e ur%0Å„ujeme bu prose%0Å„nice roviny Yezu s rovinami st%1Å‚n t%1Å‚lesa nebo prose%0Å„íky
jednotlivżch hran t%1łlesa s rovinou Yezu.
PYi konstrukci Yezu vyu~íváme vztahy, které platí pro vzájemnou polohu pYímek a rovin v prostotu.
Xeaenż pYíklad
" Sestrojte Yez krychle ABCDEFGH rovinou à = EMN , kde body M , N jsou stYedy hran AB ,
GH .
Xeaení
Úse%0Å„ky EM , EN le~í na st%1Å‚nách krychle, jsou %0Å„ástí Yezu. Proto~e pYední a zadní st%1Å‚ny krychle jsou
navzájem rovnob%1Å‚~né, rovina Yezu je protíná v rovnob%1Å‚~nżch pYímkách. TrojÅ›helníky AME a GNC
jsou shodné, Å›se%0Å„ka NC je rovnob%1Å‚~ná s Å›se%0Å„kou EM . Xezem krychle je %0Å„tyYÅ›helník MCNE .
366
9. Stereometrie
" Je dán kvádr ABCDEFGH a rovina Á = BPQ , bod P je stYed hrany FG a bod Q le~í na
pYímce EF tak, ~e bod E je stYed Å›se%0Å„ky FQ . Sestrojte Yez.
Xeaení
PYímka BQ le~í v pYední st%1Å‚n%1Å‚ kvádru a protíná hranu AE v bod%1Å‚ N . PYímka PQ le~í v horní st%1Å‚n%1Å‚
kvádru a protíná hranu EH v bod%1Å‚ M . Xezem je %0Å„tyYÅ›helník BPMN .
" Zobrazte krychli ABCDEFGH a její Yez rovinou Á = MNP , kde body M , N, P jsou stYedy
hran AB, SC, CG .
Xeaení
Úse%0Å„ky MN, NP le~í na st%1Å‚nách krychle, jsou %0Å„ástí Yezu. Sestrojíme bod X jako prose%0Å„ík pYímky
MN s pYímkou CD . PYímka PX le~í v zadní st%1Å‚n%1Å‚ krychle a protíná hranu GH v bod%1Å‚ Q . Dalaí
strany Yezu sestrojíme na základ%1Å‚ rovnob%1Å‚~nosti prot%1Å‚jaích st%1Å‚n krychle: QR ÷Å‚ïÅ‚ MN , RS ÷Å‚ïÅ‚ NP .
Xezem je aestiÅ›helník MNPQRS .
367
9. Stereometrie
" Je dán pravidelnż %0Å„tyYbokż jehlan ABCDV a rovina Á = MNP , kde bod M je stYed hrany
AV , bod N le~í na hran%1Å‚ CV tak, ~e platí: CN : NV = 1 : 2 a bod P le~í na prodlou~ení
hrany AB za bodem B tak, ~e platí: BP : AB = 1 : 4 . Sestrojte Yez.
Xeaení
V jehlanu nejsou prot%1Å‚jaí st%1Å‚ny rovnob%1Å‚~né, pou~íváme vlastnost tYí roznob%1Å‚~nżch rovin, jejich~
prose%0Å„nice procházejí jedním bodem. PYi konstrukci Yezu jehlanu zpravidla sestrojíme prose%0Å„nici
roviny Yezu s rovinou podstavy.
PYímka PM le~í v pYední st%1Å‚n%1Å‚ jehlanu a protíná hranu BV v bod%1Å‚ R . PYímky BC a RN le~í
v rovin%1Å‚ st%1Å‚ny BCV , pYímka BC le~í v podstav%1Å‚ jehlanu, pYímka RN v rovin%1Å‚ Yezu a protínají se
v bod%1Å‚ Q . PYímka p = PQ je prose%0Å„nice roviny Yezu a roviny podstavy. PYímka CD protíná pYímku
p v bod%1Å‚ X , kterż je spole%0Å„nż bod roviny Yezu, roviny podstavy a roviny st%1Å‚ny CDV . PYímka XN
protíná hranu DV v bod%1Å‚ T . Xezem je %0Å„tyYÅ›helník RNTM .
