Wykład 27
11.12 Efekt Dopplera
11.12.1 Znaczenie ośrodka
11.12.2 Efekt Dopplera w relatywistyce
11.13 Prędkości naddz
więkowe
05-01-21 Reinhard Kulessa 1
11.12 Efekt Dopplera
Jeżeli z
ródło emitujące falę oraz obserwator znajdują się
względem siebie w ruchu, obserwator zaobserwuje falę o
częstości zmienionej �zm w stosunki do częstości emitowanej
przez z
ródło �z. Taką zmianę częstości możemy często
zauważyć w ruchu ulicznym np. w czasie przejeżdżania obok
nas karetki na sygnale. Dla fal dz
więkowych efekt ten został
po raz pierwszy zauważony przez Christiana Dopplera 1842 r.
Doppler wynajął na dwa dni pociąg towarowy i grupę trębaczy z
wiedeńskiej orkiestry. Połowę muzyków umieścił w pociągu, a drugą na
stacji. Obydwie grupy trąbiły w tej samej tonacji. Muzycy byli oczywiście
w stanie określić wysokość słyszanego dz
więku.
05-01-21 Reinhard Kulessa 2
Przy obliczeniach różnicy częstości musimy rozróżnić
następujące przypadki;
ruch obserwatora,
ruch z
ródła fal,
oraz równoczesny ruch z
ródła i obserwatora.
Ruch oznacza tu w każdym przypadku ruch względem ośrodka
w którym rozchodzi się fala.
Przyjmijmy następujące oznaczenia,
Użyjmy dla częstości
u -- prędkość rozchodzenia się fali
oznaczenia f dla
vzr -- prędkość z
ródła,
lepszego odróżnienia
od prędkości v
vob -- prędkość obserwatora,
f0 -- częstość fali emitowanej przez z
ródło,
fob -- częstość fali odbieranej przez obserwatora
0 -- długość fali wysyłanej przez z
ródło
ob -- długość fali obserwowanej
05-01-21 Reinhard Kulessa 3
Rozważmy kilka przypadków:
I. vzr = 0, vob `"0
Fale będą dochodziły
do obserwatora z
prędkością równą
vob
sumie prędkości
obserwatora i
prędkości fali. Czas
pomiędzy dwoma
kolejnymi
wierzchołkami fal który zmierzy obserwator będzie równy;
0
Tob =
.
u + vob
05-01-21 Reinhard Kulessa 4
Częstość fali , którą odbiera obserwator wynosi więc;
u + vob vob
�ł
fob == f0 �ł1+ .
�ł�ł
(11.34)
0 �łłł
u
Wykorzystaliśmy tutaj zależność, że 0 =u/f0 .
Obserwatora, który oddala się od z
ródła zaobserwuje
częstość;
vob
�ł
(11.35)
fob = f0 �ł1- .
�ł�ł
u
�łłł
II. vob = 0, vzr < 0, vzr > 0
W tym przypadku obserwator spoczywa, a z
ródło fal
przybliża się do, lub oddala się od obserwatora.
05-01-21 Reinhard Kulessa 5
0
ob
u
vzr
O
vzr Tzr
y
ródło porusza się z prędkością vzr ,emituje falę pierwotną o
częstości f0 , która porusza się z prędkością u.
Dwa wierzchołki fali są generowane w odstępie czasowym
T0=1/ f0 .
W międzyczasie z
ródło przebywa drogę T0 vzr.
Odległość pomiędzy dwoma wierzchołkami będzie więc
(u " vzr )T0
.
05-01-21 Reinhard Kulessa 6
Czas pomiędzy dwoma wierzchołkami fali docierającymi do
u " vzr
obserwatora będzie więc różnił się o T0 .
u
Otrzymamy więc na częstość odbieraną przez obserwatora
wyrażenie;
u 1
fob = f0 = f0
vzr .
u " vzr
(11.36)
1"
u
- ruch w stronę obserwatora
+ ruch od obserwatora
05-01-21 Reinhard Kulessa 7
III. vob `" 0, vzr `" 0
W tym przypadku mamy do czynienia z czterema
możliwościami. Załóżmy, że zarówno z
ródło fali, jak i obserwator
poruszają się w tum samym kierunku.
vzr vob
Możemy znalez
ć częstość fal odbieranych przez obserwatora
bazując na dwóch już znanych przypadkach.
