Wstęp do topologii  ćwiczenia
Matematyka I rok, rok akad. 2015/16
1. Lista nr 1.
1. Niech X = R2. Zbadać, które z poniższych funkcji są metrykami w X :
a) d((x1, y1), (x2, y2)) = |x2 - x1| + |y2 - y1|,
b) d((x1, y1), (x2, y2)) = |x2 - x1| - |y2 - y1|,
c) d((x1, y1), (x2, y2)) = |x2 - x1| + 2 |y2 - y1|,
d) d((x1, y1), (x2, y2)) = max{|x2 - x1|, |y2 - y1|},
e) d((x1, y1), (x2, y2)) = max{2 |x2 - x1|, |y2 - y1|},
f) d((x1, y1), (x2, y2)) = max{|x2 - x1|, y2 - y1},
g) d((x1, y1), (x2, y2)) = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2,
"
h) d((x1, y1), (x2, y2)) = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2.
W przypadku, gdy dana funkcja jest metryką, podać jak wyglądają kule i sfery w tej
przestrzeni metrycznej oraz scharakteryzować ciągi zbieżne.
2. Dana jest przestrzeÅ„ metryczna (X, Å„). OkreÅ›lmy funkcjÄ™ Å„ : X × X [0, ") wzorem
Å„(x, y)
Å„(x, y) := .
1 + Å„(x, y)
Pokazać, że ń jest również metryką w X. Wykazać, że metryki ń i ń są równoważne.
To samo co wyżej pokazać, o funkcji: ń(x, y) := min{ń(x, y), 1}.
3. Niech (X, dX) i (Y, dY ) będą przestrzeniami metrycznymi. Określmy funkcję
d : (X × Y ) × (X × Y ) [0, ") wzorem
d((x1, y1), (x2, y2)) := dX(x1, x2) + dY (y1, y2), (x1, y1), (x2, y2) " X × Y.
a) Udowodnić, że d jest metrykÄ… w X × Y .
b) Wykazać, że
d dX dY
(xn, yn) (x0, y0) Ð!Ò! xn x0 i yn y0.
c) Rozważyć sytuację, gdy X = Y = R, dX  metryka dyskretna, dY  metryka
dyskretna. Opisać jak wyglÄ…dajÄ… kule oraz sfery w przestrzeni metrycznej (R × R, d)
1 3
(np. o środku w punkcie (0, 0) i promieniach r = , r = ).
2 2
d) Rozważyć sytuację, gdy X = Y = R, dX  metryka naturalna, dY  metryka
dyskretna. Opisać jak wyglÄ…dajÄ… kule oraz sfery w przestrzeni metrycznej (R × R, d)
(np. o środku w punkcie (1, 0) i promieniach r = 1, r = 2).
4. Czy odwzorowanie
{
|x - y|, gdy x - y " Q,
d : [0, 1] × [0, 1] " (x, y) d(x, y) =
1, gdy x - y 8" Q
jest metrykÄ… w [0, 1]? Czy coÅ› siÄ™ zmieni, gdy [0, 1] zastÄ…pimy przez [0, 10]?
5. Niech A = " oraz f : A R będzie funkcją injektywną. Wykazać, że funkcja
8
d(x, y) := |f(x) - f(y)|, x, y " A
jest metrykÄ… w A.
Wstęp do topologii  ćwiczenia
Matematyka I rok, rok akad. 2015/16
2. Lista nr 2.
1. Wykazać, że metryka euklidesowa (w Rn) jest metryką.
2. Wyznaczyć kule oraz sfery w metryce "rzeka" (definicja metryki na wykładzie).
3. (a) Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną i z0 " X. Uzasadnić, że funkcja
{
0, gdy z1 = z2,
Å„(z1, z2) =
d(z1, z0) + d(z0, z2), gdy z1 = z2
8
jest metrykÄ… w X.
(b) Rozważmy sytuację, gdy X = R2, d jest metryką euklidesową, z0 = (2, 0) oraz ń
jest metryką określoną w (a). Wyznaczyć kule oraz sfery (w metryce ń) o środku
1 1
w punkcie (0, 0) i promieniach 1 oraz 4. Czy ciÄ…g (n, ) zmierza w metryce Å„ do
n
punktu (0, 0)?