368
9. Stereometrie
" Sestrojte Yez kvádru ABCDEFGH rovinou Á = MNP , kde body M , N, P jsou stYedy hran
AB, CG, EH .
Xeaení
Ze tYí bodo M , N, P ~ádná dvojice nele~í na jedné st%1Å‚n%1Å‚ krychle. Sestrojíme tedy napYíklad prose%0Å„ík
pYímky PN s podstavou ABCD kvádru. PYímkou PN vedeme rovinu kolmou k rovin%1Å‚ podstavy
kvádru, která protíná podstavu v pYímce P1C . Tato pYímka protne pYímku PN v bod%1Å‚ Q . PYímka
MQ protíná hranu BC v bod%1Å‚ R . Body T a S na hranách GH a AE sestrojíme tak, aby platilo
PT MR , MS TN . Xezem je aestiÅ›helník MRNTPS .
2 2 2 2 2 2
" Je dán pravidelnż aestibokż hranol ABCDEFA B C D E F . Sestrojte Yez rovinou Á = KLM ,
2
kde bod K je stYed hrany AA , bod L le~í na prodlou~ení hrany AB za bod B tak, ~e platí
2 2
BL : AB = 1 : 2 a bod M le~í na hran%1Å‚ DD tak, ~e platí DM : MD = 1 : 2 .
Xeaení
Sestrojíme prose%0Å„nici p = PL roviny Yezu s rovinou podstavy, kde bod P získáme jako prose%0Å„ík
pYímky MN a pYímky DB , proto~e ob%1Å‚ le~í v rovin%1Å‚ kolmé k podstav%1Å‚. Body Yezu na jednotlivżch
bo%0Å„ních hranách hranolu sestrojíme tak, aby se na pYímce p protínaly prodlou~ené hrany postavy se
spojnicemi dvou bodo Yezu na sousedních bo%0Å„ních hranách hranolu.
369
9. Stereometrie
" Sestrojte Yez %0Å„tyYst%1Å‚nu ABCD rovinou Á = KLT , kde bod K le~í na prodlou~ení hrany BC za
bod B tak, ~e platí BK : BC = 1 : 2 , bod L le~í na hran%1Å‚ CD tak, ~e platí CL : LD = 2 : 1 a
bod T je t%1Å‚~iat%1Å‚ trojÅ›helníka ABD .
Xeaení
PYímka KL le~í v rovin%1Å‚ st%1Å‚ny BCD a protíná hranu BD v bod%1Å‚ M , pYímka MT le~í v rovin%1Å‚
st%1Å‚ny ABD a protíná hranu AD v bod%1Å‚ N . Xezem je trojÅ›helník MLN .
370
9. Stereometrie
Úlohy k Yeaení
Úloha 9.9.
Zobrazte Yez kvádru ABCDEFGH rovinou Á = KLM , kde bod K je stYed hrany EF , bod L
le~í na hran%1Å‚ BF tak, ~e platí BL : LF = 1 : 3 a bod M le~í na hran%1Å‚ CG tak, ~e platí
CM : MG = 2 : 1.
f&
Úloha 9.10.
Zobrazte krychli ABCDEFGH a její Yez rovinou Á = MNP , kde bod M le~í na hran%1Å‚ EF
tak, ~e platí EM : MF = 2 : 1 , bod N le~í na pYímce FG tak, ~e bod G je stYed Å›se%0Å„ky FN a
bod P le~í na prodlou~ení hrany CD za bod C tak, ~e platí PC : CD = 1 : 4 .
f&
Úloha 9.11.
Sestrojte Yez pravidelného %0Å„tyYbokého hranolu ABCDEFGH rovinou Á = AMN , kde bod M
le~í na BF tak, ~e platí BM : MF = 1 : 2 , bod N le~í na CG tak, ~e platí CN : NG = 2 : 1.
f&
Úloha 9.12.
Sestrojte Yez krychle ABCDEFGH rovinou Á = EBM , kde bod M le~í na pYímce FG tak,
~e bod G je stYed śse%0ńky FM .
f&
Úloha 9.13.
Kvádr ABCDEFGH protn%1Å‚te rovinou Á = MNH , kde body M , N jsou stYedy hran
AB, BC .
f&
Úloha 9.14.