05-01-21 Reinhard Kulessa 8
Wskutek ruchu z
ródła długość emitowanej przez nie fali
zmienia się
.
2
 = 0 - vzrT0
Częstość fali widziana przez oddalającego się obserwatora
wynosi (patrz I);
u - vob .
fob =
długość zmieniona przez
2

ruch z
ródła
Otrzymamy więc;
u - vob u - vob u - vob 1
fob == =
0 - vzrT0 uT0 - vzrT0 u - vzr T0 .
Na obserwowaną w tym przypadku częstość otrzymujemy;
05-01-21 Reinhard Kulessa 9
u - vob
(11.37)
fob = f0 .
u - vzr
Poniższa tabela pokazuje wszystkie cztery możliwości.
z
ródło obserwator
u - vob
fob = f0
u - vzr
u + vob
fob = f0
u - vzr
u - vob
fob = f0
u + vzr
u - vob
fob = f0
u - vzr
05-01-21 Reinhard Kulessa 10
IV . Ruch pod kątem
Do tej pory rozważaliśmy przypadki, w których z
ródło fal i
obserwator poruszali się względem siebie po jednej prostej. Tak
jednak nie zawsze musi być.
vzr
�zr
�ob
vob
W takim przypadku bierzemy składowe równoległe prędkości
do kierunku łączącego z
ródło z obserwatorem.
05-01-21 Reinhard Kulessa 11
u - vob cos�o
(11.38)
fob = f0
.
u - vzr cos�zr
11.12.1 Znaczenie ośrodka
Stwierdziliśmy w rozważanych przypadkach, że dla efektu
Dopplera istotne jest, czy porusza się z
ródło fal, czy
obserwator. Pamiętamy, że fale np.; głosowe rozchodzą się w
powietrzu. Powietrze to jest dla nas wzorcem względem
którego wyznaczamy prędkość z
ródła i obserwatora.
Jeżeli wieje wiatr, musimy to uwzględnić w naszych
rozważaniach.
Rozważmy przypadek ruchomego obserwatora i stałego
wiatru.
05-01-21 Reinhard Kulessa 12
Wiatr vw
vob
obserwator
z
ródło
Na częstość fali którą zarejestruje obserwator uzyskamy
wartość;
u - vob + vw
(11.39)
fob = f0
.
u + vw
05-01-21 Reinhard Kulessa 13
11.12.2 Efekt Dopplera w relatywistyce
Wiemy, że dla fal elektromagnetycznych wzory (11.34), (11.35)
i (11.36) nie mogą być zastosowane. Dla fal
elektromagnetycznych nie istnieje ośrodek w którym
rozprzestrzenia się fala (brak  eteru ). Wobec tego przypadki
ruchomego z
ródła i ruchomego obserwatora są
nierozróżnialne. Wymienione równania muszą zostać
zastąpione przez wyrażenie, w którym wystąpi jedynie
względna prędkość pomiędzy z
ródłem a obserwatorem.
Rozpatrzmy następujący przykład.
Mamy z
ródło promieniowania elektromagnetycznego np.
nadajnik radarowy, który spoczywa w początku układu
współrzędnych U. Obserwator oddala się wzdłuż osi x z
prędkością v od tego z
ródła. y
ródło, wysyła impulsy w
regularnych odstępach czasowych �, które biegną z prędkością
światła c.
05-01-21 Reinhard Kulessa 14
t
x = c(t - �)
(x2, t2)
y
ródło
w czasie t
x=c � t
(x1, t1)
t = �
Obserwator ruchomy
x = x0 + v � t
x
O
x0
Obserwator spoczywający w układzie U zaobserwuje impulsy
radarowe w odstępach czasowych �.
Jaką częstość obserwuje poruszający się obserwator?
05-01-21 Reinhard Kulessa 15
Impuls 2
Impuls 1
Otóż;
A) Różnica czasu pomiędzy obserwacją dwóch impulsów
przez obserwatora w układzie U jest równa t2  t1.
Z matematycznych warunków na punkty przecięcia
(x1, t1) i (x2, t2) mamy;
x1 = c �"t1 = x0 + v �"t1 �! x0 = (c - v)�"t1
.
x2 = c �"(t2 -� ) = x0 + v �"t2 �! x0 + c �"� = (c - v)�"t2
Z równań tych otrzymujemy;
c
t2 - t1 = �
c - v
.
v
x2 - x1 = c �"�
c - v
05-01-21 Reinhard Kulessa 16
B. Tę samą różnicę czasową obserwator w układzie
ruchomym U zmierzy jako;
1 v
�ł(t -t1)- (x2 -x1)łł
t22 -t12 =
2
c2
�ł�ł
v2 �łśł .
