ZM
Z IE
I NNYCH L
O
L S
O OW
O
Y
W CH
Definicja.
Zmienną losową jest funkcja:
X:
X
: E
E
-
> R
która kaŜdemu zdarzeniu elementarnemu
e ∈ E przypisuje liczbę rzeczywistą X ( e)∈ R
Dystrybuantą zmiennej losowej X
jest funkcja:
F(x) = P(X<x),
• 0<=F(x)<=1
• F(x) jest funkcją niemalejącą
• F(
F x) jest f
unkcją lewo
w stronnie ciągłą
•
lim
F ( x) = 0 oraz
lim
F ( x) = 1
x → −∞
x → +∞
Funkcja prawdopodobieństwa: P( X = x = p
i ) =
i )
i
∑ pi =1
i
F ( x) = ∑ pi
xi < x
ZMIENNEJ LOSOWEJ DYSKRETNEJ
• Wartość oczekiwana
E( X ) = ∑ x p
i
i
• Wariancja
i
2
D ( X ) = E[ X − E( X )]2 = ∑ ( x − E
= ∑
−
i
( X ) 2
2
p
x p
i
i
i
( E( X ) 2
i
i
• Odchylenie standardowe (dyspersja)
σ
D 2
=
( X )
ZMIENNEJ LOSOWEJ
• Mediana
Wartość x, dla której zachodzi:
1
1
P( X ≤ x) 1
)≥
i
P( X ≥ x) ≥
2
2
• Modalna (dominanta)
Wartość x, której odpowiada największe prawdopodobieństwo realizacji.
Funkcja prawdopodobieństwa:
P ( X
= 1 ) =
p
P ( X
= 0 ) = q
przy
czym
p
+ q = 1
Dystrybuanta:
0 dl
d a
l
x ≤ 0
F ( x) = q dla 0 < x ≤ 1
1 dla
x > 1
Wartość oczekiwana:
E( X ) = 1⋅ p + 0 ⋅ q = p
Wariancja:
D 2( X) = (1− )
p 2 ⋅ p+(0− )
p 2 ⋅ q = q 2 p+ p q 2
= p ( qq+ )
p = pq
n niezaleŜnych doświadczeń prawdopodobieństwem sukcesu równym p
Funkcja prawdopodobieństwa:
B ( n , p , k ) = P ( X = k ) n
k
n − k
=
p q
k
gdzie :
p + q = 1 oraz k = 0,1, 2,K, n
Dy
D s
y t
s ryb
y u
b a
u n
a t
n a:
a
F
( x ) = ∑ n
k
n − k
p
q
k
k < x
Wartość oczekiwana:
E( X ) = np
Wariancja:
D 2 ( X ) = npq
Funkcja prawdopodobieństwa:
k
P( X = k )
m
− m
K
=
e
dla
k =
,
1
,
0
,
2
k!
k
m
− m
Dystrybuanta:
F ( x) = ∑
e
k!
k < x
E( X )
Warto
=
ść oczekiwana:
m
2
Wariancja: D ( X ) = m
- ROZKŁAD POISSONA
Gdy:
p < ,
0 2 oraz
n ≥ 20
roz
o kła
ł d
a
d B
e
B r
e no
n u
o l
u llile
i g
e o
g
o m
o
m Ŝ
o na
n
a p
r
p zybl
b ilŜ
i ać
a
rozkładem Poissona:
P( X = k )
n
−
np
k
n
( ) k
k
− np
=
p q
=
e
k
k!