4. Niech (X, d) bÄ™dzie przestrzeniÄ… metrycznÄ…. ÅšrednicÄ… niepustego zbioru A ‚" X nazy-
wamy liczbę (może to być nieskończoność):
´(A) = diam A := sup{d(x, y) : x, y " A}.
Dla zbioru pustego przyjmujemy ´(") := 0.
Zbiór A nazywamy ograniczonym jeśli zawiera się on w pewnej kuli.
(a) Podać przykłady zbiorów ograniczonych i nieograniczonych (w różnych metrykach);
zbioru, który w jednej metryce jest ograniczony, a w innej nie; niepustego zbioru,
którego średnica jest równa zero.
(b) Czy prawdziwa jest równość ´(K(x0, r)) = 2r?
(c) Czy średnica kuli otwartej jest taka sama, jak kuli domkniętej (o tym samym środku
i promieniu)?
(d) Pokazać, że
A ‚" B =Ò! ´(A) d" ´(B).
(e) Pokazać, że A jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy ´(A) < ".
5. Wykazać, że jeżeli w przestrzeni metrycznej ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony (szkic
dowodu został podany na wykładzie).
6. Niech (X, Å„) bÄ™dzie przestrzeniÄ… metrycznÄ… i " 8= A ‚" X. Udowodnić, że
|d(x, A) - d(y, A)| d" Å„(x, y) , x, y " X,
gdzie d(x, A) oznacza odległość punktu x od zbioru A.
7. Wyznaczyć Å›rednicÄ™ oraz odlegÅ‚ość punktu z od zbioru A, gdy A = [0, 1]×[0, 1], z = (1, 3)
względem metryki dyskretnej (euklidesowej, miejskiej, maksimum,...) w R2.
8. (a) Niech (X, Å„) bÄ™dzie przestrzeniÄ… metrycznÄ…, " 8= A ‚" X. Niech d := Å„|A×A.
Wykazać, że d jest metryką (w A).
(b) Rozważmy sytuację, gdy X = R2, ń - metryka euklidesowa,
A = {(x, y) " R2 ; x2 + y2 < 4} oraz metryka d jest określona jak w (a). W
przestrzeni metrycznej (A, d) wyznaczyć kule: K((0, 0), 2), K((1, 5; 0), 3). Co można
powiedzieć o tych kulach?
Wstęp do topologii  ćwiczenia
Matematyka I rok, rok akad. 2015/16
3. Lista nr 3.
1. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Określmy
Äd := {U ‚" X : " x " U " r > 0 K(x, r) ‚" U}.
Udowodnić, że Äd (rodzina zbiorów otwartych) speÅ‚nia warunki: jeÅ›li A, B " Äd, to
*"
A )" B " Äd; jeÅ›li Ai " Äd dla i " I, to Ai " Äd. Warunek: ", X " Äd byÅ‚ wykazany
i"I
na wykładzie.
2. Udowodnić
)"własności rodziny Dd (zbiorów domkniętych): ", X " Dd; jeśli Ai " Dd dla
i " I, to Ai " Dd. Warunek: jeśli A, B " Dd, to A *" B " Dd był wykazany na
i"I
wykładzie.
3. Wykazać, że w dowolnej przestrzeni metrycznej każdy zbiór jednoelementowy (więc i
skończony, dlaczego?) jest zbiorem domkniętym (szkic dowodu podany był na wykładzie).
Podać przykład przestrzeni metrycznej i zbioru nieskończonego, który nie jest domknięty.
4. Wykazać, że jeżeli w przestrzeni metrycznej zbiór A jest domknięty i niepusty, to
prawdziwa jest równoważność (szkic dowodu podany był na wykładzie)
x " A Ð!Ò! d(x, A) = 0.
5. Wykazać, że w przestrzeni metrycznej kula jest zbiorem otwartym (szkic dowodu podany
był na wykładzie), a kula domknięta jest zbiorem domkniętym.
6. Niech
A1 = (1, 2) × {0}, A2 = (-1, 1) × {0}, A3 = (-1, 1) × (0, 1), A4 = (-1, 1) × [0, 1].
