ROZWIĄZANIA ZADAŃ EGZAMINACYJNYCH

Z PODSTAW ELEKTROTECHNIKI

STUDIUM ZAOCZNE (GRUDZIĄDZ)

SEMESTR II

z dnia 03.07.2004

Zadanie 1

Dla podanego obwodu napisać równania według metody potencjałów węzłowych umożliwiających jego rozwiązanie.

V2

R

R

1

3

R2

R4

R5

E

V1

V3

I

R

0

0

Rozwiązanie

Narzucone w treści zadania oznaczenia (nazwy) potencjałów punktów węzłowych oraz zerowa (odniesieniowa) wartość potencjału pozwalają określić potencjał jednego z węzłów bezpośrednio: V = − E

3

Pozostałe równania zapisać należy bazując na prądowym prawie Kirchhoffa następująco: V − V

V

1

2

1

+

= I0

- dla węzła z potencjałem V

R

R

1

5

1

,

V − V

V − V

V

2

1

2

3

2

+

+

= 0

- dla węzła z potencjałem V

R

R + R

R

1

3

4

2

2

.

Proste przekształcenia tych równań prowadzą do układu:

 1

1 

1

+

⋅ V −

⋅ V = I

1

2

0

 R R 

R

 1

5 

1

,

1

 1

1

1



E

−

⋅ V +

+

+

⋅ V = −

1

2

R

 R R

R + R 

R + R

1

 1

2

3

4 

3

4 .

Zadanie 2

Obliczyć wartość rezystancji Rx, przy której moc wydzielona w tym rezystorze ma wartość największą. Obliczyć tę moc.

1k

3k

40V

20mA

R

2k

x

Rozwiązanie

W celu rozwiązania zadania należy „wyciąć” z obwodu rezystor Rx i punktu widzenia zacisków, pozostałych po tym cięciu, zastosować twierdzenie Thevenina o zastępczym źródle napięciowym. W ten sposób obwód zostanie doprowadzony do postaci pokazanej na następującym rysunku:

RT

E

R

T

x

Wyznaczenie wartości zastępczego napięcia źródłowego Thevenina ET polega na rozwiązaniu obwodu pozostałego po „wycięciu”

Rx w obwodzie

1k

3k

40V

2k

20mA

Zastosowanie twierdzenia Thevenina w tym obwodzie przekształci obwód do postaci: 1k

3k

2k

40V

40V

Tutaj już prosto wyznaczyć można napięcie na zaciskach pozostałych po Rx, bowiem ze względu na równowagę źródeł

napięciowych, w obwodzie prąd nie będzie płynął. W związku z tym ET = 40 V. Rezystancja RT będzie efektem połączenia równoległego 1 kΩ i 5 kΩ (2 kΩ + 3 kΩ) czyli RT = 833 Ω. Dopasowanie energetyczne osiągnięte zostanie dla Rx = RT = 833 Ω, zaś maksymalna moc wydzielająca się na Rx będzie

E 2

402

P

T

=

=

= 480 mW

.

x m

ax

4⋅ R

4 ⋅ 833

T

Zadanie 3

Obliczyć wartość średnią i wartość skuteczną podanego okresowo zmiennego przebiegu napięcia.

u [V]

24

12

5

t [ms]

10

15

-12

Rozwiązanie

Obliczenia wartości średniej i skutecznej przebiegu okresowego wymagają, zgodnie z definicja tych wartości, całkowania przebiegu oraz jego kwadratu w przedziale równym okresowi. Należy więc przede wszystkim zadany przebieg napięcia opisać analityczne w przedziale okresowości:

 24

u(t) 

⋅ (t − 5m)

dla

t ∈ (0,10m]

=  10m



12

dla

t ∈ (10m,15m]

.

Zgodnie z definicją wartości średniej: 1

15m

10m

15m





U =

⋅ u

∫

=

⋅ ∫

⋅ −

+ ∫

=  =

śr

(t)

1

24

dt



(t m

5 ) dt

dt

12

V

4 .

m

15



0

m

15

 0 10m

10m



Podobnie wartość skuteczna:

1

15

10m

2

m

15m









U =

⋅ u2

∫

=

⋅  ∫ 

⋅ −



+ ∫

 =  =

≈

sk

(t)

1

24

dt

(t 5m) dt

(12)2dt

4 5 V

V

8,944 .

15m 0

15m  0  10m



10m





Zadanie 4

Na rysunku przedstawiono przebieg mocy chwilowej p(t) odbiornika. Wyznaczyć współczynnik mocy tego odbiornika oraz częstotliwość napięcia zasilającego.

p(t) [W]

30

10

t [ms]

-10

10

Rozwiązanie

Współczynnik mocy odbiornika, jak wiadomo, jest stosunkiem mocy czynnej do pozornej tego odbiornika. Z załączonego rysunku, przedstawiającego moc chwilową odbiornika, można odczytać moc czynną, jako wartość średnią za okres mocy chwilowej (P = 10 W) oraz moc pozorną, jako amplitudę zmian mocy chwilowej (S = 20 VA). Poszukiwany współczynnik mocy jest więc równy

cos(ϕ ) P 10

=

=

= 5

,

0

S

20

.

