LISTA ZADA EGZAMINACYJNYCH II
1. Dla podanych liczb zespolonych z wyznaczy¢ Re z, Im z, |z| i z.
A) z = 1 + 3 ;
2+ i
1 − 2 i
B) z = (2 − 3 i)( − 1+2 i) ; 1+3 i
C) z = 1 − 3+4 i .
i
2 − 3 i
√
2. A) Przedstawi¢ liczb¦ 1 − 3 i w postaci trygonometrycznej i zaznaczy¢ j¡ na pªaszczy¹nie Gaussa.
√
B) Obliczy¢ ( − 3 − i)11. √
C) Wyznaczy¢ wszystkie 6 − 64 i zaznaczy¢ je na pªaszcy¹nie Gaussa.
3. Rozwi¡za¢ podane równania w zbiorze liczb zespolonych.
A) z 2 − 2 z + 10 = 0 ;
B) z 2 − (2 + 2 i) z + 4 + 2 i = 0 ; C) z 3 − 27 i = 0 .
¯
¯
¯
¯
¯
3 − 18 − 4
2 ¯
¯
¯
4. A) Obliczy¢ wyznacznik ¯ − 1
18
3
1 ¯
¯
¯ .
¯
2
9 − 1
3 ¯
¯ − 2
27
2 − 2 ¯
Sprawdzi¢, czy podane ukªady równa« s¡ukªadami Cramera i rozwi¡za¢ je.
2 x − y + 3 z − t = − 3
x + 2 y + z =
3
B)
3 x + 2 y − 3 t =
2
− 2 x + 3 y − 3 z = − 1 ; C)
.
x − 3 y + 2 z + 2 t =
0
3 x − y + 2 z =
4
− 2 x − y − 2 z + 3 t =
0
"
#
3 − 2
0
5. A) Wyznaczy¢ macierz odwrotn¡ do macierzy A = − 1
3
3
.
2
1 − 1
Rozwi¡za¢ równania macierzowe:
"
#
"
#
1
3 − 2
1 − 5
0
B) A( X + 3 I) = B, gdzie A =
0
2 − 1
, B = − 1
0
3
.
− 2 − 1
3
2
1 − 3
"
#
"
#
1 − 1 − 2
1 − 2
C) X( A − 2 I) = BT , gdzie A = 2
2
1
, B =
5
0
.
0 − 1
3
− 2
4
6. Rozwi¡za¢
ukªady równa«.
2 x − y + 3 z = 3
3 x − 3 y + 7 z + 2 s − t = 0
A)
− 2 x + 2 y + 4 z = 2 ;
B)
−x + y − 2 z + s − 3 t = 0 ;
4 x − 3 y − z = 4
− 2 x + 2 y − z − 3 s + 2 t = 0
x − 2 y + z − t = 0
C)
−x + 3 y − 4 z + 3 t = 2 .
2 x − y + 2 z − 3 t = 1
2 x − z − t = 3
1
LISTA ZADA EGZAMINACYJNYCH II
7. A) Wyznaczy¢ k¡t miedzy wektorami ~u = [1 , 2 , − 3] i ~v = [ − 1 , 5 , − 4].
√
B) Wyznaczy¢ k¡ty w trójk¡cie 4ABC, gdzie A(0 , 0 , 0), B(2 , − 2 , 10), C(3 , 3 , 0).
C) Sprawdzi¢, czy trójk¡t o wierzchoªkach A(1 , − 5 , 3), B(3 , 1 , − 5), C(2 , − 2 , − 1) jest prostok¡tny.
8. A) Obliczy¢ pole trójk¡ta o wierzchoªkach A(1 , − 2 , 3), B(3 , − 1 , 1), C(0 , 2 , 2).
B) W trójk¡cie o wierzchoªkach A(1 , − 1 , 1), B(2 , 3 , − 1), C(2 , 1 , 2) wyznaczy¢
wysoko±¢ opuszczon¡ z wierzchoªka A.
C) Obliczy¢ obj¦to±¢ czworo±cianu o wierzchoªkach A(1 , − 2 , 3), B(2 , − 3 , 0), C(2 , − 1 , 4), D(1 , − 1 , 2).
9. A) Sprawdzi¢, czy punkty A(1 , 0 , − 1), B(4 , − 1 , − 3), C( − 5 , 2 , 3) le»¡ na jednej prostej.
B) Sprawdzi¢, czy wektory ~a = [1 , − 3 , 4], ~b = [2 , − 1 , 2], ~c = [0 , − 5 , 6] s¡ wspóª-
pªaszczyznowe.
C) Sprawdzi¢, czy punkty A(1 , − 2 , 4), B( − 3 , 1 , − 2), C(0 , − 1 , − 1), D(2 , − 3 , − 1) le»¡ w jednej pªaszczy¹nie.
10. A) Napisa¢ równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkty A(1 , − 3 , 1), B(2 , − 1 , 1) i C(2 , 2 , 2).
B) Napisa¢ równanie prostej przechodz¡cej przez punkt P (1 , 3 , − 1) i prostopa-dªej do pªaszczyzny 2 x − 3 y + z − 3 = 0.
C) Napisa¢ równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkt P (2 , 1 , − 3) i pro-stopadªej do prostej x− 3 = y+2 = z.
− 1
3
2
11. A) Napisa¢ równanie parametryczne i równanie kanoniczne prostej ½ x + 2 y + z − 3 = 0
− 2 x + 3 y − 3 z − 2 = 0 .
B) Napisa¢ równanie parametryczne i równanie kraw¦dziowe prostej x+2 = y = z− 3.
1
3
− 2
C) Znale¹¢ punkt wspólny prostej x− 1 = y+2 = z i pªaszczyzny 2 x − y + z = 0.
2
− 1
3
12. A) Znale¹¢ obraz punktu P (2 , 1 , 0) w rzucie prostok¡tnym na pªaszczyzn¦
3 x − 2 y + z − 2 = 0.
x = 2 + t
B) Okre±li¢ wzajemne poªo»enie prostych x− 1 = y = z+2 i y = 2 + 3 t
1
2
− 1
z = − 3 + 7 t
t ∈ R .
C) Okre±li¢ wzajemne poªo»enie prostej x = y− 2 = z+3 i pªaszczyzny 3
1
− 2
x + 3 y + 3 z − 2 = 0.