Zbadać otwartość (domkniętość) zbiorów Ai, gdy w R2 jest metryka euklidesowa (me-
tryka z zad. 3 d) z listy nr 1, metryka dyskretna, metryka "rzeka",...). Wyznaczyć
domknięcia i wnętrza wymienionych zbiorów w wybranych metrykach.
7. Wykazać, że dla dowolnych podzbiorów A, B przestrzeni metrycznej X zachodzą równości:
int A = X \ cl (X \ A),
cl B = X \ int (X \ B).
8. Dla A ‚" X definiujemy Fr A := cl A )" cl (X \ A). Pokazać, że
Fr A = cl A \ int A.
9. Ustalić związki między zbiorami:
cl (A )" B) i cl A )" cl B; int (A *" B) i int A *" int B; cl (A \ B) i cl A \ cl B;
int (A \ B) i int A \ int B; Fr (A *" B) i Fr A *" Fr B; Fr (A )" B) i Fr A )" Fr B.
WSKAZÓWKA.
Z wykładu wiadomo, że w R z metryką naturalną mamy
intQ = intIQ = ", clQ = clIQ = R.
Wstęp do topologii  ćwiczenia
Matematyka I rok, rok akad. 2015/16
4. Lista nr 4.
1. Czy w dowolnej przestrzeni metrycznej prawdziwe są równości:
( )
cl (K(x, r)) = K(x, r), int K(x, r) = K(x, r)?
2. Wykazać, że A jest zbiorem brzegowym (tzn. intA = ") wtedy i tylko wtedy, gdy
A ‚" Fr A.
3. Wykazać, że w przestrzeni metrycznej zbiór A jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy
spełniony jest warunek
"(xn)‚"A "x " X ( xn x Ò! x " A) .
Wskazówka. Wiemy, że
a) Zbiór A jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy A = clA.
b)
x " clA Ð!Ò! "(xn)‚"A xn x.
4. Wykazać następujące własności pochodnej zbioru:
cl A = A *" Ad; (A *" B)d = Ad *" Bd; A ‚" B Ò! Ad ‚" Bd.
5. Uzasadnić, że w dowolnej przestrzeni metrycznej pochodna każdego zbioru jednoelemen-
towego (więc i skończonego) jest zbiorem pustym.
6. Czy operacja brzegu (F r) jest operacjÄ… monotonicznÄ…?
7. Wykazać, że w dowolnej przestrzeni metrycznej pochodna dowolnego(zbioru jest zbiorem
)d
domkniÄ™tym. Jak wiadomo z wykÅ‚adu wystarczy udowodnić inkluzjÄ™ Ad ‚" Ad. Podać
( )d
przykład przestrzeni metrycznej i jej podzbioru A takiego, że Ad = Ad.
8
8. Podać pełną charakteryzację zbiorów gęstych (brzegowych, nigdziegęstych, pierwszej
kategorii, drugiej kategorii, w sobie gęstych) w przestrzeni metrycznej R z metryką
dyskretnÄ….
9. Czy podzbiór (nadzbiór) zbioru gęstego (brzegowego, nigdziegęstego, pierwszej kategorii,
drugiej kategorii, w sobie gęstego) musi być zbiorem gęstym (brzegowym, nigdziegęstym,
pierwszej kategorii, drugiej kategorii, w sobie gęstym)?
10. Czy suma (iloczyn, różnica) dwóch zbiorów gęstych (brzegowych, nigdziegęstych, pier-
wszej kategorii, drugiej kategorii, w sobie gęstych) musi być zbiorem gęstym (brzegowym,
nigdziegęstym, pierwszej kategorii, drugiej kategorii, w sobie gęstym)?
Na wykładzie zostało m.in. wykazane, że iloczyn dwóch otwartych zbiorów gęstych jest
zbiorem gęstym oraz, że suma dwóch zbiorów nigdziegęstych jest zbiorem nigdziegęstym.
Wstęp do topologii  ćwiczenia
Matematyka I rok, rok akad. 2015/16
5. Lista nr 5.
1. Niech (X, d1) i (Y, d2) będą przestrzeniami metrycznymi, f: X Y oraz x0 " X.
Wykazać, że funkcja jest ciągła w punkcie x0 w sensie definicji Cauchy ego wtedy i tylko
wtedy, gdy jest ciągła w tym punkcie sensie definicji Heinego.
