LISTA ZADA‹ EGZAMINACYJNYCH II

1. Dla podanych liczb zespolonych z wyznaczy¢ Re z, Im z, |z| i z.

A) z = 1 + 3 ;

2+ i

1 − 2 i

B) z = (2 − 3 i)( − 1+2 i) ; 1+3 i

C) z = 1 − 3+4 i .

i

2 − 3 i

√

2. A) Przedstawi¢ liczb¦ 1 − 3 i w postaci trygonometrycznej i zaznaczy¢ j¡ na pªaszczy¹nie Gaussa.

√

B) Obliczy¢ ( − 3 − i)11. √

C) Wyznaczy¢ wszystkie 6 − 64 i zaznaczy¢ je na pªaszcy¹nie Gaussa.

3. Rozwi¡za¢ podane równania w zbiorze liczb zespolonych.

A) z 2 − 2 z + 10 = 0 ;

B) z 2 − (2 + 2 i) z + 4 + 2 i = 0 ; C) z 3 − 27 i = 0 .

¯

¯

¯

¯

¯

3 − 18 − 4

2 ¯

¯

¯

4. A) Obliczy¢ wyznacznik ¯ − 1

18

3

1 ¯

¯

¯ .

¯

2

9 − 1

3 ¯

¯ − 2

27

2 − 2 ¯

Sprawdzi¢, czy podane ukªady równa« s¡ukªadami Cramera i rozwi¡za¢ je.





2 x − y + 3 z − t = − 3



x + 2 y + z =

3





B)

3 x + 2 y − 3 t =

2

− 2 x + 3 y − 3 z = − 1 ; C)

.





x − 3 y + 2 z + 2 t =

0

3 x − y + 2 z =

4



 − 2 x − y − 2 z + 3 t =

0

"

#

3 − 2

0

5. A) Wyznaczy¢ macierz odwrotn¡ do macierzy A = − 1

3

3

.

2

1 − 1

Rozwi¡za¢ równania macierzowe:

"

#

"

#

1

3 − 2

1 − 5

0

B) A( X + 3 I) = B, gdzie A =

0

2 − 1

, B = − 1

0

3

.

− 2 − 1

3

2

1 − 3

"

#

"

#

1 − 1 − 2

1 − 2

C) X( A − 2 I) = BT , gdzie A = 2

2

1

, B =

5

0

.

0 − 1

3

− 2

4

6. Rozwi¡za¢



ukªady równa«.





2 x − y + 3 z = 3



3 x − 3 y + 7 z + 2 s − t = 0

A)

− 2 x + 2 y + 4 z = 2 ;

B)

−x + y − 2 z + s − 3 t = 0 ;





4 x − 3 y − z = 4

− 2 x + 2 y − z − 3 s + 2 t = 0







x − 2 y + z − t = 0



C)

−x + 3 y − 4 z + 3 t = 2 .





2 x − y + 2 z − 3 t = 1



2 x − z − t = 3

1

2

LISTA ZADA‹ EGZAMINACYJNYCH II

7. A) Wyznaczy¢ k¡t miedzy wektorami ~u = [1 , 2 , − 3] i ~v = [ − 1 , 5 , − 4].

√

B) Wyznaczy¢ k¡ty w trójk¡cie 4ABC, gdzie A(0 , 0 , 0), B(2 , − 2 , 10), C(3 , 3 , 0).

C) Sprawdzi¢, czy trójk¡t o wierzchoªkach A(1 , − 5 , 3), B(3 , 1 , − 5), C(2 , − 2 , − 1) jest prostok¡tny.

8. A) Obliczy¢ pole trójk¡ta o wierzchoªkach A(1 , − 2 , 3), B(3 , − 1 , 1), C(0 , 2 , 2).

B) W trójk¡cie o wierzchoªkach A(1 , − 1 , 1), B(2 , 3 , − 1), C(2 , 1 , 2) wyznaczy¢

wysoko±¢ opuszczon¡ z wierzchoªka A.

C) Obliczy¢ obj¦to±¢ czworo±cianu o wierzchoªkach A(1 , − 2 , 3), B(2 , − 3 , 0), C(2 , − 1 , 4), D(1 , − 1 , 2).

9. A) Sprawdzi¢, czy punkty A(1 , 0 , − 1), B(4 , − 1 , − 3), C( − 5 , 2 , 3) le»¡ na jednej prostej.

B) Sprawdzi¢, czy wektory ~a = [1 , − 3 , 4], ~b = [2 , − 1 , 2], ~c = [0 , − 5 , 6] s¡ wspóª-

pªaszczyznowe.

C) Sprawdzi¢, czy punkty A(1 , − 2 , 4), B( − 3 , 1 , − 2), C(0 , − 1 , − 1), D(2 , − 3 , − 1) le»¡ w jednej pªaszczy¹nie.

10. A) Napisa¢ równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkty A(1 , − 3 , 1), B(2 , − 1 , 1) i C(2 , 2 , 2).

B) Napisa¢ równanie prostej przechodz¡cej przez punkt P (1 , 3 , − 1) i prostopa-dªej do pªaszczyzny 2 x − 3 y + z − 3 = 0.

C) Napisa¢ równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkt P (2 , 1 , − 3) i pro-stopadªej do prostej x− 3 = y+2 = z.

− 1

3

2

11. A) Napisa¢ równanie parametryczne i równanie kanoniczne prostej ½ x + 2 y + z − 3 = 0

− 2 x + 3 y − 3 z − 2 = 0 .

B) Napisa¢ równanie parametryczne i równanie kraw¦dziowe prostej x+2 = y = z− 3.

1

3

− 2

C) Znale¹¢ punkt wspólny prostej x− 1 = y+2 = z i pªaszczyzny 2 x − y + z = 0.

2

− 1

3

12. A) Znale¹¢ obraz punktu P (2 , 1 , 0) w rzucie prostok¡tnym na pªaszczyzn¦

3 x − 2 y + z − 2 = 0.





 x = 2 + t



B) Okre±li¢ wzajemne poªo»enie prostych x− 1 = y = z+2 i y = 2 + 3 t

1

2

− 1



 z = − 3 + 7 t

 t ∈ R .

C) Okre±li¢ wzajemne poªo»enie prostej x = y− 2 = z+3 i pªaszczyzny 3

1

− 2

x + 3 y + 3 z − 2 = 0.