Częstotliwość mocy chwilowej jako odwrotność okresu jest zaś równa 1

1

f =

=

= 100 H

z.

p

10m

0

,

0 1

Częstotliwość mocy chwilowej jest dwukrotnie większa od częstotliwości harmonicznych przebiegów napięciowo prądowych, więc poszukiwana częstotliwość napięcia zasilającego f = 50 Hz.

Zadanie 5

W podanym obwodzie prądu przemiennego obliczyć wskazanie watomierza i amperomierzy. Przyjąć e(t) = 230·sin(ωt) V, ω = 314 s-1. Naszkicować wykres fazorowy układu.

W

A2

0,2 H120 Ω

e(t)

A

20

3

µ F

A1

Rozwiązanie

Obwód rozwiązać najlepiej stosując metodę wartości skutecznych zespolonych. W tym celu naszkicować wypada schemat obwodu raz jeszcze, z wartościami impedancji zespolonych elementów i wartością skuteczną zespolona napięcia zasilającego.

jXL

E

120 Ω

-jXC

Wartości reaktancji XL oraz XC obliczymy następująco: XL = ω L = 314⋅ ,

0 2 =

Ω

8

,

62

,

1

1

X =

=

= 159,2

3 Ω .

C

ω C 314⋅ 20 ⋅10− 6

230

E =

⋅ exp( j⋅ 0o ) ≈

V.

64

,

162

Wartość skuteczna zespolona napięcia zasilającego 2

Z wielu znanych metod rozwiązania zaproponuję następującą:



− jX ⋅ I 

− jX ⋅ I + jX ⋅ I

C

C

+

= E

C

C

L  C



R



E

64

,

162

I =

=

=  = ,

1 276 ⋅ exp ⋅

C

(j 17

.

49

o ) A.

stąd

X ⋅ X

,

159 23⋅

8

,

62

− j⋅ X + j⋅ X

C

L

+

+ j⋅

−

C

L

( 8,

62

64

,

159

)

R

120

− j⋅ X

− j⋅

64

,

159

Pozostałe prądy będą

I

C

=

I =

⋅ ,

1 276 ⋅ exp ⋅

=

⋅

− ⋅

R

(j 49 17

. o

C

) 693

,

1

exp( j

83

,

40

o ) A,

R

120

I = I + I = ,

1 276⋅ exp ⋅

+

⋅

− ⋅

=

⋅

⋅

L

C

(j 17

.

49

o

R

) 693

,

1

exp( j

83

,

40

o ) 2,12 exp(- j 3,83o ) A.

Amperomierze będą więc wskazywać wartości:

− A1:

2,12 A,

− A2:

1,276 A,

− A3:

1,693 A.

Wskazanie watomierza obliczymy jako P =

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

W

{

Re E

I }

{

Re

64

,

162

12

,

2

exp( j 83

,

3

o

L

)}

W.

05

,

344

Wykres fazorowy (bez skali) przedstawia następujący rysunek: IL

IC

E

UL

IR

URC

Zadanie 6

Obliczyć dla jakiej wartości pojemności C wskazanie amperomierza nie zależy od stanu łącznika. Obliczyć to wskazanie amperomierza. Wykonać wykres fazorowy prądów i napięć dla obu stanów łącznika. Przyjąć dane: e(t) = 230·sin(ωt) V, ω = 314 s-1, R = 100 Ω, R0 = 200 Ω.

R

u(t)

R0

C

A

Uwaga: Przypadek C → ∞ , który zapewnia XC = 0, jako trywialny, nie stanowi rozwiązania zadania.

Rozwiązanie

Jest oczywiste, że amperomierz pokaże tę samą wartość niezależnie od stanu klucza wówczas, gdy moduły impedancji zespolonych obwodu w obu przypadkach będą równe sobie. W przypadku otwartego łącznika: 1

Z = R +

2

1

O

czyli

Z = R +

;

jω C

O

2

2

ω C

Gdy łącznik jest zamknięty

1

R ⋅

0

jω C

R

R ⋅ 1− jω R C

R

ω R C

0

0 (

0

)

2

0

0

Z = R +

= R +

= R +

= R +

− j⋅

Z

.

1

1+ jω R C

0

1+ (ω R C)2

1+ ω R C

1+ ω R C

0

(

)2

0

(

)2

0

R +

0

jω C

Moduł tej impedancji jest równy

2

2

2



R



 ω R C 

0

0

Z =  R +

 + 

 .