2. Niech (X, d1) i (Y, d2) będą przestrzeniami metrycznymi, f: X Y. Udowodnić, że jeżeli
przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego jest zbiorem otwartym, to funkcja jest ciągła
(tzn. jest ciągła w każdym punkcie). Implikacja przeciwna była wykazana na wykładzie.
3. Niech (X, d1) i (Y, d2) będą przestrzeniami metrycznymi, Dd1, Dd2 rodzinami zbiorów
domkniętych w X i Y. Udowodnić, że dla dowolnej funkcji f: X Y następujące
warunki są równoważne:
(a) funkcja f jest ciągła;
(b) " B " Dd2 f-1(B) " Dd1;
(c) " A ‚" X f(cl A) ‚" cl f(A);
(d) " B ‚" Y cl f-1(B) ‚" f-1(cl B);
(e) " B ‚" Y f-1(int B) ‚" int f-1(B).
4. Niech (X, d1) i (Y, d2) będą przestrzeniami metrycznymi. Udowodnić, że dla dowolnej
bijekcji f: X Y równoważne są następujące warunki:
(a) funkcja f jest homeomorfizmem;
(b) " A ‚" X f(cl A) = cl f(A);
(c) " A ‚" X f(int A) = int f(A).
5. Niech X, Y będą przestrzeniami metrycznymi. Wykazać, że jeżeli funkcja f: X Y jest
homeomorfizmem, to dla dowolnego zbioru A ‚" X mamy
f(F rA) = F r f(A).
6. Niech f: X Y będzie odwzorowaniem ciągłym (homeomorfizmem, izometrią). Czy f
pozostanie odwzorowaniem ciągłym (homeomorfizmem, izometrią), jeśli metrykę w X
(lub w Y ) zastąpimy metryką równoważną?
7. Zbadać które własności zbiorów przenoszą się przez ciągłe surjekcje (homeomorfizmy,
izometrie). Innymi słowy, które własności zbiorów są niezmiennikami odwzorowań ciągłych
(homeomorfizmów, izometrii). Na wykładzie było uzasadnione, że gęstość jest niezmi-
ennikiem odwzorowań ciągłych oraz brzegowość jest niezmiennikiem homeomorfizmów
(i brzegowość nie jest niezmiennikiem odwzorowań ciągłych).
8. Niech X = [0, 2) *" {4}, Y = [0, 2] oraz funkcja f: X Y będzie określona następująco:
{
x, gdy x " [0, 2),
f(x) = ,
2, gdy x = 4
przy czym w X i w Y mamy metrykę naturalną. Zbadać czy funkcja f jest homeomor-
fizmem.
Wstęp do topologii  ćwiczenia
Matematyka I rok, rok akad. 2015/16
6. Lista nr 6.
1. Wykazać, że dowolny ciąg Cauchy ego jest ciągiem ograniczonym.
2. Udowodnić, że jeżeli ciąg Cauchy ego (xn) zawiera podciąg zbieżny do x0, to ciąg (xn)
jest zbieżny do x0.
3. Niech (X, dX) i (Y, dY ) będą przestrzeniami metrycznymi. Rozważmy w przestrzeni
X × Y metrykÄ™
d((x1, y1), (x2, y2)) := dX(x1, x2) + dY (y1, y2), (x1, y1), (x2, y2) " X × Y.
Wykazać, że:
a) jeżeli zbiór A ‚" X jest gÄ™sty (w X) i zbiór B ‚" Y jest gÄ™sty (w Y ), to zbiór A × B
jest gÄ™sty (w X × Y );
b) jeżeli przestrzenie (X, dX) i (Y, dY ) sÄ… oÅ›rodkowe, to przestrzeÅ„ (X × Y, d) jest
ośrodkowa;
c) jeżeli ((xn, yn))n jest ciÄ…giem Cauchy ego w X×Y , to (xn)n jest ciÄ…giem Cauchy ego
w X a (yn)n ciÄ…giem Cauchy ego w Y ;
d) jeżeli przestrzenie (X, dX) i (Y, dY ) sÄ… zupeÅ‚ne, to przestrzeÅ„ (X×Y, d) jest zupeÅ‚na;
e) jeżeli przestrzenie (X, dX) i (Y, dY ) sÄ… zwarte, to przestrzeÅ„ (X × Y, d) jest zwarta.