Sestrojte Yez kvádru ABCDEFGH rovinou Á = EPM , kde bod M je stYed hrany CG a bod
P le~í na prodlou~ení hrany AB za bodem B tak, ~e platí PB : A = 1 : 4 .
f&
Úloha 9.15.
2 2 2 2 2 2 2
Pravidelnż aestibokż hranol ABCDEFA B C D E F protn%1łte rovinou à = ABD .
f&
Úloha 9.16.
Sestrojte Yez pravidelného %0Å„tyYbokého jehlanu ABCDV se stYedem podstavy S rovinou
Á = MNP , kde bod M le~í na hran%1Å‚ AV tak, ~e platí AM : MV = 1 : 3 , bod N le~í na
prodlou~ení hrany AB za bodem B tak,~e platí BN : AB = 1 : 2 a bod P je stYed Å›se%0Å„ky SV .
f&
371
9. Stereometrie
Úloha 9.17.
Je dán pravidelnż %0Å„tyYbokż jehlan ABCDV se stYedem podstavy S . Sestrojte jeho Yez rovinou
à , která prochází stYedem Q Å›se%0Å„ky SV rovnob%1Å‚~n%1Å‚ se st%1Å‚nou VBC .
f&
Úloha 9.18.
Pravidelnż %0Å„tyYbokż jehlan ABCDV se stYedem podstavy S protn%1Å‚te rovinou Á = MNR , kde
body M , N jsou stYedy hran CV , DV a bod R le~í na Å›se%0Å„ce SV tak, ~e platí
RS : SV = 1 : 3 .
f&
Úloha 9.19.
Pravidelnż %0Å„tyYbokż jehlan ABCDV protn%1Å‚te rovinou Á = PQT , kde body P, Q, T jsou
stYedy hran AD, AB, CV .
f&
Úloha 9.20.
Sestrojte Yez %0Å„tyYst%1Å‚nu ABCD rovinou Á = KLM , kde bod K je stYed hrany CD , bod L le~í
na hran%1Å‚ AD tak, ~e platí AL : LD = 1 : 3 a bod M le~í na prodlou~ení hrany BD za bodem
B tak, ~e platí MB : BD = 1 : 2 .
f&
372
9. Stereometrie
Vżsledky
9.9.
Úse%0Å„ka KL le~í v pYední st%1Å‚n%1Å‚ kvádru, Å›se%0Å„ka LM v pravé bo%0Å„ní st%1Å‚n%1Å‚. Úse%0Å„ka MN jako %0Å„ást Yezu
v zadní st%1Å‚n%1Å‚ je rovnob%1Å‚~ná s Å›se%0Å„kou KL .
9.10.
Bod Q je prose%0Å„ík pYímky MN s hranou GH , bod R je prose%0Å„ík pYímky PQ s hranou CG , bod
T je prose%0Å„ík pYímky NR s hranou BF . Xezem je lichob%1Å‚~ník MTRQ .(obr.3.9.)
373
9. Stereometrie
9.11.
Úse%0Å„ka AM le~í v pYední st%1Å‚n%1Å‚ hranolu, Å›se%0Å„ka NP le~ící v zadní st%1Å‚n%1Å‚ hranolu je s ní rovnob%1Å‚~ná,
bod P le~í na hran%1Å‚ DH .Xezem je koso%0Å„tverec AMNP .
9.12.
Bod L je prose%0Å„ík pYímky EM s hranou GH , bod K je prose%0Å„ík pYímky BM s hranou CG .
Xezem je rovnoramennż lichob%1Å‚~ník EBKL .
374
9. Stereometrie
9.13.
PYímka MN je prose%0Å„nice roviny Yezu Á s rovinou podstavy kvádru. Tato pYímka protíná pYímku
AD podstavné hrany v bod%1Å‚ P , pYímku CD podstavné hrany v bod%1Å‚ Q . Body P, H le~í v levé
bo%0Å„ní st%1Å‚n%1Å‚ kvádru a jejich spojnice protíná hranu AE v bod%1Å‚ K , body Q, H le~í v zadní st%1Å‚n%1Å‚
kvádru a jejich spojnice protíná hranu CG v bod%1Å‚ L .Xezem je p%1Å‚tiÅ›helník HKMNL .