niezaleŜne doświadczenia aŜ do osiągnięcia sukcesu z prawdopodobieństwem sukcesu równym p
Funkcja prawdopodobieństwa:
P( X = k )
k 1
−
K
= pq
dla
k = ,
1 ,
2
k 1
−
Dystrybu
b a
u nt
n a:
F ( x) = ∑
=
k
∑ pq
k < x
1
Warto
E( X )
ść oczekiwana:
= p
1
Wariancja:
2
D ( X ) =
2
p
Funkcja gęstości f(x) jest to funkcja określona na zbiorze liczb rzeczywistych:
∞
f ( x) ≥ 0 oraz
∫ f ( x) dx =1
−∞
x
F ( x) = P( X < x) = ∫ f ( x) dx d
−∞
ZMIENNEJ LOSOWEJ DYSKRETNEJ
• Wartość oczekiwana
E( X ) +∞
= ∫ xf ( x) dx
−∞
• Wariancja
+∞
+∞
2
D ( X ) = E[ X − E( X )]2 = ∫ ( x − E( X ))2 f ( x) 2
dx = ∫ x f ( x) dx − ( E( X ) 2
−∞
−∞
• Odchylenie standardowe (dyspersja)
σ
D 2
=
( X )
ROZKŁAD JEDNOSTAJNY na odcinku [a,b]
Funkcja gęstości:
0
dla
x < a
1
f ( x)
=
dla
a ≤ x ≤ b
b − a
0
dla
x > b
Dystrybuanta:
0
dla
x ≤ a
F ( x) x −
=
a
dla
a < x ≤ b
b − a
1
dla
x > b
+
Warto
a
b
ść oczekiwana:
E ( X ) =
2
2
−
a + b
Wariancja:
b
a
2
D ( X )
(
)
=
Mediana: Me =
12
2
Funkcja gęstości:
f ( x) 0
dla
x <
=
0
−
λ e λ x dla x ≥ 0
Dystrybuanta:
F ( x)
0
dl
d a
x <
) =
0
= 1− − eλ x dla x ≥ 0
1
Wartość oczekiwana:
E( X ) = λ
1
ln 5
,
0
Wariancja:
2
Mediana:
D ( X ) =
Me =
2
λ
λ
Funkcja g
2
ęstości:
( x− m)
−
f ( x)
1
2
2σ
= σ
e
2π
Dystrybuanta:
( x− m)2
1
−
1
F ( x) = x
= ∫
e
2
σ
e 2
dx
−∞ σ 2π
E( X )
Warto
=
ść oczekiwana:
m
2
D ( X )
2
Wariancja:
Mediana:
= σ
Me = Mo = m
• Rozkład t-Studenta z k
- stopniami swobody:
T
T =
k
k
2
χ k
2
• T ,
χ - niezaleŜne zmienne losowe o
k
rozkładzie N(0,1) i chi-kwadrat z
k stopniami
swobody
k
2
E( T
D ( Tk ) =
k ) = 0
k − 2
=
= R
O
R Z
O K
Z Ł
K A
Ł D
A
D no
n r
o ma
m l
a ny
n
y
2
Rozkład chi-kwadrat
χ
z k - stopniami swobody:
2
2
2
X 1 + X 2 + K + X
1
2
k
gd
g z
d ie
i :
e
X , X ,K, X
1
2
k
-niezaleŜne zmienne losowe
o rozkładzie N(0,1).
E( 2
χ =
D 2 ( 2
χ = 2
k )
k
k )
k
Rozkład F- Snedecora z
( r , r
1
2 ) stopniami
swobody:
1
2
χ 1 r
r 1
F
=
r r
r 1 2
1
2
χ r 2
r
gdzie:
2
2
2
χ , χ – niezaleŜne zmienne losowe o rozkładach 1
r
2
r
chi-kwadrat z r , r stopniami swobody 1
2
r
r + r −
2
2 2
2
E (
D ( Fr r =
1 2 )
2 ( 1
2
)
r r
= r
F 1 )
2
2
r − 2
r r −
r −
1 (
2 )2
2
(
4
2
)
2
NIEZALEśNOŚĆ ZMIENNYCH LOSOWYCH
Zmienne losowe dyskretne są niezaleŜne,
gdy dla kaŜdej pary ( x , y
i
j ) zachodzi:
P( X = x , Y = y = P X = x ⋅ P Y = y i
= yi ) = P( X = xi )⋅ P Y
( = i )
i
i )
(
i )
(
i
Zmienne losowe ciągłe są niezaleŜne,
gdy dla kaŜdej pary ( x, y) zachodzi: f ( x, y) = f
⋅
1 ( x )
f 2 ( y)
WŁASNOŚCI WARTOŚCI OCZEKIWANEJ
E( c) = c
gdzie:
c = const
E( cX) = c (
E X )
E( X + Y) = E( X ) + E( Y ) E( X − Y) = E( X ) − E( Y ) E( XY) = E( X ) E( Y) gdy
X , Y − niezalezne
V ( c) = 0
gdzie :
c = const
D 2
D ( cX ) = c 2
c D 2
D ( X )
D 2 ( X + c) = D 2( X ) D 2 ( X + Y ) = D 2( X ) + D 2( Y ) gdy
X , Y − niezalezne
D 2 ( X − Y ) = D 2( X ) + D 2( Y ) gdy
X , Y − niezalezne
ZMIENNYCH LOSOWYCH
Twierdzenie.
