Wartość średnia funkcji Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale <a;b> to istnieje taki punkt c  a; b , że b

b

f ( x dx

 )

f ( x) dx  f ( c)( b  a)



wartość

f ( c

a

) 

a

b  a

nazywamy, wartością średnią funkcji f w przedziale <a;b> Przykłady:

Wyznaczyć wartość średnią funkcji f(x)=2-x2 w przedziale, dla którego funkcja przyjmuje wartości nieujemne 2

2

(2 



2

x ) dx

2 2 x  3

1



x

2

3



f ( c)   2





2  ( 2)

2 2

 2

2

2 2 1( 2)3

3

 (2 2 1( 2)3

3







2 2

2 2  1 2 2  2 2  1

4



2 2

3

3



2 2

3

Całka niewłaściwa - przykłady

 1

k

1

k

dx 



lim

dx 



lim [ 1 ] 

2

x

2

k 

x

k 

x

2

2

2

 lim [ 1

 ][ 1

 ] 1



k 

k

2

2

Całka

zbieżna

2

1 1

1 1

1

dx 



lim

dx 



lim [ ln x]  ln1 lim ln k  

x

k 0

x

k 0

k 

k

0

0

k

Całka

rozbieżn

a

  1

e x dx 

1

2

e 

39

,

7

k



 x 1

lim [ 



e

] 

k  1

 lim (  1

e k )  ( 2

e )  2

e

k 

x

e

 x 1



e

1

1