ĆWICZENIA Z MATEMATYKI -
ZAGADNIENIA NA POPRAW
SEMESTRU II
1. GRANICE CI
GÓW
Zakres materiału dotyczący granic będzie obejmował zadania 1 oraz 2 z zestawu, czyli przykładowo:
Zad. Oblicz granice podanych ciągów:
3
2 +� 4n +� 6n3 8n3 +� 2n2 -� 9
a) lim b) lim
n��+�Ą� n��+�Ą�
-�5n2 +� 2n -� 8 2n -� 8
3
2n3 -� 5n2 +� 7 3n +� 8
(� )�
(� )�
3n2 -� 2n -� 8
c) lim d) lim
8 4
n��+�Ą� 4 n��+�Ą�
16n4 +� 4n2 -� 3n
2n2 +� 6n -� 2 n2 +� 5n -� 9
(� )� (� )�
2��4n +�16n+�1 32n+�2 +� 4n-�1
e) lim f) lim
n��+�Ą� n��+�Ą�
3�� 42n+�1 -� 3��6n-�1 2��3n -� 4��9n+�1
g) lim n -� n2 +� 4n +� 7 h) lim 9n2 +� 5n +� 7 -� 3n
(� )� (� )�
n��+�Ą� n��+�Ą�
UWAGA! :
- proszę zwrócić uwagę na przykłady d,) e,) f), gdyż zadania tego typu pojawią się na pewno na
zaliczeniu.
2. POCHODNE FUNKCJI
Zakres materiału dotyczący pochodnych funkcji będzie obejmował zadania 1 oraz 2 z zestawu, czyli
obliczanie pochodnych funkcji prostych oraz złożonych oraz zadanie 3, czyli obliczanie pochodnych
wyższych rzędów. Przykładowo:
Zad.1 Oblicz pochodne następujących funkcji:
6 4 3 9 2
a) 3x4 -� 5x +� 4 x -� b) +� -� c) 23 x5 -� 45 x2 +�
x x4 x3 x2
x
d) 6x arcsin x e) 4cos x ln x f) ex sin x
x2 -� 2x -� 3 -�2tgx 4ln x
g) h) i)
3x -� 4 sin x
3 x
4
x2 +�1 ć� ��
x2 -� 4x
j) ln x k) ln l)
�� ��
x2 +� 2 5x2 +� x -� 2
Ł� ł�
2
x -� 3
3
m) x2 +� 5x -� 4 n) o) ex
x2 +� x
ć� ��
2 5x -� 2
p) arctg q) 4sin2 x r) sin
�� ��
�� ��
x 3x
Ł� ł�
x2 +�2x-�1
s) arcsin cos 2x +�1 t) ln sin 2x2 u) e
(� )�
(� )�
UWAGA !:
1
ĆWICZENIA Z MATEMATYKI -
ZAGADNIENIA NA POPRAW
SEMESTRU II
- w przykładach b) c) należy pozamieniać poszczególne wyrazy na potęgi zmiennej x, czyli skorzystać
ze wzorów:
n
m
m
xn =� x
1
=� x-� n
xn
n
-�
1
m
=� x
m
xn
'
Wówczas mając potęgi, pochodną można już obliczyć ze wzoru xa� =� a� xa� -�1
(� )�
- w przykładach d), e), f) należy skorzystać ze wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji, czyli
'
'
f x �� g x =� f x �� g x +� f x �� g' x
(� (� )� (� )� (� )� (� )� (� )� (� )�
)�
- w przykładach g), h), i) należy skorzystać ze wzoru na pochodną ilorazu dwóch funkcji, czyli
'
'
ć� ��
f x f x g x -� f x g' x
(� )� (� )� (� )� (� )� (� )�
=�
�� ��
2
�� ��
g x
(� )�
��g x ł�
(� )���
Ł� ł�
��
- przykłady od j) do u) to pochodne funkcji złożonych,
- w przypadku złożenia dwóch funkcji (przykłady od j) do q)) najprościej można rozwiązać w
następujący sposób:
Przykładowo:
'
1 2 2
'
'
ć� �� -� -�
1 1 1 1
3 3
3 3
x2 +� 5x -� 4 =� u =� =� u ��u' =� u ��u' =� ��u ' =� �� x2 +� 5x -� 4 ' =�
(� )�
(� )� ��u3 ��
(� )�
2
3 3
33 u2
Ł� ł�
33 x2 +� 5x -� 4
(� )�
1
=� �� 2x +� 5
(� )�
2
33 x2 +� 5x -� 4
(� )�
Oczywiście za u podstawiamy funkcję wewnętrzną.
I jeszcze jeden przykład:
'
4 x
(�e )�
Funkcja wewnętrzną jest tutaj oczywiście 4 x , więc podstawiamy za nią u, otrzymujemy więc
'
'
1 2
eu =� eu ��u' =� e4 x �� x =� e4 x �� 4 =� e4 x ��
(� )�
(�4 )�
2 x x
-przykłady od r) do u) obejmują złożenie więcej niż jednej funkcji. Na pewno taki przykład pojawi się
na kolokwium
Zad 2. Obliczyć pochodną trzeciego rzędu funkcji:
4
a) f (x) =� x +� ,
x
ln x
b) f (x) =� ,
x
2
ĆWICZENIA Z MATEMATYKI -
ZAGADNIENIA NA POPRAW
SEMESTRU II
c) f (x) =� x ln x .
2. INTERPRETACJA POCHODNYCH:
a) badanie monotoniczności i wyznaczanie ekstremów lokalnych funkcji,
b) badanie wypukłości i wyznaczanie punktów przegięcia funkcji.
Przykładowo:
Zad 1. Obliczyć ekstrema lokalne funkcji oraz zbadać monotoniczność funkcji:
x2 +� 2x x2
a) f x =� b) f x =�
(� )� (� )�
x2 -� 4 x2 -� 4
1+� ln x
c) f x =� ex x2 -� 3
(� )� d) f x =�
(� )� (� )�
x
Zad2. Określić przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji:
f (x) =� -�x4 +� 6x2 +� 5x -�11
f (x) =� x4 -� 96x2 -�15x +�1
f (x) =� 3x5 +�10x4 +�10x3 -� 5x -�11
4. POCHODNE FUNKCJI WIELU ZMENNYCH:
Zakres materiału dotyczący pochodnych funkcji będzie obejmował zadania 1 oraz 2 z zestawu, czyli
obliczanie pochodnych funkcji wielu zmiennych pierwszego i drugiego rzędu oraz zadanie 3, czyli
obliczanie gradientu. Przykładowo:
p�
Zad 1. Obliczyć gradient funkcji f x, y =� sin xsin y +� y2 cos x -� 2x +� y w punkcie Ać� ,0�� .
(� )�
�� ��
2
Ł� ł�
Zad 2. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji:
ć� x2 y +� xy2 ��
f x, y =� ln .
(� )�
�� ��
2xy
Ł� ł�
5. CAA
KI NIEOZNACZONE:
Zakres materiału dotyczący całek nieoznaczonych będzie obejmował całki z rozdziału 15 z książki:
W. Krysicki, L. Włodarski:  Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I
6. CAA
KI NIEOZNACZONE:
Zakres materiału dotyczący całek oznaczonych będzie obejmował całki wszystkie całki z zestawu oraz
całki z punktu 5 z dodanymi granicami całkowania.
3