JeŜeli X , X ,K, X
są niezaleŜnymi
1
2
n
zmiennymi losowymi i zmienna X ma i
roz
o kła
ł d
a
d N ( m ,σ
i
,
1 ,
2 K
=
, n
i σ i )
( i
,
1 ,
2 K
=
,
),
to zmienna losowa
Y = X 1 + X + K
2
+ Xn
ma rozkład normalny
n
n
N ∑ m ,
∑
2
σ
i
i =
i
1
i = 1
ZMIENNYCH LOSOWYCH
Wniosek.
JeŜeli X , X ,
,
K X
są niezaleŜnymi
1
2
n
zmiennymi losowymi o takim samym
roz
o kła
ł d
a z
d ie
i
e
N ( m,σ )
( i
,
1 ,
2 K
=
,
2
=
, n ),
,
to zmienna losowa
Y = X 1 + X + K
2
+ Xn
ma rozkład normalny
N ( nm ,σ n )
ZMIENNYCH LOSOWYCH
Twierdzenie.
JeŜeli X , X są niezaleŜnymi zmiennymi 1
2
losowymi i zmienna X ma rozkład N ( m ,σ
i
i )
i
( i = ,
1 2 ),t
, o
t
o z
mi
m e
i n
e n
n a
n
a l
o
l s
o ow
o a
Y = X − X
1
2
ma rozkład normalny
N (
2
2
m − m . σ + σ
1
2
1
2 )
ZMIENNYCH LOSOWYCH
Twierdzenie.
JeŜeli X , X ,
,
K X będą niezaleŜnymi
1
2
n
zmiennymi losowymi i niech zmienna
X i
ma
m
a r
oz
o kła
ł d
a
d N ( m ,σ
K
=
i σ i )
( i
,
1 2,
=
, n ),
n
to zmienna losowa
1
X
=
∑ X i
n i = 1
ma rozkład normalny
n
n
1
1
N
∑ m ,
∑
2
σ
i
i
n =
i
1
i
n
=1
MOIVRE’A - LAPLACE’A
Twierdzenie.
Niech X
będzie zmienną losową
n
o rozkładzie Beornoulliego
B( n, p ,)
wó
w wc
w zas d
la duŜych
n
,
( n > 30) zachodzi:
X ≈ N
,
n
( np npq)
Wniosek.
pq
Niech
X
Y
n
=
, wówczas:
Y
,
n ≈ N
p
n
n
n
• Prawdopodobieństwo, Ŝe wyrzucimy szóstkę wynosi p=1/6.
• Wykonujemy 1000 rzutów.
• Prawdopodobieństwo, Ŝe wyrzucimy szóstkę co najmniej 150 razy wynosi
1
150 −1000
⋅
6
P( X
> 15 )
0 = 1 − Φ
= 1− Φ(− ,
1 414) = 1 − 0
,
0 78 = 9
,
0 23
1000
1 5
1000 ⋅
6 6
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
LINDERBERG’A - LEVY’EGO
Twierdzenie.
Niech X , X , ,
K X będzie ciągiem niezaleŜnych
1
2
n
zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie (o wartości oczekiwanej
m, i dyspersji σ
)
i n
iech:
Z = X 1 + X 2 + +
K X
n
n
wówczas dla duŜych n , ( n > ) 30 zachodzi:
Z ≈ N
, σ
n
( nm n )
Wniosek.
n
1
σ
Niech X = ∑ X,
X ≈ N m,
i wówczas:
n
n
i =1
• Cena chleba X ma rozkład jednostajny na [2,00-2,50]
• E(X)=2,25
• D2(X)= 0,52/12=1/48=0,020833
• D(X)=0,1443
• Prawdopodobieństwo, Ŝe średnia cena chleba w 500
zbadanych sklepach <2,20
2
,
2 0 − ,
2 25
P( Y
< ,
2 20)
= Φ
= Φ(−7 7
. 4 )
6 = 0
500
1
,
0 443
500