Z



1



+ (ω R C)2 

 1+ ω R C 

0





(

)2

0



Równość modułów impedancji prowadzi do równania 2

2

2

1



R





ω R C 

2

0

0

R +

=  R +

 + 

 ,

2

2

ω C



1



+ (ω R C)2 

 1+ ω R C 

0





(

)2

0



które po niezbędnych przekształceniach algebraicznych prowadzi do dwukwadratowgo równania względem poszukiwanej pojemności C w postaci

2 4

ω R 3R ⋅ C4

2

+ ω R

−

⋅

− = .

0

0 ( 2R

R 0 ) C2 1 0

Jedynym rozwiązaniem dodatnim takiego równania jest 1

C = ω

,

2R R

0

co po podstawieniu danych liczbowych daje wartość C = 15,92 µF.

Wskazanie amperomierza będzie wówczas równe 230

I =

=

A.

727

,

0

2





2

106

2 100 +  314⋅ 92

,

15







Wykresy fazorowe można przedstawić następująco: Io

I

U

Z

Ro

IC UC

E

I

U

R0

Rz

UR0C

Zadanie 7

Obliczyć pulsację i częstotliwość rezonansową obwodu oraz naszkicować wykres fazorowy obwodu dla częstotliwości rezonansowej.

Przyjąć dane: R = 10 Ω,

L = 40 mH,

C = 250 nF.

R

C

L

R

Rozwiązanie

Impedancja zespolona obwodu jest

1

R ⋅ jω L

1

jω RL ⋅ (R − jω L)

ω 2RL2

 ω R2L

1 

Z = R +

+

= R +

+

= R +

+ j⋅

.

2

2 2

2

2 2



−

2

2 2



jω C R + jω L

jω C

R + ω L

R + ω L

 R + ω L

ω C 

Jak wiadomo warunkiem rezonansu jest zerowanie się części urojonej impedancji zespolonej obwodu, więc: ω R2L

1

−

= 0 .

R 2

2

+ ω L2 ω C

Wyznaczona stąd pulsacja ωr określona jest wzorem ω r =

1



.

LC − L

1



 R2C

Po podstawieniu danych liczbowych okazuje się, że obliczenie ωr prowadzi do wyniku zespolonego, co oznacza, że nie ma takiej częstotliwości napięcia (lub prądu) zasilającego, przy której obwód byłby w rezonansie.

Gdyby rezonans był możliwy, to wykres fazorowy obwodu w stanie rezonansu mógłby wyglądać następująco: IR

URL

UC

I

U

L

R

U

I

Zadanie 8

W układzie 1-kreskowym podanym na rysunku odbiornik energii posiada następujące dane znamionowe: Un = 230 V, Pn = 2,5 kW, cosφ =0,6. Ponadto X = 0,25 Ω. Częstotliwość przebiegów napięciowo-prądowych f = 50 Hz.

Naszkicować wykres fazorowy układu oraz obliczyć:

−

pojemność C kompensującą moc bierną układu do poziomu cosφz=0,94;

−

moc czynną wydzielającą się w odbiorniku gdy napięcie zasilania układu U = 235 V.

z

X

C

Odb.

Rozwiązanie

Zakładając znamionowa pracę odbiornika, czyli napięcie na jego zaciskach równe U = 230⋅ exp( j⋅ 0o obliczyć można prąd

o

)V

pobierany przez ten odbiornik:

P

2500

I

n

o

=

− ⋅ ϕ =

− ⋅

=

⋅

− ⋅

o

U cos ϕ

⋅

n

( ) ex (p j )

ex (

p

j arc

(

cos 6

,

0 )

1

,

18 2 exp( j

13

,

53

)A.

230

6

,

0

Spadek napięcia na szeregowej reaktancji indukcyjnej U = jX ⋅ I = j⋅ ,

0 25⋅

12

,

18

⋅ exp − ⋅

=

⋅

⋅

X

( j 13

,

53

o

o

) 53

,

4

exp( j

87

,

36

o ) V.

W związku z tym napięcie na pojemności równe napięciu zasilającemu (przy założeniu znamionowej pracy odbiornika) będzie: U = U + U = 230 + 53

,

4

⋅ exp ⋅

=

⋅

⋅

C

o

(j 87

,

36

o

X

)

64

,

233

exp( j 67

,

0

o ) V.

To umożliwia obliczenie pojemności kompensującej moc bierną do żądanego poziomu:

∑ P⋅ (tgϕ − tgϕ p ) 2500⋅ (tg( 67

,

0

o +

13

,

53

o ) − tg(arc (

cos 94

,

0

) )

C =

=

=

,

146

2 µ .

F

ω ⋅ U 2

100π ⋅

64

,

233

2

C

Wykres fazorowy układu przedstawia rysunek: UC

U

U

O

X

I

I

IC

O