WSKAZÓWKA. Skorzystać z zadania 3 (b) z listy nr 1.
4. Rozważmy przestrzeń metryczną (X, d), gdzie d jest metryką dyskretną. Wykazać, że:
a) przestrzeń (X, d) jest przestrzenią zupełną;
b) przestrzeń (X, d) jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór X jest
skończony;
c) przestrzeń (X, d) jest przestrzenią ośrodkową wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór X jest
przeliczalny;
b) przestrzeń (X, d) jest przestrzenią spójną wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór X jest
jednoelementowy.
5. Zbadać czy przestrzeń R2 z metryką euklidesową (maksimum, taksówkową,...) jest przestrzenią
ośrodkową (zupełną, zwartą).
6. Niech (X, Å„) bÄ™dzie przestrzeniÄ… metrycznÄ…, " 8= A ‚" X i d := Å„|A×A. Załóżmy, że
przestrzeń (X, ń) jest zupełna. Udowodnić, że przestrzeń (A, d) jest zupełna wtedy i
tylko wtedy, gdy A jest zbiorem domkniętym w X.
7. Niech (X, d1), (X, d2) będą przestrzeniami metrycznymi oraz metryki d1, d2 będą równoważne.
Wykazać, że prawdziwe są równoważności:
a) przestrzeń (X, d1) jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ośrodkowa jest przestrzeń
(X, d2);
b) przestrzeń (X, d1) jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy zwarta jest przestrzeń
(X, d2).
1
8. Podać przykłady przestrzeni metrycznych (X, d1), (X, d2) takich, aby metryki d1, d2
były równoważne, przestrzeń (X, d1) była zupełna, a przestrzeń (X, d2) zupełna nie
była.
WSKAZÓWKA.
Rozważyć X = R, d1(x, y) = |x - y|, d2(x, y) = |arctg x - arctg y|, x, y " R.
9. Niech d będzie daną metryką w X, wówczas ń określona wzorem
d(x, y)
Å„(x, y) := , x, y " X
1 + d(x, y)
jest (jak wiadomo) także metryką w X. Wykazać, że zupełność metryki d jest równoważna
zupełności metryki ń.
10. Uzasadnić, że jeżeli przestrzeń metryczna (X, d) jest zupełna, to X jest zbiorem drugiej
kategorii.
WSKAZÓWKA. Skorzystać z twierdzenia Baire a.
11. Rozważmy w zbiorze X = [0, 1] metrykę
{
|x - y|, gdy x - y " Q,
d(x, y) =
1, gdy x - y 8" Q.
Zbadać czy przestrzeń metryczna ([0, 1], d) jest zupełna.
WSKAZÓWKA. Niech (xn)n będzie ciągiem liczb wymiernych z przedziału [0, 1] zbieżnym
"
1
w metryce naturalnej do liczby 2. Czy ciÄ…g (xn)n jest ciÄ…giem Cauchy ego w przestrzeni
2
metrycznej ([0, 1], d)? Czy ciąg (xn)n jest zbieżny przestrzeni metrycznej ([0, 1], d)?
12. Wykazać, że ciąg zdefiniowany (patrz wykład) w dowodzie twierdzenia Banach o punkcie
stałym jest ciągiem Cauchy ego.
13. Udowodnić, że w dowolnej przestrzeni metrycznej X równoważne są warunki:
a) przestrzeń X jest spójna;
b) "A‚"X (intA = A = clA =Ò! A = " lub A = X) ;
c) "A‚"X (F rA = " =Ò! A = " lub A = X) .
14 Wykazać, że jeżeli (X, d1), (Y, d2) są przestrzeniami metrycznymi, (X, d1) jest spójna
oraz funkcja f : X Y jest ciągłą surjekcją, to przestrzeń (Y, d2) jest spójna.
15 Czy istnieje funkcja ciągła f : R R (w dziedzinie i przeciwdziedzinie jest metryka
naturalna) taka, że
a) f([0, 1] *" [2, 3]) = [5, 7],
b) f((1, 2)) = (2, 3) *" (4, 5),
c) f([1, 2]) = (2, 5],
d) f([2, 3)) = (0, ")?
2