1-
c2
Po wstawieniu wyliczonych powyżej wartości,
otrzymujemy;
1 cv c �"v
�łłł
t22 - t12 = - �
�ł�ł
v2 �ł� c - v c2 c - v śł
1-
c2
.
1 cv2
= � (1- )
v2 c - v c2
1-
c2
05-01-21 Reinhard Kulessa 17
Po krótkich przekształceniach otrzymujemy
v
1 +
c
.
t22 - t12 = �
v
1 -
c
Częstość, z którą ruchomy obserwator odbiera sygnały
jest równa;
1-
11v c
2
� ==
,
v
1+
t22 - t12 �
c
czyli
v
1 -
c
2
� = �
.
(11.40)
v
1 +
c
05-01-21 Reinhard Kulessa 18
Rozważaliśmy szczególny przypadek efektu Dopplera, kiedy
obserwator odbiera falę ze z
ródła oddalającego się od niego wzdłuż osi x.
W ogólnym przypadku fala świetlna o częstości drgań � wysłana ze z
ródła
O spoczywającego w układzie U , który porusza się z prędkością v
względem układu U wzdłuż osi Ox, może docierać do obserwatora O
spoczywającego (w punkcie P) w układzie U pod kątem ą względem
kierunku ruchu z
ródła O .
Obserwator w punkcie P
y
y
zmierzy następującą częstość �
P
v
fali świetlnej;
1
ą
x
2
� = �
.
� = v c
ł (1- � cosą)
x
O a" O
ł =1 1- �2
Prześledz
my krótko własności relatywistycznego przesunięcia
dopplerowskiego.
05-01-21 Reinhard Kulessa 19
1. Dla ą = 00 z
ródło i obserwator zbliżają się do siebie. Częstość
obserwowanej fali ulega przesunięciu ku fioletowi.
2. Dla ą = Ą z
ródło i obserwator oddalają się od siebie. Mamy wtedy do
czynienia z przesunięciem ku czerwieni.
3. Dla kątów ą = Ą/2, 3Ą/2 mamy do czynienia z poprzecznym
relatywistycznym efektem Dopplera. Nie ma on odpowiednika w
mechanice klasycznej.
2
� =� �"(1- v2 c2)1 2 .
Przesunięcie ku czerwieni widm odległych galaktyk definiujemy jako;
12
1+(v c)
�łłł
z =�2 -1=
�ł1-(v c)śł -1 .
�
�ł�ł
Zależność pomiędzy prędkością galaktyk v a ich odległością r jest następująca;
v = H �"r ,
gdzie H jest stałą Hubble a i H d" (75 km/s)/Mpc, 1Mpc = 3.086�1022 m.
(1 + z)2 - 1
Wiadomo również, że v =Reinhard Kulessa �" c
05-01-21 20
.
(1 + z)2 + 1
11.13 Prędkości naddz
więkowe
Powróćmy do rozchodzenia się dz
więku i zastanówmy się co
dzieje się gdy prędkość z
ródła dz
więku vzr jest równa prędkości
dz
więku u. Powstaje wtedy fala uderzeniowa. Następuje
kumulacja energii na czole fali. Natężenie rośnie do ".
Czoło fali
Przykład ---- lecący pocisk o
prędkości vzr= 1.01 u.
vzr
05-01-21 Reinhard Kulessa 21
F/A Hornet przekraczający
Barierę dz
więku
05-01-21 Reinhard Kulessa 22
Kiedy obiekt emitujący dz
więk ma prędkość większą od prędkości
rozchodzenia się dz
więku, płaskie czoło fali uderzeniowej zmienia
się w stożek. Również energia koncentruje się na powierzchni
Stożka.
Połowa kąta rozwarcia stożka
jest dana przez;
u 1
sin� = =
.
vzr M
vzr
M jest nazwane liczbą Macha.
Świetlne fale uderzeniowe również
vzr T
istnieją w ośrodkach o współczynniku
załamania n >1 co zmniejsza
prędkość światła w stosunku do tej
w próżni. Powstające świetlne fale uderzeniowe nazywamy
05-01-21 Reinhard Kulessa 23
promieniowaniem Cerenkova.