Zadania na ćwiczenia rachunkowe z fizyki
dla studentów Fizyki Technicznej, rok I, sem. 1
Część IVB. Dynamika układu punktów materialnych — ruch obrotowy
ciała sztywnego
IVB.1) Moment bezwładności cząsteczki fluorowodoru HF względem jej środka masy wynosi I = 1 , 37 · 10 − 47 kg · m2. Znaleźć odległość między atoma-mi wodoru i fluoru, jeżeli masa atomu wodoru mH = 1 , 67 · 10 − 27 kg, a masa atomu fluoru mF = 3 , 17 · 10 − 26 kg.
IVB.2) Obliczyć moment bezwładności jednorodnego pręta o długości l i masie m względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez: a) koniec pręta, b) środek pręta.
IVB.3) Wyprowadzić wzór na moment bezwładności okrągłej tarczy o masie m i promieniu R względem osi przechodzącej przez jej środek i prostopadłej do jej powierzchni.
IVB.4) Wyprowadzić wzór na moment bezwładności kuli o masie m i promieniu R względem osi przechodzącej przez jej środek.
IVB.5) Koło zamachowe o momencie bezwładności I obraca się z częstotliwością f 0. W pewnej chwili przyłożono stały moment siły, który je wy-hamował aż do osiągnięcia częstotliwości obrotów f . Obliczyć moment siły hamujący koło, wiedząc, że w tym czasie koło wykonało N obrotów.
IVB.6) Przez bloczek o promieniu R i masie m przerzucono linkę obciążoną masami m 1 i m 2 ( m 1 > m 2). Znaleźć przyspieszenie mas i napięcia linki.
Przyspieszenie ziemskie jest równe g, ciężar linki pominąć.
IVB.7) Na kołowrót, składający się z dwóch współosiowych krążków o pro-mieniach R i r, nawinięte są w przeciwnych kierunkach dwie lekkie nici obcią-
żone masami m 1 i m 2. Znaleźć przyspieszenie kątowe kołowrotu i siły naciągu nici. Moment bezwładności kołowrotu wynosi I, przyspieszenie ziemskie g.
IVB.8) Na wydrążony walec o masie m nawinięto cienką, lekką nić. Jej koniec przymocowano do sufitu a następnie walec puszczono swobodnie. Znaleźć
1
jego przyspieszenie i siłę napięcia nici. Przyspieszenie ziemskie jest równe g.
Położenie nici przyjąć za dokładnie pionowe.
IVB.9) Wahadło Maxwella składa się z grubego dysku o promieniu R, umo-cowanego na osi o promieniu r. Oś dysku zawieszona jest na dwóch nawiniętych na nią nitkach. Przyjmując, że ruch postępowy wahadła zachodzi w płaszczyźnie pionowej, znaleźć jego przyspieszenie. Moment bezwładności osi pominąć, przyspieszenie ziemskie wynosi g.
IVB.10) Po równi pochyłej o kącie nachylenia α toczą się na dół z tej samej wysokości jednorodny walec i jednorodna kula. Znaleźć: a) przyspieszenia środków mas tych ciał, jeżeli ruch odbywa się bez poślizgu a oś walca jest pozioma, b) prędkości środków mas tych ciał po przebyciu drogi l, jeżeli w chwili początkowej były one w spoczynku, c) maksymalną wartość kąta α, dla którego ruch odbywa się bez poślizgu, jeżeli współczynnik tarcia wynosi f . Przyspieszenie ziemskie jest równe g.
IVB.11) Na poziomej płaszczyźnie położono walec o promieniu R, obraca-jący się z prędkością kątową ω 0. Określić, po jakim czasie walec zacznie się toczyć bez poślizgu po płaszczyźnie i jaka będzie wtedy prędkość jego środka masy. Współczynnik tarcia walca o płaszczyznę jest równy f , przyspieszenie ziemskie g.
IVB.12) W czasie pokazów gimnastyki artystycznej można oglądać ćwicze-nie, w którym obręcz rzucona przez zawodniczkę tocząc się początkowo z po-
ślizgiem wraca ku niej i w końcowej fazie ruchu toczy się już bez poślizgu. Jest to możliwe, jeżeli w czasie rzutu zawodniczka nada obręczy ruch obrotowy w przeciwnym kierunku. Jaki powinien zachodzić związek pomiędzy począt-kowymi wartościami prędkości ruchu postępowego v 0 i prędkości kątowej ω 0
obręczy o promieniu R, aby wróciła ona do zawodniczki?
Odpowiedzi
q
IVB.1) l =
I( mH + mF ) = 9 , 3 · 10 − 11 m.
mH mF
IVB.2) a) I = 1 ml 2, b) I = 1 ml 2.
3
12
IVB.3) I = 1 mR 2.
2
2
IVB.4) I = 2 mR 2.
5
IVB.5) M = πI ( f 2 − f 2) /N.
0
IVB.6) a = ( m 1 −m 2) g , N
, N
.
m
1 = (2 m 2+ m/ 2) m 1 g
2 = (2 m 1+ m/ 2) m 2 g
1+ m 2+ m/ 2
m 1+ m 2+ m/ 2
m 1+ m 2+ m/ 2
IVB.7) ε = ( m 1 R−m 2 r) g , N
, N
.
I+ m
1 = [ I+ m 2 r( r+ R)] m 1 g 2 = [ I+ m 1 R( r+ R)] m 2 g 1 R 2+ m 2 r 2
I+ m 1 R 2+ m 2 r 2
I+ m 1 R 2+ m 2 r 2
IVB.8) a = g/ 2, N = mg/ 2.
IVB.9) a =
g
.
1+ R 2 / 2 r 2
q
IVB.10) a) a
4
w = 2 g sin α, a
g sin α, b) v
gl sin α,
3
k = 5
7
w =
3
q
v
10
k =
gl sin α, c) walec: tg α ¬ 3 f , kula: tg α ¬ 3 , 5 f .
7
IVB.11) t = ω 0 R/ 3 f g, v = ω 0 R/ 3.
IVB.12) v 0 < ω 0 R.
Wzory
1. Moment bezwładności
a) układ punktów materialnych:
n
I = X mir 2 i
i=1
b) ciało sztywne:
Z
I =
r 2 dm
V
[I]=kg · m2
c) momenty bezwładności brył (rys. 1):
a)
pręt
I = 1 ml 2
3
b)
pręt
I = 1 ml 2
12
c)
walec
I = 1 mR 2
2
d)
kula
I = 2 mR 2
5
d) twierdzenie Steinera (rys. 2):
I = Ic + ma 2
3
~
M = ~r × ~
F
[M]=N · m=kg · m2/s2
3. II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego (rys. 3):
~
M = I~ε
R
l
l/2
l/2
R
m
m
m
m
a)
b)
c)
d)
Rysunek 1:
Ic
I
a
c
m
Rysunek 2:
Rysunek 3:
4