9.14.
PYímka PE le~í v pYední st%1Å‚n%1Å‚ kvádru a protíná hranu BF v bod%1Å‚ N , Å›se%0Å„ka MN je %0Å„ást Yezu
v pravé bo%0Å„ní st%1Å‚n%1Å‚.Úse%0Å„ka RM rovnob%1Å‚~ná s Å›se%0Å„kou EN je %0Å„ást Yezu v zadní st%1Å‚n%1Å‚, bod R le~í na
hran%1Å‚ GH . Xezem je lichob%1Å‚~ník ENMR . (obr.3.13.)
375
9. Stereometrie
9.15.
2 2
Hrana D E horní podstavy je %0Å„ástí Yezu. Rovina Yezu à , rovina podstavy ABCDEF hranolu a
2 2 2
rovina bo%0Å„ní st%1Å‚ny DCC D mají po dvou spole%0Å„né prose%0Å„nice AB, DC, D M , které mají jeden
spole%0Å„nż bod protínají se na prose%0Å„nici AB roviny podstavy a roviny Yezu. Rovina Yezu à , rovina
2 2 2
podstavy a rovina bo%0Å„ní st%1Å‚ny EFF E se po dvou protínají v pYímkách AB, EF, E N , které
2 2
procházejí spole%0Å„nżm bodem na pYímce AB . Xezem je aestiÅ›helník ABMD E N .
9.16.
Body MP le~í v rovin%1Å‚ ASV , bod X = AS )" MP je prose%0Å„ík pYímky MP s rovinou podstavy.
PYímka p = XN je prose%0Å„nice roviny podstavy s rovinou Yezu Á .Na této pYímce se protínají pYímky
podstavnżch hran AB, BC, AD jehlanu a strany Yezu MP, PR, QM . Xezem je %0Å„tyYÅ›helník MPRQ .
376
9. Stereometrie
9.17.
Bod Q le~í v rovin%1Å‚ ACV . V této rovin%1Å‚ vedeme bodem Q rovnob%1Å‚~ku s hranou CV , která protne
hranu AV v bod%1Å‚ L a pYímku AC v bod%1Å‚ Y . V rovin%1Å‚ BDV vedeme bodem Q rovnob%1Å‚~ku
s hranou BV , která protne hranu DV v bod%1Å‚ K a pYímku BD v bod%1Å‚ X . PYímka XY protíná
podstavné hrany AB, CD v bodech M , N . Xezem je lichob%1Å‚~ník MNKL .
9.18.
Body M , R le~í v rovin%1Å‚ ACV , v této rovin%1Å‚ protíná pYímka MR pYímku AC v bod%1Å‚ X . Body
N, R le~í v rovin%1Å‚ DBV , v této rovin%1Å‚ protíná pYímka NR pYímku BD v bod%1Å‚ Y . PYímka XY
protíná podstavné hrany AD, BC v bodech K, L . Xezem je lichob%1Å‚~ník KLMN .
377
9. Stereometrie
9.19.
PYímka p = PQ je prose%0Å„nice roviny Yezu a roviny podstavy jehlanu. PYímka p protne pYímku BC
v bod%1Å‚ X , kterż je spole%0Å„nż bod tYí rovin roviny podstavy, roviny Yezu a roviny bo%0Å„ní st%1Å‚ny BCV .
Bodem X prochází tedy prose%0Å„nice TX roviny Yezu s rovinou bo%0Å„ní st%1Å‚ny, která protne hranu BV
v bod%1Å‚ M . Podobn%1Å‚ bod Y je prose%0Å„ík pYímek p , CD a TY . PYímka TY protne hranu DV v bod%1Å‚
N . Xezem je p%1Å‚tiÅ›helník PQMTN .
9.20.
Bod M le~í na pYímce BD , le~í tedy v rovin%1Å‚ ABD , ve které le~í také bod L . PYímka LM protíná
hranu AB v bod%1Å‚ N . Bod M le~í také v rovin%1Å‚ BCD zároveH s bodem K . PYímka KM protíná
hranu BC v bod%1Å‚ P . Xezem je %0Å„tyYÅ›helník LNPK .
378
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
teleswięcej podobnych podstron